模拟卷07（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题7参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．定义函数，设为由2024个整数构成的集合，且，设，则的元素个数的最小可能值为_____． 【答案】1013 【详解】事实上，，显然它是一个偶函数，并且在上单调递增，于是，为了让尽可能小，我们需要中的相反数对尽可能多，由于，且，则中最多有1011对相反数，那么． 2．长方体中分别为线段上的点（可与端点重合）．则距离的取值范围是_____． 【答案】 【详解】长度不小于异面直线的距离，故，当分别为中点时可取到；长度不超过长方形对角线长，故，当时可取到． 3．设抛物线的焦点为，过点的一条直线交抛物线于两点，如果，则的长度为_____． 【答案】5 【详解】该抛物线的准线方程为，根据第二定义可以得出点的纵坐标为9，由对称性不妨设，则直线的方程为，于是可以解得点坐标为，那么再由第二定义，可以得出的长度为5． 4．从一个的网格中随机选出3个不同的格子，则它们两两之间没有公共边的概率为_____． 【答案】 【详解】总共有种选法．选出的三个格子有以下三种情形： 情形1：每行每列恰好选一个格子．共有种选法． 情形2：第2行（列）选出两个格子．此时第3个格子也只能是与中心格子的有公共边的4个格子之一，于是共有种选法． 情形3：第1，3行（列）选出两个格子．此时第3个格子要么也选择自角上的4个格子，要么为中心或第3，1行（列）中间的格子．于是共有种选法． 故概率为． 5．数列，满足，若，则的最小可能值为_____． 【答案】 【详解】令，则，于是，那么 根据，则，可得的取值范围为． 注意到关于单调递增，所以最小时，最小，取为，对应，即的最小可能值为． 6．已知函数在上严格单调递减，对任意，均有，记，则函数的最小值为_____． 【答案】3 【详解】设，依题意有．在原式中令，则 ，由于函数在上严格单调递减， 于是 或(舍去)． 所以，等号成立时． 7．在中，为边上一点（可与端点重合），满足．则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】如图，取的外心和中点． 因为，所以 注意到为，故欲求的取值范围，只需求的取值范围．而 所以 综上所述，的取值范围是． 8．对整数，定义复数，对实数，以及，定义函数，记为最小的实数，使得恒成立，用表示的最大可能值，再用表示使得的的组数。则的值为_____． 【答案】 【详解】先固定，记，那么，不难发现在复平面上的轨迹为以为直径的圆(当时，不包含的对应点)，该圆圆心对应的复数为，半径为，于是 而当或时，可以取到(或趋近于)上式的值． 记，则不难发现，并且，当且仅当，可以得出，于是． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．是一个给定的正实数．椭圆满足分别为椭圆的左、右焦点，的坐标为． （1）证明：关于椭圆的两切线为定直线． （2）设关于椭圆的切线与椭圆在第二象限的切点为．求面积的最大值． 【详解】（1）设，显然经过点．我们下面说明与椭圆相切． 联立，得 显然，即联立后有．故与椭圆相切． 同理，联立，得 所以与椭圆相切． 于是过的椭圆的切线为定直线． （2）由（1）可知，满足且．于是． 因为，所以．故． 令，则．于是 时，等号可以取到． 综上面积最大值为． 10．设为复数，求的最小值． 【答案】 【详解】设，记在复平面上对应的点为，再设复平面上，那么 当且仅当位于以为直径的圆和以为直径的圆的交点，即时取等号． 11．数列满足，且当时，，求证：． 【详解】证法1：当时， 其中．所以有时 经计算可得．可以求出的通项公式． 那么， 证法2：记，则不难发现，且根据特征根法可以得出数列的通项公式为：． 定义，则 再设，则，且时，． 定义，则 于是可以得出，进而有 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题7 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．定义函数，设为由2024个整数构成的集合，且，设，则的元素个数的最小可能值为_____． 2．长方体中分别为线段上的点（可与端点重合）．则距离的取值范围是_____． 3．设抛物线的焦点为，过点的一条直线交抛物线于两点，如果，则的长度为_____． 4．从一个的网格中随机选出3个不同的格子，则它们两两之间没有公共边的概率为_____． 5．数列，满足，若，则的最小可能值为_____． 6．已知函数在上严格单调递减，对任意，均有，记，则函数的最小值为_____． 7．在中，为边上一点（可与端点重合），满足．则的取值范围是_____． 8．对整数，定义复数，对实数，以及，定义函数，记为最小的实数，使得恒成立，用表示的最大可能值，再用表示使得的的组数。则的值为_____． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．是一个给定的正实数．椭圆满足分别为椭圆的左、右焦点，的坐标为． （1）证明：关于椭圆的两切线为定直线． （2）设关于椭圆的切线与椭圆在第二象限的切点为．求面积的最大值． 10．设为复数，求的最小值． 11．数列满足，且当时，，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$