专题08 指数及指数函数（考点清单，5大清单&6大题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期北师大版

专题08 指数及指数函数 【清单01】指数幂的运算性质 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷＝(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). 【清单02】根式 1、根式的定义 一般地，如果，那么叫做的次根式，其中叫做根式，叫做根指数，叫做开方数. 2、对于根式，要注意以下几点 ⑴且； ⑵当为奇数时，；当为偶数时，； ⑶负数没有偶次方根； ⑷的任何次方根都是 【清单03】指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 解析式的特点：1.底数是常数且不等于1的正数；2.指数是自变量x；3.幂的系数为1. 【清单04】指数函数的图像和性质 函数 a>1 0<a<1 图象 最特殊点 即图象都过 性质 ①定义域R 值域 ②即当图象都过定点(0，1)， ③即不是奇函数也不是偶函数 ④当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 ④当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 ⑤在(－∞，＋∞)上是增函数 ⑤在(－∞，＋∞)上是减函数 【清单05】与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． 【考点题型一】指数的运算 【例1】.（多选），下列运算（化简）中正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 【变式1-2】.若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 【变式1-3】.（1）计算: （2）已知 求 的值. 【变式1-4】.（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【变式1-5】.求值： (1) (2) 【考点题型二】指数函数的图像 【例2】.在同一直角坐标系中，函数与（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】.函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】.函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2-3】.函数的大致图像是（    ） A．   B．   C． D． 【变式2-4】.（多选）函数与的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．     【变式2-5】.（多选）函数，且的部分图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【考点题型三】指数的函数的恒过定点问题 【例3】.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.函数（且）的图象必过定点的坐标是 . 【变式3-2】.函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 【考点题型四】指数的函数的单调性 【例4】.已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.已知函数在区间上满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式4-5】已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【考点题型五】指数的比较大小 【例5】.已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】.设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】.若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】.已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】.若，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】指数函数综合应用 【例6】.已知函数是奇函数. (1)若，，证明：函数在上单调递增； (2)若，，求函数在时的值域： (3)若函数的图象经过点，求的解析式. 【变式6-1】.已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 【变式6-2】.若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式6-4】.已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式6-5】.（多选）已知函数，则（   ） A．是上的减函数 B．的图象关于点对称 C．若是奇函数，则 D．不等式的解集为 【变式6-6】.已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数m的取值范围. 检测训练 1.设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3.已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．9 D． 4.设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5.已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6.已知是奇函数，当时，且，又，则（    ） A． B． C． D． 7.已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 8.若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 9.（多选）下列结论中正确的是 （        ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数且的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意、，都有 10.（多选）下列命题中正确的是（   ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．函数在上的值域为 C．若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D．函数，则不等式的解集为 11.解决下列问题： (1)计算 (2) (3)已知=5，求的值 12.已知定义域为的函数是奇函数． (1)求b的值； (2)判断函数在内的单调性，并证明你的结论； (3)若，使成立，求实数k的取值范围． 13.（1）化简：． （2）已知，求． 14.已如数的图象关于点中心称． (1)求实数a的值： (2)判断的单调性（无需证明）； (3)解关于x的不等式． 15.已知函数是定义在上的奇函数． (1)求a、b的值； (2)判断的单调性并证明； (3)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）由于是上的奇函数， ，即，所以，， 又，所以，解得， 经检验符合题意. （2）在上单调递增，证明如下： 由于，可得， 设 则， 由于，故因此 ， 故在上单调递增， （3）由于为奇函数，故由可得， 又在上单调递增，因此对任意实数恒成立， 故， 由于对勾函数在单调递减，故当取最小值， 因此，故 16.已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），令，， 所以，在单调递增， 所以， 所以在区间上的最小值为； （2）由题意得在的值域包含于在的值域， 由二次函数的性质得的值域为， 当时，符合题意， 当时，，可知函数单调递增， 所以， 所以，所以， 当时，为对勾函数，， 所以，，此时， 所以，又，可知无解； 综上，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 指数及指数函数 【清单01】指数幂的运算性质 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷＝(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). 【清单02】根式 1、根式的定义 一般地，如果，那么叫做的次根式，其中叫做根式，叫做根指数，叫做开方数. 2、对于根式，要注意以下几点 ⑴且； ⑵当为奇数时，；当为偶数时，； ⑶负数没有偶次方根； ⑷的任何次方根都是 【清单03】指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 解析式的特点：1.底数是常数且不等于1的正数；2.指数是自变量x；3.幂的系数为1. 【清单04】指数函数的图像和性质 函数 a>1 0<a<1 图象 最特殊点 即图象都过 性质 ①定义域R 值域 ②即当图象都过定点(0，1)， ③即不是奇函数也不是偶函数 ④当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 ④当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 ⑤在(－∞，＋∞)上是增函数 ⑤在(－∞，＋∞)上是减函数 【清单05】与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． 【考点题型一】指数的运算 【例1】.（多选），下列运算（化简）中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：ABD． 【变式1-1】若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 【答案】A 【详解】对于A：因为，当为奇数，为偶数时，，此时无意义，不合题意，故A错误； 对于B：因为，当为偶数，为奇数时，，此时，符合题意，故B正确； 对于C：因为，当为奇数，为奇数时，，此时，符合题意，故C正确； 对于D：因为，当为偶数，为偶数时，，此时，符合题意，故D正确； 故选：A 【变式1-2】.若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 【变式1-3】.（1）计算: （2）已知 求 的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式=. （2）因为，所以两边同时平方得：， 所以，再两边同时平方得：， 故， 所以. 【变式1-4】.（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）194 【详解】（1） . （2）由，得，即， 则，即. 【变式1-5】.求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） . （2） . 【考点题型二】指数函数的图像 【例2】.在同一直角坐标系中，函数与（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数在上单调递减， 函数的对称轴为， 且函数与轴交点的纵坐标为，D不符合，C符合. 当时，函数在上单调递增， 函数的对称轴为，B不符合， 且函数与轴交点的纵坐标为，A不符合. 故选：C. 【变式2-1】.函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 因为，在定义域上单调递减，故排除C、D； 又当时，显然不过点，故B错误； 在定义域上单调递增，且，所以，符合题意. 故选：A 【变式2-2】.函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 【变式2-3】.函数的大致图像是（    ） A．   B．   C． D． 【答案】C 【详解】由函数，当时，可得，可得排除B、D选项； 当时，可得； 当时，根据指数函数与幂函数的增长趋势， 可得函数大于函数的增长速度，所以， 所以选项A不符合，选项C符合. 故选：C. 【变式2-4】.（多选）函数与的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】AC 【详解】对于A，当时，单调递增，与轴交于正半轴， 在上单调递增，故选项A符合题意． 对于B选项，由指数函数的图象可知，由一次函数的图象可知，则，故选项不符合题意． 对于C，当时，单调递减，与轴交于正半轴， 在上单调递减，C选项符合题意． 对于D选项，由一次函数图象可知，解得，则D选项不符合题意． 故选：AC. 【变式2-5】.（多选）函数，且的部分图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【详解】函数的定义域为，且， 则是偶函数，故D错误，． 当时，在上单调递增，且，A正确，B错误． 当时，在上单调递减，且，C正确． 故选：AC. 【考点题型三】指数的函数的恒过定点问题 【例3】.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得且，解得， ，令得，此时， 故的图像过定点. 故选：A 【变式3-1】.函数（且）的图象必过定点的坐标是 . 【答案】 【详解】令，则，所以， 所以图象所过定点坐标为. 故答案为：. 【变式3-2】.函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 【答案】 【详解】令，则，故，因此， 故答案为： 【考点题型四】指数的函数的单调性 【例4】.已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，对任意都有成立， 则函数在上单调递减， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4-1】.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：令，定义域为R，，则， 所以为非奇非偶函数，在R上单调递减，故A不符合题意； B：令，定义域为R，，则， 所以为非奇非偶函数，在R上单调递增，故B不符合题意； C：令，定义域为R，， 所以为偶函数，在上单调递增，故C符合题意； D：令，定义域为R，，所以为偶函数， 当时，，则在上单调递减，故D不符合题意. 故选：C 【变式4-2】.已知函数在区间上满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于在区间上满足， 所以在上单调递减， 所以，解得. 故选：C 【变式4-3】.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-4】.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，所以， 故函数的值域为，故B正确； 对于CD，因为在R上是减函数， 在上是减函数，在上是增函数， 所以函数在上单调递减，C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式4-5】已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）设（，且），由，得， 所以. （2）在上单调递增. 证明如下： 由题意得. ，，且， 则 . 由，得，，则，. 所以，即， 故在上单调递增. （3）由题意得，所以是偶函数. 由，得， 易得，， 因为在上单调递增， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为，所以， 得，即t的取值范围为. 【考点题型五】指数的比较大小 【例5】.已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A. 【变式5-1】.设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是增函数，所以，是减函数，所以， 故 又函数在第一象限内为增函数，故， 又为减函数，故， 综上可得． 故选：B． 【变式5-2】.若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数在上单调递减，且，则； 由函数在上单调递增，且，则， 由，则. 故选：A. 【变式5-3】.已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因函数在R上单调递减，在R上单调增. 则．所以． 故选：B 【变式5-4】.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是减函数，所以，即．易得， 则幂函数是增函数，所以， 又是减函数，所以．故． 故选：D. 【考点题型六】指数函数综合应用 【例6】.已知函数是奇函数. (1)若，，证明：函数在上单调递增； (2)若，，求函数在时的值域： (3)若函数的图象经过点，求的解析式. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）当，时，， 任取、，且，则， 所以， ，则， 所以，当，时，函数在上单调递增. （2）当，时，则， 当时，，则，则， 则， 故当，时，函数在时的值域为. （3）因为函数为奇函数，且， 则，可得①， 由奇函数的性质可得， 即，整理可得②， 联立①②可得，，此时，， 对于函数，有，解得， 该函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故函数为奇函数，合乎题意. 因此，. 【变式6-1】.已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】设，则，所以， 又为奇函数，所以， 所以， 不等式，即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式6-2】.若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，为增函数， 又是定义在上的奇函数，当时，， 故在上为增函数. 故则， 故，即，解得. 故选；A 【变式6-3】.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】①，故， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 故，所以②， 式子①和②联立得，， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为， 由于的对称轴为， 故当时，在上单调递增， 故，解得，不合要求，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，负值舍去； 故选：C 【变式6-4】.已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以由可得，即， 由， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 【变式6-5】.（多选）已知函数，则（   ） A．是上的减函数 B．的图象关于点对称 C．若是奇函数，则 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，任取、，且，则， 则 ，所以，， 所以，函数是上的减函数，A对； 对于B选项，因为函数的定义域为， 则， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，B错； 对于C选项，因为函数是奇函数，即函数的图象关于原点对称， 由B选项可知，函数的图象关于点对称，则，解得，C对； 对于D选项，由，可得， 因为函数是上的减函数，则，解得， 故不等式的解集为，D对. 故选：ACD. 【变式6-6】.已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，函数在上单调递增，证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，且 所以，解得， 此时，则，符合题意， 所以. 函数在上单调递增，证明如下： 由， 任取，且， 则 ， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递增. （2）由题意，函数是定义在上的奇函数， 由，即， 由（1）知，函数在上单调递增， 则，解得， 即实数m的取值范围为. 检测训练 1.设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 故选：D 2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，所以在中，， 则在中，， 解得，故的定义域为. 故选：B 3.已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【详解】由题意得，得， 当时，． 所以． 故选：B 4.设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 5.已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在定义域上单调递减且过点， 定义域为，在定义域上单调递增且过点， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下： 所以与有且仅有一个交点，且交点的横坐标属于，又， 所以，又，所以， 因为，所以， 综上可得. 故选：D 6.已知是奇函数，当时，且，又，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是奇函数，当时，且， 则，即，所以，， 所以，当时，，故， 故选：C. 7.已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由得：， 解得，. 当时，，定义域为，关于原点对称， 故符合题意， 故选：B. 8.若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】①函数单调性递增， 则满足，即 ， 解得. ②若函数单调性递减， 则满足即，此时无解. 综上实数取值范围为：. 故选：D. 9.（多选）下列结论中正确的是 （        ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数且的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意、，都有 【答案】BCD 【详解】对于A选项，设幂函数的解析式为， 由题意可得，解得，则，A错； 对于B选项，因为， 所以，函数且的图象必过定点，B对； 对于C选项，因为内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数为减函数，故函数的增区间为，C对； 对于D选项，幂函数，对任意的，则， 则对任意、， ， ， 所以， ， 所以，，可得， 所以，，D对. 故选：BCD. 10.（多选）下列命题中正确的是（   ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．函数在上的值域为 C．若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D．函数，则不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】对于A，函数在区间上是增函数， 由函数是R 上的减函数，有函数在上单调递减， 时符合题意，A选项错误； 对于B，， 时，，有，得， 所以函数在上的值域为，B选项正确； 对于C，若关于的方程的两根分别为，，且， 则有，，所以，C选项正确； 对于D，设，， ， ，即， 设， ， 由于，故，，故， 则，故为奇函数，且在上单调递增， 则， 即， 故，解得，D选项正确. 故选：BCD. 11.解决下列问题： (1)计算 (2) (3)已知=5，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ， ； （2）因为，所以，即， 此时有，解得 （3）因为，所以， ， . 12.已知定义域为的函数是奇函数． (1)求b的值； (2)判断函数在内的单调性，并证明你的结论； (3)若，使成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)函数是减函数，证明见解析 (3)． 【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以恒成立， 即，整理得恒成立，所以； （2）由（1）可知，函数， 因为为增函数，且，所以在上为减函数. 证明如下：，，， ， 因为，则，， 所以，故函数是减函数． （3）由函数为奇函数，可得， 由（2）知函数是上的减函数，则有，即， 因为，因为，有最大值9， 所以，即的取值范围为． 13.（1）化简：． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）. （2）∵，∴，即， ∴，∴，故， ∴. 14.已如数的图象关于点中心称． (1)求实数a的值： (2)判断的单调性（无需证明）； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)是上的增函数， (3) 【详解】（1）因为函数的图象关于点中心对称， 所以该函数向下平移一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称， 即函数的图象关于点中心对称， 所以函数是R上的奇函数，则，即，， 则， 因为，所以函数是R上的奇函数， . （2）由（1），，则， 设是任意两个实数，且， ， 因为，所以，且，， 因此，即， 所以函数是R上的增函数. （3）因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以由，即， 因为函数是R上的增函数， 所以，即或， 解得或， 因此原不等式的解集为. 15.已知函数是定义在上的奇函数． (1)求a、b的值； (2)判断的单调性并证明； (3)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）由于是上的奇函数， ，即，所以，， 又，所以，解得， 经检验符合题意. （2）在上单调递增，证明如下： 由于，可得， 设 则， 由于，故因此 ， 故在上单调递增， （3）由于为奇函数，故由可得， 又在上单调递增，因此对任意实数恒成立， 故， 由于对勾函数在单调递减，故当取最小值， 因此，故 16.已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），令，， 所以，在单调递增， 所以， 所以在区间上的最小值为； （2）由题意得在的值域包含于在的值域， 由二次函数的性质得的值域为， 当时，符合题意， 当时，，可知函数单调递增， 所以， 所以，所以， 当时，为对勾函数，， 所以，，此时， 所以，又，可知无解； 综上，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$