专题02 不等式（考点清单，3考点&3题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期北师大版

专题02 不等式 【清单01】不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【清单02】基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 【清单03】二次函数与一元二次方程、不等式的解关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 【考点题型一】不等式的性质 【例1】.下列不等式中成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式1-1】.已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【变式1-2】.下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】.（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-4】.（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点题型二】基本不等式 【例2】.（多选）已知x、y都是正数，则（    ） A． B．若，则的最大值为2 C．的最大值为 D． 【变式2-1】.（多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（多选）下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则的最大值为 B．已知，，，则的最小值是 C．若，则的最小值为4 D．若，，，则的最小值为 【变式2-4】.（多选）已知，，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 【考点题型三】一元二次不等式 【例3】.已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)解关于x的不等式. 【变式3-1】.“不等式在上恒成立”的的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式3-3】.（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【变式3-4】.已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值. (2)若正实数满足，求的最小值. 【变式3-5】.已知关于的不等式. (1)若该不等式的解集为，求a和b的值； (2)若，求该不等式的解集. 1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）下列说法正确的是（      ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为 C．已知，且，则的最小值为 D．若正数，满足，则的最小值是 3．（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．若关于的不等式的解集是或，则 B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C．若，则的最大值为 D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 4．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 5．（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 6．（1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 7．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，解关于的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值. 8．已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 9．已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 10．已知集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式 【清单01】不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【清单02】基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 【清单03】二次函数与一元二次方程、不等式的解关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 【考点题型一】不等式的性质 【例1】.下列不等式中成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，取，得，则，故C错误； 对于D,若且，取，得，则，故D错误. 故选：B. 【变式1-1】.已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【详解】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 【变式1-2】.下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：B 【变式1-3】.（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】A选项，，所以A选项错误. B选项，若，则，则，所以B选项正确. C选项，若，则，所以C选项正确. D选项，若，则，所以，所以D选项正确. 故选：BCD 【变式1-4】.（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A，由，但，故A错； 对于B，，又， 所以，即，故B正确； 对于C，由，即，故C错； 对于D，由且，故，故D正确. 故选：BD. 【考点题型二】基本不等式 【例2】.（多选）已知x、y都是正数，则（    ） A． B．若，则的最大值为2 C．的最大值为 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当时，，D错误. 故选：BC 【变式2-1】.（多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当， 即时取等号，故选项A正确； 对于选项B：， 当且仅当，即时取等号，故选项B错误； 对于选项C：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项C正确； 对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误. 故选：AC. 【变式2-2】.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 【变式2-3】.（多选）下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则的最大值为 B．已知，，，则的最小值是 C．若，则的最小值为4 D．若，，，则的最小值为 【答案】CD 【详解】对于A，，解得，平方得， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误； 对于B，由，可得，得， 则， 当且仅当，即，故等号不成立，故B错误； 对于C，， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为4，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即时取等号， 所认的最小值为，故D正确. 故选：CD 【变式2-4】.（多选）已知，，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】解：由，得，所以， 整理得，解得（舍去）， 当且仅当时，取得等号，A正确； 由，得，即， 解得（舍去）， 当且仅当时，取得等号，所以的最小值为，B错误； 由，得，所以，解得，C正确； ， ，当且仅当，即时，取得等号，D正确． 故选：ACD． 【考点题型三】一元二次不等式 【例3】.已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根. 根据韦达定理，可得，. 解得，. （2）由（1）知，，则不等式为，即. 当时，不等式化为，解得. 当时，的解为或. 当时，，不等式的解为. 当时，不等式化为，即，此时不等式无解. 当时，，不等式的解为.   综上所得，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 【变式3-1】.“不等式在上恒成立”的的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于的不等式在上恒成立， 若，即，不合题意， 若，则，解得. 故选：A . 【变式3-2】.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为关于的不等式的解集为， 当，即时，解得，显然解集不为，故舍去； 当，即时，，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故选：A 【变式3-3】.（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【详解】依题意可得方程的两根分别为或，且； 由韦达定理可得，即； 对于A，由可得，即A正确； 对于B，易知，即B错误； 对于C，不等式即为，同时除以即可得， 所以不等式的解集为，即C正确； 对于D，不等式即为，也即； 所以，解得或， 即不等式的解集为或，可得D错误. 故选：AC 【变式3-4】.已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值. (2)若正实数满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得是方程的两根， 则，解得. （2）由（1）得正实数满足， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式3-5】.24．已知关于的不等式. (1)若该不等式的解集为，求a和b的值； (2)若，求该不等式的解集. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【详解】（1）由题设知是的两个根， 则. （2）由题设， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，二次函数的对称轴为，则， 且，即，所以，可得， 所以. 故选：B 2．（多选）下列说法正确的是（      ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为 C．已知，且，则的最小值为 D．若正数，满足，则的最小值是 【答案】ACD 【详解】对于A，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为.故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为，故B错误； 对于C，因为，，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故C正确； 对于D，因为，，，所以， 则， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值为.故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．若关于的不等式的解集是或，则 B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C．若，则的最大值为 D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或， 则和是两根. 由韦达定理， ， 解得，. 则，所以A选项正确. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，则方程有一个根，所以判别式，即，可得. 把代入得： 所以当时，取得最大值.所以B选项错误. 对于C选项，若，则，即. 令，则. 所以. 令，则. 对求最大值，. 根据均值不等式，当且仅当时取等号. 所以，所以C选项正确.   对于D选项，当时，. 因为不等式的解集中有且仅有三个正整数，令， 则的解集中有且仅有三个正整数,所以,的解集为, 所以的解集中有且仅有三个正整数，，， 则，解得，所以D选项正确. 故选：ACD. 4．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【详解】当时，由，解得，故A错误； 若不等式对恒成立，则当时，恒成立， 当时，，且，解得， 综上，， 则整数的取值集合为，故B正确； 若不等式对恒成立，则， 即解得，故C正确； 若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为，且对称轴为，所以该整数解为， 结合二次函数的图象，可得即解得，故D正确. 故选：BCD 5．（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 【答案】BC 【详解】因的解集是，所以，A错误； －2，3是关于x的方程的两个根，且， 于是得，，即， 不等式化为：，解得，B正确； 当时，因为，所以， 则，， 依题意，，由得，或， 因在上的最小值为， 从而得，或，， 两种情况均有，C正确． ，令，由对勾函数得在上单调递增， 即有，因有解，则， 解得或，D不正确； 故选：BC 6．（1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【详解】令，， 整理有，解得或， 当，即时，不等式的解集为或， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为或. （2）当时，解得， 若，原式化为，满足题意，若，原式化为，不合题意； 当时，由题意得，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围为：. 7．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，解关于的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两个根， 所以，所以，； （2）若，不等式可化为， 即， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3）因为，，成立， 即，对成立， 所以对成立， 即对成立， 所以即 所以，即， 所以的最大值为. 8．已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）不等式可化为， 当时，， 所以不等式化为，又因为，所以， 所以实数a的取值范围是； （2）不等式可化为， 因为，所以不等式对应方程的根为1和， 当时，， 所以时，不等式为，解得； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． 9．已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题可知，且和是方程的两个根， 所以，此时原不等式为即， 该不等式解集为或，符合， 所以. （2）由（1）得， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以有最小值为8. 因为恒成立，所以即， 解方程得或， 所以不等式的解集为. 所以满足题意的实数的取值范围为. 10．已知集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解，得，则， 因为，所以， 显然，解得或，则或， 因为，则或， 解得或，故， 所以a的取值范围为； （2）由，可得：或， 因为是的充分不必要条件， 所以或是或的真子集， 则且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$