模拟卷08（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题8参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知函数，若，则a的值为 ． 答案：． 解：由于，故，解得 ． 2．已知， ， 则 ． 答案：． 解：利用倍角公式，两式化为，，，两式平方和得，即． 3．连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之和为，则事件“”发生的概率为 ． 答案：． 解：事件“”的对立事件为“”或“”，而“”等价于“3次掷出的点数均为6”，其概率为，“”等价于“掷出的3个点数中有2个6和1个5”，其概率为，因此 ． 4．设平面向量满足，，，则的最大值为 ． 答案：4． 解：由平方得 ． 所以，当且仅当，且与同向时等号成立，即当且仅当与同向，且时等号成立． 5．已知复数的模均为1，且，则的值为 ． 答案：2． 解：由于，故，进而 ， 因此，进而可得． 所以，． 从而． 6．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，的值为 （用弧度制表示）． 答案：． 解：设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径，侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，因此可得． 记，则，由余弦函数的单调性可知，存在唯一的满足，即，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，故是的极大值点，也是最大值点．此时． 7．已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则的离心率的取值范围为 ． 答案：． 8．一个飞盘玩具是指一个圆盘被20条从圆心出发的射线等分为20个扇形，每个扇形被染为红色或蓝色（只有正面染色），且相对的两个扇形均不同色．若旋转后相同的飞盘玩具视为同一种，则不同的飞盘玩具的种数为 ． 答案：52． 解：将旋转后相同的染法也看作不同的染法．称旋转后相同的两种染法是等价的，于是所有染发被分为若干等价类，题目所求为等价类个数．对于一种染法，若其旋转k格后颜色不变，且k是最小的这样的正整数，则称该染法的阶为．易知阶为k的染法所在的等价类中恰包含k种染法． 由于每种染法旋转20格后不变，故；又所有染法旋转10格后变了，故．因此或． 若，由于任意一格旋转10格后颜色不同，旋转4格后颜色相同，故任意一个旋转2格后颜色不同．取其连续4格，其颜色有“红蓝蓝红”“红红蓝蓝”“蓝蓝红红”“蓝红红蓝”四种，但是这四种情况下的飞盘玩具是等价的．故恰有1个等价类，其中的飞盘阶为4． 设共有x个等价类，由于其中恰一个等价类包含4种染法，其余均含20种染法，而所有的染法共有种，因此，解得． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知，是函数的三个零点．若且，求的最小值． 解：即，考虑两个函数图象的交点． ①若，，此时，由对称性可知，则，不合题意． ②若，，此时，由题意得． 又由韦达定理可得进而 因此．令，则，故在上单调递减，在上单调递增，因此． 综上所述，的最小值为，此时． 10．（本题满分20分）已知正有理数列，满足，证明：对任意的正整数，为有理数的平方． 解：设数列的前n项和为，则有，可得，所以 ， 又因为，所以，可得，证毕． 11.（本题满分20分）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过两点．设三点在C的右支上，，求面积的取值范围． 解：设C的方程为，其中．由于C过两点，故，，解得，因此C的方程为． 设，其中，且． 因为，所以直线BM的斜率为，方程为． 由得，所以 ， ， 因此． 直线AN的斜率为，直线AN的方程为．由得，所以， ， 因此 ． 故直线MN的方程为，P到直线MN的距离．而，所以的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题8 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知函数，若，则a的值为 ． 2．已知， ， 则 ． 3．连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之和为，则事件“”发生的概率为 ． 4．设平面向量满足，，，则的最大值为 ． 5．已知复数的模均为1，且，则的值为 ． 6．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，的值为 （用弧度制表示）． 7．已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则的离心率的取值范围为 ． 8．一个飞盘玩具是指一个圆盘被20条从圆心出发的射线等分为20个扇形，每个扇形被染为红色或蓝色（只有正面染色），且相对的两个扇形均不同色．若旋转后相同的飞盘玩具视为同一种，则不同的飞盘玩具的种数为 ． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知，是函数的三个零点．若且，求的最小值． 10．（本题满分20分）已知正有理数列，满足，证明：对任意的正整数，为有理数的平方． 11.（本题满分20分）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过两点．设三点在C的右支上，，求面积的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$