模拟卷03（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题3 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．记等差数列的公差为，前n项和为，若，则的值为 ． 2．已知，则的最小值为 ． 3．已知是函数在上的两个零点，则的值为 ． 4．在平面四边形ABCD中，，则的值为 ． 5．设椭圆的左、右焦点分别为，A是上的一点，满足，则的面积为 ． 6．给定集合，任取有序数组，事件“”发生的概率为 ． 7．已知三个复数的模相等，且，其中，则的值为 ． 8．已知四面体ABCD各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线AD与BC所成的角为，则该四面体体积的最大值为 ． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本题满分16分）已知的内角满足 ， 求C的最大值． 10．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，过的直线l与交于两点． 若，求的离心率e的取值范围． 11.（本题满分20分）求所有满足下述条件的正整数：存在互不相同的整数和，使得对于所有的，都有 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题3参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．记等差数列的公差为，前n项和为，若，则的值为 ． 答案：． 解：由得，故 ． 2．已知，则的最小值为 ． 答案：． 解：由于，当时等号成立，因此的最小值为． 3．已知是函数在上的两个零点，则的值为 ． 答案：． 解：由得，故是在上的两个根．因此，即．所以 ． 4．在平面四边形ABCD中，，则的值为 ． 答案：． 解：设，则 ． 5．设椭圆的左、右焦点分别为，A是上的一点，满足，则的面积为 ． 答案：． 解：设，则． 在中，由余弦定理得 ， 解得． 所以． 6．给定集合，任取有序数组，事件“”发生的概率为 ． 答案：． 解：由得，即 ． 所以或或． 情况一：及其轮换． 情况一：及其轮换． 由题意，，故k可取，共20种选择，此外各自包括3种轮换方式． 所以情况一、二共有种有序数组满足．因此所求概率． 7．已知三个复数的模相等，且，其中，则的值为 ． 答案：． 解：设，其中．已知条件化为 解得，即． 设，由于。故 ， 又，得． 注意到，所以． 8．已知四面体ABCD各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线AD与BC所成的角为，则该四面体体积的最大值为 ． 答案：． 解：由题设条件知，A和D在BC上的射影为同一点，记该点为，则四面体ABCD的体积． 当平面ABC和平面BCD固定时，和DH同时达到最大值，取到最大值时H为BC中点，和都是以BC为底的等腰三角形． 设球心O到平面ABC和平面BCD的距离分别为，，则由勾股定理得，且．所以由基本不等式， ． ，时等号成立． 设，则，令，解得，因此的最大值为，所以V的最大值为． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本题满分16分）已知的内角满足 ， 求C的最大值． 解：由题设知，故． 在中，，因此，故由正弦定理知，其中分别为内角所对的边． 所以由余弦定理和基本不等式得 ． 当，即时等号成立．因此C的最大值为． 10．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，过的直线l与交于两点． 若，求的离心率e的取值范围． 解：设，l的方程为．将直线l与的方程联立，得 ． 上述方程有两个不等实根，因此，即．而判别式恒成立．又由韦达定理，可得 ． 因为，所以，即， 代入并化简得． 因此，即，解得． 另一方面，，化简得，所以． 综上所述，e的取值范围是． 11.（本题满分20分）求所有满足下述条件的正整数：存在互不相同的整数和，使得对于所有的，都有 ． 解：当时，取即可． 当时，取即可． 当时，设，则方程有个根．因此，即 ． ① 比较①两边的常数项得．所以或． 若，则由知中必有两个整数相同，这与这些整数互不相同矛盾． 若，则中必有一个为，不妨设，由①得 ． ② 比较②两边的常数项得．又由不等于得． 若，则中必有两个整数相同，矛盾． 若，则．不妨设，代入②得 ． 取得，由得．取得，由得，这与矛盾． 综上所述，所求正整数或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$