专题02 角与角的计算重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题02 角重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优） 题型一 角的概念理解 题型二 角的表示方法 题型三 角的分类 题型四 钟面角 题型五 方向角的表示 题型六 与方向角有关的计算 题型七 角的单位与角度制 题型八 角的度数大小比较 题型九 角的比较 题型十 三角板中角度计算问题 题型十一 几何图形中角度计算问题 题型十二 角度的四则运算 题型十三 实际问题中角度计算问题 题型十四 角平分线的有关计算 题型十五 角n等分线的有关计算 题型十六 求一个角的余角 题型十七 求一个角的补角 题型十八 与余角、补角有关的计算 题型十九 同（等）角的余（补）角相等 题型二十 角的综合运用 知识点：角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.（3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 【经典例题一 角的概念理解】 【例1】用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（    ） A． B． C． D． 1．下列叙述中，正确的是（    ） A．由两条射线组成的图形叫做角 B．一个角的余角一定比这个角小 C．钝角没有余角只有补角 D．平分一个角的直线叫做这个角的平分线 2．如图，当过O点画不重合的2条射线时，共组成1个角；当过O点画不重合的3条射线时，共组成3个角；当过O点画不重合的4条射线时，共组成6个角；…，根据以上规律，当过O点画不重合的10条射线时，共组成角的个数是 ． 3．下面各个图形中，分别有多少个小于平角的角，请用适当的方法表示这些角． （1）图（1）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________； （2）图（2）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________； （3）图（3）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________． 【经典例题二 角的表示方法】 【例2】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．如图所示的图形表示正确的有(　　)      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，总共有 个角． 3．如图，点C在的边上．请按要求进行尺规作图并回答问题． (1)在的另一边上取一点D，使； (2)画直线； (3)数数看，此时图中线段共有 条，射线共有 条； (4)还可以记着 再写出两种）． 【经典例题三 角的分类】 【例3】若为钝角，为锐角，则是（    ） A．钝角 B．锐角 C．直角 D．都有可能 1．在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 2．如图所示，回答下列问题：    (1)写出能用一个字母表示的角： ； (2)写出以点B为顶点的角 ； (3)图中共有 个小于平角的角． 3．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： （1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O； （2）画出射线OC和射线OD； （3）在以上图形中，共有 　 　个锐角，共有 　 　个小于180°的角． 【经典例题四 钟面角】 【例4】明明和亮亮约好周六上午八点半去公园玩耍，这时钟面上时针与分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 1．现在的时间是8点20分，此时钟面上时针与分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．小刚每天晚上九点半都要坚持看央视套播出的“今日关注”节目，这时钟面上时针与分针夹角的度数为 ． 3．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ （4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角． 【经典例题五 方向角的表示】 【例5】小明去学校，从家出发向东行200米，右转，直行200米，接着右转，直行200米到学校，学校在小明家的（    ）方，距小明家（    ）米． A．东200 B．南200 C．西400 1．如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为（   ） A．（北偏东，） B．（南偏东，） C．（北偏西，） D．（南偏西，） 2．（1）以医院为观测点，广场的位置是（   ）偏（   ），距离医院（   ）米． （2）以超市为观测点，车站的位置是（   ）偏（   ），距离超市（   ）米． （3）小虹从学校沿图中路线向广场方向行进，每分步行50米，小桥从广场沿图中路线向学校方向行进，每分步行75米，他们同时出发，经过（   ）分钟在（   ）相遇． 3．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)射线的方向是___________． (2)求的度数． (3)若射线平分，写出图中所有与互余的角，并说明理由． 【经典例题六 与方向角有关的计算】 【例6】如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　） A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 1．如图，的方向是北偏西，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 2．如图，甲从点出发向北偏东 方向走到点 ，乙从点出发向南偏西 方向走到点 ，则的度数为 ． 3．（1）如图1，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝8cm，BD＝3cm． ①求线段CD的长； ②若点E是直线AB上一点，且BE＝BD，点F是BE的中点，求线段CF的长 （2）如图2，OA的方向是北偏东20°，OB的方向是北偏西40°． ①若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向如何表示？ ②若∠BOC与∠COD互补，则OD的方向如何表示？ 【经典例题七 角的单位与角度制】 【例7】将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 1．将用度、分、秒的形式为（    ） A． B． C． D． 2．已知． （1）将它化为度、分、秒的形式得 ； （2）的余角= （用度表示）； （3）的补角= （用度、分、秒表示）． 3．计算： (1)； (2)． 【经典例题八 角的度数大小比较】 【例8】已知，下面结论正确的是（　　） A． B． C． D． 1．已知，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．已知的余角是，的补角是，则和的大小关系是 ． 3．和相等吗？如果不相等，哪一个大？ 【经典例题九 角的比较】 【例9】已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1518′，那么的大小关系为（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＜∠B＜∠C C．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠A＞∠B 1．如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 2．小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 3．如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得 （保留尺规作图痕迹）； (3)若，． ①比较线段与的大小，并直接写出结论； ②比较与的大小，并直接写出结论． 【经典例题十 三角板中角度计算问题】 【例10】一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．一副三角板摆放成如图所示，点在上，经过点，已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 3．如下图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由． 【经典例题十一 几何图形中角度计算问题】 【例11】如图，将一张长方形纸片分别沿着折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（   ） A． B． C． D． 1．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 3．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【经典例题十二 角度的四则运算】 【例12】下列式子中错误的是（  ） A． B． C． D． 1．下列度分秒的换算中，正确的是（　   　） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 【经典例题十三 实际问题中角度计算问题】 【例13】已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 1．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．小明从O点出发向北偏西走了500米到达A点，小丽从O点出发向南偏东走了300米到达B点，这时A、B两点之间的距离是 米． 3．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【经典例题十四 角平分线的有关计算】 【例14】如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 1．如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，，，平分，则的度数是 ． 3．如图①，将直角三角板的直角顶点O放在直线上．以点O为端点作射线，使． (1)如图①，若直角三角板的一边在直线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点O按逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求，的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 【经典例题十五 角n等分线的有关计算】 【例15】已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 2．如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 3．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【经典例题十六 求一个角的余角】 【例16】（2023上·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期末）如图，点A，O，B在一条直线上，是锐角，则的余角是（　　） A． B． C． D． 1．（2022上·辽宁大连·七年级大连市第三十七中学校考期末）如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O．若，则的度数得（　　） A． B． C． D． 2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考开学考试）在同一平面内，，与互余，则为 ． 3．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）一个角的补角是它的余角的倍，则这个角余角的度数是 ． 4．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，是的平分线，且．    (1)图中的余角是__________． (2)如果，求的度数． 【经典例题十七 求一个角的补角】 【例17】（2022上·重庆潼南·七年级统考期末）如图，是直线上一点，是的平分线，，与互余，与互补，在不添加其他线的条件下，图中有（    ）对互为余角 A．3 B．4 C．5 D．6 1．（2022上·广东江门·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，为直角，OE平分，OF平分，OG平分．下列结论：①；②；③；④．正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）若，则的补角是 ．（算一个空） 3．（2023下·福建龙岩·七年级校联考期中）如图，直线交于点O，，若，则 °． 4．（2023下·河南信阳·七年级校联考阶段练习）如图，直线与直线相交于点平分．    (1)若，求； (2)若，求． 【经典例题十八 与余角、补角有关的计算】 【例18】（2023上·全国·七年级专题练习）若与互余，与互补，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 1．（2023上·广东江门·八年级校考期中）如图，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，过点O在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2022上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，若是直线上一点，，，则 ． 3．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）在同一平面内，，与互余，则是 度． 4．（2023上·河北承德·七年级统考期中）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度，(如图2)，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，求的值．    【经典例题十九 同（等）角的余（补）角相等】 【例19】（2023上·江苏无锡·七年级统考期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2023上·四川达州·七年级统考期末）如图，平面内，，平分，则以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．0个 2．（2022下·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期中）一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的补角是 °． 3．（2021上·福建福州·七年级统考期末）如图，平面内，平分，则以下结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确的是 ．（填序号） 4．（2022上·广东广州·七年级广州市广外附设外语学校校考期末）如图，是直线上一点，平分，．若．    (1)求的度数； (2)图中互为余角的角有_______对． 【经典例题二十 角的综合运用】 【例20】如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°； (2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图． 运动停止时，直接写出______； 请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 1．阅读材料． (1)【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数．（写解答过程） ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？直接写出结论． (3)【类比探究】 如图3，在内部转动，若，，，，则的度数为________．（用含有k的式子直接表示计算结果） 2．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 3．综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． 若，则线段______； 若，则线段______． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图所示，，，且，，请直接写出______（用含的式子表示） 1．亲爱的同学们，我们的数学测试从开始，钟表上时分时，时针和分针的夹角是（    ） A． B． C． D． 2．已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，点，，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤，正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 5．如图直线，，交于点O，平分，且，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．点分时，钟面上的时针和分针所成的角是 °． 7．计算： （1） ； （2） ． 8．如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 9．一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ． 10．如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 11．如图，，，若，分别作和的平分线，，求的度数． 12．已知在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 13．关于度、分、秒的换算． (1)用度表示； (2)用度表示； (3)用度、分、秒表示． 14．将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数 15．线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 角重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优） 题型一 角的概念理解 题型二 角的表示方法 题型三 角的分类 题型四 钟面角 题型五 方向角的表示 题型六 与方向角有关的计算 题型七 角的单位与角度制 题型八 角的度数大小比较 题型九 角的比较 题型十 三角板中角度计算问题 题型十一 几何图形中角度计算问题 题型十二 角度的四则运算 题型十三 实际问题中角度计算问题 题型十四 角平分线的有关计算 题型十五 角n等分线的有关计算 题型十六 求一个角的余角 题型十七 求一个角的补角 题型十八 与余角、补角有关的计算 题型十九 同（等）角的余（补）角相等 题型二十 角的综合运用 知识点：角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 【经典例题一 角的概念理解】 【例1】用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把角按一定比例放大或缩小，角的度数不变． 【详解】解：放大镜看一个的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变， 故选：D． 【点睛】本题考查角的概念，关键是掌握图形的放大或缩小的性质． 1．下列叙述中，正确的是（    ） A．由两条射线组成的图形叫做角 B．一个角的余角一定比这个角小 C．钝角没有余角只有补角 D．平分一个角的直线叫做这个角的平分线 【答案】C 【分析】根据角的定义、角平分线的定义和角的相关性质判断即可； 【详解】具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故A错误； 如的余角是，，故B错误； 钝角没有余角只有补角，故C正确； 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，故D错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的定义、角平分线的定义、角的认识，准确分析判断是解题的关键． 2．如图，当过O点画不重合的2条射线时，共组成1个角；当过O点画不重合的3条射线时，共组成3个角；当过O点画不重合的4条射线时，共组成6个角；…，根据以上规律，当过O点画不重合的10条射线时，共组成角的个数是 ． 【答案】45 【分析】根据题意分别写出当过O点画不重合的2、3、4、5条射线时，组成的角的个数，总结规律代入即可． 【详解】解：当过O点画不重合的2条射线时，共组成1个角； 当过O点画不重合的3条射线时，共组成3个角； 当过O点画不重合的4条射线时，共组成6个角； 当过O点画不重合的5条射线时，共组成10个角； 当过O点画不重合的n条射线时，则组成的角的个数为： ， 故当n=10时，， 即：当过O点画不重合的10条射线时，共组成角的个数是45． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了角的概念，图形的变化规律，根据题意推出规律公式是解题的关键． 3．下面各个图形中，分别有多少个小于平角的角，请用适当的方法表示这些角． （1）图（1）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________； （2）图（2）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________； （3）图（3）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________． 【答案】（1）8，见解析；（2）16，见解析；（3）11，见解析 【分析】（1）分别数出以OB、OD、OE、OA为一边的角，则其和便是小于平角的个数，分别用字母表示出来即可； （2）以A、B、C、D四个点为顶点的角都有3个，以O为顶点的角有4个，故可知总的个数，并分别用字母表示出来即可； （3）分别数出以A、B、C、D、E、O为顶点的角的个数即可，并用字母表示出来即可． 【详解】（1）以OB为一边的角有3个，分别是∠BOD、∠BOE、∠BOC；以OD为一边的角有2个，分别是∠DOE、∠DOA；以OE为顶点的角有2个，分别是∠EOA、∠EOC；以OA为一边的角有1个角，是∠OAC，故共有3+2+2+1=8（个），这些角分别是∠BOD、∠BOE、∠BOC、∠DOE、∠DOA、∠EOA、∠EOC、∠OAC； 故答案为：8，∠BOD、∠BOE、∠BOC、∠DOE、∠DOA、∠EOA、∠EOC、∠OAC； （2）以A、B、C、D四个点为顶点的角都有3个，以O为顶点的角有4个，故角的个数为：4×3+4=16（个），它们分别是：∠DAO、∠OAB、∠DAB、∠ABO、∠OBC、∠ABC、    ∠BCO、∠OCD、∠BCD、∠CDO、∠ODA、∠CDA、∠DOA、∠AOB、∠BOC、∠COD； 故答案为：16，∠DAO、∠OAB、∠DAB、∠ABO、∠OBC、∠ABC、∠BCO、∠OCD、∠BCD、∠CDO、∠ODA、∠CDA、∠DOA、∠AOB、∠BOC、∠COD； （3）以A为顶点的角有1个，是∠A； 以B、C为顶点的角各有1个，是∠B、∠C；以D、E为顶点的角各有2个，分别是∠ADC、∠ODB、∠AEB、∠OEC； 以O为顶点的角有4个，分别是∠DOB、∠BOC、∠COE、∠EOD；故角的个数为：1+2×(1+2)+4=11（个），这些角分别是：∠A、∠B、∠C、∠ADC、∠ODB、∠AEB、∠OEC、∠DOB、∠BOC、∠COE、∠EOD； 故答案为：11，∠A、∠B、∠C、∠ADC、∠ODB、∠AEB、∠OEC、∠DOB、∠BOC、∠COE、∠EOD； 【点睛】本题考查了角的概念及角的表示，注意的是，在数角时防止遗漏或重复，要有序地进行． 【经典例题二 角的表示方法】 【例2】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 1．如图所示的图形表示正确的有(　　)      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据直线，射线，线段与角的表示方法对各图形分析判断，然后即可进行选择． 【详解】解：第1个图形，线段EF，表示正确； 第2个图形，直线MN，表示正确； 第3个图形，线段BA，表示正确； 第4个图形，应该表示为射线OA，表示错误； 第5个图形，表示为∠O，正确； 第6个图形，应该表示为∠BAC或∠CAB，表示错误． 综上，表示正确的有第1、2、3、5共4个图形． 故选B． 2．如图，总共有 个角． 【答案】10 【分析】根据图形分别表示出所有角即可． 【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键． 3．如图，点C在的边上．请按要求进行尺规作图并回答问题． (1)在的另一边上取一点D，使； (2)画直线； (3)数数看，此时图中线段共有 条，射线共有 条； (4)还可以记着 再写出两种）． 【答案】(1)见详见 (2)见解析 (3)3 ，8 (4)， 【分析】本题考查了作线段，画直线，线段，射线的数量问题，角的表示方法，掌握以上知识是解题的关键． （1）以O点为圆心，长为半径，交与点D， 点D即为所求． （2）画出直线即可， （3）根据线段和射线的定义即可求解． （4）根据角的表示方法用1个字母或3个字母表示即可求解； 【详解】（1）解：如下图所示，D点即为所求． （2）如下图所示：直线即为所求． （3）图中线段有，，， 共有3条线段， 有射线，，D的端点的和另一个方向，C为端点的和另一方向，，，共8条射线， 故答案为：3，8． （4）还可以记着，（不唯一，必须是两个不同的表示方法）． 【经典例题三 角的分类】 【例3】若为钝角，为锐角，则是（    ） A．钝角 B．锐角 C．直角 D．都有可能 【答案】D 【分析】根据题意找到范围值钝角是大于90°小于180°的角，锐角是大于0°小于90°的角，然后找到对应的差的范围值为大于0°小于180°，然后对照选项即可． 【详解】解：因为为钝角，为锐角， 所以，， 所以, 所以锐角，直角，钝角均有可能． 故选D． 【点睛】考查范围的求解，学生必须熟悉锐角、直角、钝角的范围，并能够求差所对应的范围值，此为解题的关键． 1．在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图所示，回答下列问题：    (1)写出能用一个字母表示的角： ； (2)写出以点B为顶点的角 ； (3)图中共有 个小于平角的角． 【答案】 【分析】本题考查的是角的表示方法． （1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案； （2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可； （3）分别确定以，，，为顶点的小于平角的角即可． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有：． 故答案为：． （2）以为顶点的角有：． 故答案为：． （3）图中共有7个小于平角的角，分别是：，，，，，，，共个． 故答案为：7． 3．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： （1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O； （2）画出射线OC和射线OD； （3）在以上图形中，共有 　 　个锐角，共有 　 　个小于180°的角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2，5 【分析】（1）根据直线和线段中点的定义，即可求解； （2）根据射线的定义，即可求解； （3）根据题意可得锐角有∠AOC，∠BOD，小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，直线AB，点O即为所求； （2）射线OC、OD即为所求； （3）锐角有∠AOC，∠BOD，共有2个， 小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，共5个． 【点睛】本题主要考查了直线、射线和线段中点的定义，角的分类，熟练掌握直线、射线和线段中点的定义，角的分类是解题的关键． 【经典例题四 钟面角】 【例4】明明和亮亮约好周六上午八点半去公园玩耍，这时钟面上时针与分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟表时针与分针的夹角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．根据钟表上的刻度是把一个周角分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的份数，用份数乘即可． 【详解】解：如图所示， 钟面上刻度共12小格，将周角等分成12份，每一小格对应的锐角为，上午8点30分，时钟的时针和分针相距份， 8点30分，时钟的时针和分针所构成的锐角度数为：． 故选：D． 1．现在的时间是8点20分，此时钟面上时针与分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查钟面角，由于钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份（12个大格），每一份是，找出8点20分时时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘以即可． 【详解】∵钟面上数字4和8之间相差4个大格，而8点20分时时钟又走过了个大格， ∴8点20分时钟面上时针与分针相差个大格， ∴8点20分时钟面上时针与分针夹角为． 故选：B 2．小刚每天晚上九点半都要坚持看央视套播出的“今日关注”节目，这时钟面上时针与分针夹角的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查的是钟面角的知识，结合钟面得到每相邻两个数字之间的夹角为是解题的关键．首先根据晚上九点半，时针指向和的正中间，分针指向，得到时针和分针之间相关的格数；然后再结合钟面上每相邻两个数字之间的夹角为，即可求解． 【详解】解：钟表九点半时，时针转了， 此时时针与分针的夹角为， 故答案为：． 3．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ （4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）答案不唯一，见解析． 【分析】（1）时针的12个小时把360°分解成12份，每份30°，按照这个度数关系对每个时钟表进行计算即可． （2）时针1小时走总度数的，分针60分钟把360°分解成60份，每份6°，分针一分钟走一格，故是6°． （3）先求出此时时针与10点整时时针的夹角，再用30°减去这个夹角，再加上3个30°即可． （4）方法与（3）相同，任选一个时间进行计算即可． 【详解】（1）巴黎时间：12到1夹角为360°的，是30° 伦敦时间：夹角为0° 北京时间：4个30°，故为120° 东京时间：3个30°，故为90° （2）时针每经过1小时，转过360°÷12=30°，分针每分钟转过360°÷60=6° （3）此时分针走过了360°的，所以时针移动的角度占30°的，是5°，所以剩余25°， 故夹角为：25°+30°+30°+30°=115° （4）9:20时此时时针与分针夹角是多少？ 解：此时分针走过了360°的，时针移动的角度占30°的，是10°，20°+30°+30°+30+30°+30°+30°=200° 故夹角为：360°-200°=160°. 【点睛】本题考查时针分针在转动过程中的夹角的求解，熟练掌握时针每小时走30°，分针每分钟走6°是本题关键． 【经典例题五 方向角的表示】 【例5】小明去学校，从家出发向东行200米，右转，直行200米，接着右转，直行200米到学校，学校在小明家的（    ）方，距小明家（    ）米． A．东200 B．南200 C．西400 【答案】B 【分析】本题考查了图形与位置的关系，结合方位和角度画出路线图是解题关键．先根据题意画出图形，再根据方向和距离进行解答即可． 【详解】解：根据题意画出小明的行走路线图如下： 由图可知，学校在小明家的南方，距小明家200米． 故选：B． 1．如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为（   ） A．（北偏东，） B．（南偏东，） C．（北偏西，） D．（南偏西，） 【答案】D 【分析】本题主要考查了方位角表示位置，根据北偏东与南偏西相对，且二者的距离和对应的角度不变即可得到答案． 【详解】解：∵用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置， ∴导航灯相对于货轮的位置可描述为（南偏西，）， 故选：D． 2．（1）以医院为观测点，广场的位置是（   ）偏（   ），距离医院（   ）米． （2）以超市为观测点，车站的位置是（   ）偏（   ），距离超市（   ）米． （3）小虹从学校沿图中路线向广场方向行进，每分步行50米，小桥从广场沿图中路线向学校方向行进，每分步行75米，他们同时出发，经过（   ）分钟在（   ）相遇． 【答案】（1）南、东，410；（2）北、东，220；（3）10，车站 【分析】本题考查了方向角，“路程速度时间”． （1）根据图中方向和角度，即可得出答案； （2）根据图中方向和角度，即可得出答案； （3）先求出从学校到广场的实际距离，再根据“路程速度时间”，即可求得他们相遇需要的时间，进而可求他们相遇的地点． 【详解】解：（1）由图可知，以医院为观测点，广场的位置是南偏东，距离医院410米． （2）由图可知，以超市为观测点，车站的位置是北偏东，距离超市220米． （3）（分钟）， （米）， 故小虹从学校沿图中路线向广场方向行进，每分步行50米，小桥从广场沿图中路线向学校方向行进，每分步行75米，他们同时出发，经过10分钟在车站相遇． 3．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)射线的方向是___________． (2)求的度数． (3)若射线平分，写出图中所有与互余的角，并说明理由． 【答案】(1)北偏东； (2)； (3)、，理由见解析． 【分析】本题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，余角的定义，解题的关键是掌握方向角的表达方法． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据等量关系，求出的度数； （3）根据射线平分，即可求出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 又射线的方向是北偏东， 与正北方向的夹角为：， 射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； （2）， ， ； （3）、与互余，理由如下： 平分， ， ，． 与互余． 【经典例题六 与方向角有关的计算】 【例6】如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　） A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的表示以及方向角的计算，用的度数减去，再结合图形即可解答． 【详解】解：． 点C在点O的北偏西方向上． 故选：B． 1．如图，的方向是北偏西，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】本题主要考查了方向角，做此类题目一定要找准所求方向与南北方向的夹角，否则容易出错． 先求出的度数，然后再看与北方的夹角. 【详解】解：由题意可得， 则，OC与正北方向的夹角是． 则的方向是北偏东． 故选：C． 2．如图，甲从点出发向北偏东 方向走到点 ，乙从点出发向南偏西 方向走到点 ，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了方向角，根据题中的方位角，确定出所求角度数即可，正确理解方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（1）如图1，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝8cm，BD＝3cm． ①求线段CD的长； ②若点E是直线AB上一点，且BE＝BD，点F是BE的中点，求线段CF的长 （2）如图2，OA的方向是北偏东20°，OB的方向是北偏西40°． ①若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向如何表示？ ②若∠BOC与∠COD互补，则OD的方向如何表示？ 【答案】（1）①1cm；②cm或cm；（2）①北偏东80°； ②南偏东40° 【分析】（1）①（1）根据线段的和差进行求解即可； ②分E在B点的左边和右边进行讨论求解即可； （2）①根据∠AOB =40°+20°=60°，∠AOC=∠AOB，所以∠AOC=60°，可以得到∠EOC=80°，由此即可求解； ②∠BOC与∠COD互补，所以B，O，D三点在一条直线上即点D在OB的反向延长线上，由此求解即可. 【详解】解：（1）①因为C是线段AB的中点，AB=8cm，所以BC=4cm； 因为BD=3cm，所以CD=BC－BD=4—3=1 cm； ②因为BE=BD，BD=3cm，所以BE=1cm； 因为点F是BE的中点，所以BF=BE=×1=cm； 当点E 在点B的右侧时，CF=CB+BF=4+=cm， 当点E 在点B的左侧时，CF=CB—BF=4－=cm； （2）因为∠AOB =40°+20°=60°，∠AOC=∠AOB，所以∠AOC=60°，所以OC的方向为北偏东80°； 因为∠BOC与∠COD互补，所以B，O，D三点在一条直线上，即点D在OB的反向延长线上；因为OB的方向是北偏西40°，所以OD的方向是南偏东40°； 【点睛】本题主要考查了线段的和差，用方位角表示方向，补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【经典例题七 角的单位与角度制】 【例7】将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角度间的换算，先把乘以得，再乘以得，最后加上整数部分即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以． 【详解】解：， ， ∴用度、分、秒表示为， 故选：． 1．将用度、分、秒的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了度、分、秒之间的计算，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键，注意：，．先把小数部分度化为分，再把小数部分分化为秒． 【详解】解：， ． ∴． 故选C． 2．已知． （1）将它化为度、分、秒的形式得 ； （2）的余角= （用度表示）； （3）的补角= （用度、分、秒表示）． 【答案】 【分析】本题考查了角度制，余角和补角的概念； （1）根据进行换算即可； （2）根据余角的概念列式计算即可； （3）根据补角的概念列式计算即可． 【详解】解：（1）因为， ∴， 故答案为：； （2）的余角， 故答案为：； （3）的补角， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的运算，按照实数的运算顺序“先算乘除，后算加减”进行运算，注意，是解题的关键． 【详解】（1）解： = =； （2）解： = =． 【经典例题八 角的度数大小比较】 【例8】已知，下面结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为，即可得出答案． 【详解】由， 又因为， 所以． 故选：C． 【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键． 1．已知，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】由已知，得，所以． 2．已知的余角是，的补角是，则和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角的知识以及角的大小比较及角度的换算，需根据余角与补角的定义来解答；首先根据互余两角之和为，互补两角之和为，由此求出和的值，再根据角度制换算，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 3．和相等吗？如果不相等，哪一个大？ 【答案】不相等， 【分析】将，转化为，进而比较得出答案． 【详解】解：，所以和不相等，． 【点睛】此题主要考查了度分秒的转换，正确转化度分秒是解题关键． 【经典例题九 角的比较】 【例9】已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1518′，那么的大小关系为（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＜∠B＜∠C C．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠A＞∠B 【答案】B 【分析】根据小单位化成大单位除以进率，可得答案． 【详解】解：∠A=25.12°，∠B=25°12′=25.2°，∠C=1518′=25.3°， ∠A＜∠B＜∠C， 故选B． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，利用不过小单位化大单位除以进率是解题关键． 1．如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，根据图中的三角尺为等腰直角三角形得，，利用中间角比较角的大小是解题的关键． 【详解】解：∵图中的三角尺为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：A． 2．小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的大小比较，取点E，连接，由网格可知，根据可得． 【详解】解：如图，取点E，连接， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 3．如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得 （保留尺规作图痕迹）； (3)若，． ①比较线段与的大小，并直接写出结论； ②比较与的大小，并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （2）根据要求画出图形； （3）利用测量法解决问题． 【详解】（1）解：如图，射线，线段，直线即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：①由测量法可知； ②由测量法可知． 【经典例题十 三角板中角度计算问题】 【例10】一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差．熟练掌握角的和差计算，是解决问题的关键． 利用与的和减去的差即得． 【详解】∵， ∴， ∵， ， ∴． 故选：B． 1．一副三角板摆放成如图所示，点在上，经过点，已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，三角形外角性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键．由三角板可得，，再由三角形外角性质求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，则， 在中，，，则， 是的一个外角，， ，即， 故选：C． 2．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：当时，，分以下两种情况： 如图1所示， ， ； 如图2所示， ， 综上所述，的度数为或 根据答案为：或． 3．如下图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题题主要考查了互补、互余的定义等知识， （1）由，求出的度数，由即可得出； （2）由，求出的度数，由即可求出； （3）由于，即可得，所以． 【详解】（1）由题可知：，， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴． 【经典例题十一 几何图形中角度计算问题】 【例11】如图，将一张长方形纸片分别沿着折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠问题，根据折叠前后对应角相等可得，，结合长方形中可得答案． 【详解】解：由折叠知，， ，， ， ， 故选C． 1．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 2．一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了利用光的反射定律和折射定律求角的度数，掌握光的反射和折射定律是解题的关键．过点作法线，由界面、入射角等于反射角即可求解． 【详解】解：过点作法线，得到界面， 由图可知是入射光线，是反射光线，是折射光线， 界面， ，得到， 入射角等于反射角， ， 与界面的夹角是， ， 故； 故答案为120°． 3．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不能 (2)见解析 (3)选用，理由见解析 (4)不一定能，理由见解析 【分析】（1）①用一副三角尺画出角的画图方案，用含的两个角拼接即可求解; ②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据题意设计一个，一边与射线重合，另一边即为角平分线， （3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解； （4）根据角度的四则运算进行判断即可求解． 【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出角，如图所示， ②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数， ∴用一副三角尺能不能画出的角， 故答案为：不能． （2）解：如图所示， （3）选用， 用的角旋转15次，则，与差， 再旋转16次，得到，与周角差， 再旋转16次，得到，超过始边 ∴绕点O逆时针旋转，得， 再将绕点O逆时针旋转， 得，……，如此连续操作47次， 可得的角， 即：． （4）对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出的角 例如，，此时无论如何旋转，都不能得到的角 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键． 【经典例题十二 角度的四则运算】 【例12】下列式子中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据“1度分，即，1分秒，即”进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算． 【详解】 解：A、，计算正确，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项不符题意． C、，计算正确，故本选项不符合题意． D、，计算错误，故本选项符合题意． 故选：D． 1．下列度分秒的换算中，正确的是（　   　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故A不符合题意； B.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； C.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C不符合题意； D.∵， ∴， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 2．计算： ． 【答案】12°21′58″ 【分析】根据度分秒的除法，从大的单位开始除，把余数化成下一单位，可得答案． 【详解】解：48°84′232″÷4=12°21′58″． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，利用了度分秒的除法，从大的单位开始除，把余数化成下一单位． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了度分秒的计算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【经典例题十三 实际问题中角度计算问题】 【例13】已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 1．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 2．小明从O点出发向北偏西走了500米到达A点，小丽从O点出发向南偏东走了300米到达B点，这时A、B两点之间的距离是 米． 【答案】800 【分析】本题考查了方位角，线段的和差，角的和差，由方位角的定义得，由角的和差得 ，可得、、三点在同一条直线上，由线段的和差即可求解；理解方位角，会判断三点共线时是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得： ， ， ， ， ， ， 、、三点在同一条直线上， (米)， 故答案：． 3．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 【经典例题十四 角平分线的有关计算】 【例14】如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 1．如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义：把这角分成两个相等角的射线叫这角的平分线是解答此题的关键． 根据直角的定义和角的和差解答即可． 【详解】解：是直角，， ， ， 又平分， ， ， ， 则． 故选：A． 2．如图，，，平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差和角的平分线的定义，正确计算角度是解题的关键．利用角的和差及角平分线的定义求解． 【详解】解析：解：，， ， 平分， ， ， 故答案为：． 3．如图①，将直角三角板的直角顶点O放在直线上．以点O为端点作射线，使． (1)如图①，若直角三角板的一边在直线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点O按逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求，的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据，，求出结果即可； （2）根据角平分线的定义得出，．根据，求出； （3）根据图形得出，，相减即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：因为平分，， 所以，． 因为， 所以． （3）解：． 理由：因为，， 所以，， 所以， 所以． 【经典例题十五 角n等分线的有关计算】 【例15】已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 2．如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 3．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【经典例题十六 求一个角的余角】 【例16】（2023上·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期末）如图，点A，O，B在一条直线上，是锐角，则的余角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的性质和余角的定义求解即可． 【详解】解：∵A，O，B在一条直线上， ∴， ∴， 的余角是， 故选：C． 【点睛】本题考查了余角的定义，解题关键是根据平角的定义得出． 1．（2022上·辽宁大连·七年级大连市第三十七中学校考期末）如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O．若，则的度数得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角板的性质，得，再根据角度和差性质运算，得，最后根据余角的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了角的运算，熟练掌握角的和差运算、余角的性质是解题关键． 2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考开学考试）在同一平面内，，与互余，则为 ． 【答案】90或40/40或90 【分析】分在和之间，在和之间两种情况，根据互余的定义和角的和差关系分别求解． 【详解】解：分两种情况： 当在和之间时，如图：    与互余， ； 当在和之间时，如图：    与互余，， ， ； 综上可知，为或， 故答案为：90或40． 【点睛】本题考查余角、角的和差关系，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 3．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）一个角的补角是它的余角的倍，则这个角余角的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】根据补角和余角的定义，“利用一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果． 【详解】解：设这个角的度数是， 则， 解得． 这个角的余角． 则这个角的余角度数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法． 4．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，是的平分线，且．    (1)图中的余角是__________． (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余角的定义，即可求解． （2）先求得，根据角平分线的定义求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵． ∴图中的余角是， （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了余角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 【经典例题十七 求一个角的补角】 【例17】（2022上·重庆潼南·七年级统考期末）如图，是直线上一点，是的平分线，，与互余，与互补，在不添加其他线的条件下，图中有（    ）对互为余角 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先根据是的平分线，可得，根据与互余，可得与互余，再根据与互补，可得，可得与互余，据此即可求解． 【详解】解：是的平分线， ， 与互余， 与互余，即， 又与互补， ， 与互余， 与互余， 故图中有4对互为余角， 故选：B． 【点睛】本题考查了互为余角、补角的求法，角平分线的定义，熟练掌握和运用互为余角、补角的求法是解决本题的关键． 1．（2022上·广东江门·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，为直角，OE平分，OF平分，OG平分．下列结论：①；②；③；④．正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由OF平分∠BOC，OG平分∠BOD，∠COD=90°，可得结论①；由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOB=180°，可得结论②；由∠AOC=180°-∠COB，∠COB+∠BOD=90°，代入∠AOC-∠BOD可得结论④；由结论④可得∠EOC=∠GOD+45°，代入∠EOG=∠EOC+∠COG可判断结论③． 【详解】解：OF平分∠BOC，则∠BOF=∠COF， OG平分∠BOD，则∠BOG=∠DOG， ∵∠COD=∠COB+∠BOD=90°， ∴（∠COB+∠BOD）=45°， ∴∠FOB+∠BOG=∠FOG=45°，故①正确； OE平分∠AOC，则∠AOE=∠EOC， ∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180°， ∴（∠AOC+∠COB）=90°， ∴∠AOE+∠FOB=90°，故②正确； ∵∠AOC=180°-∠COB，∠COB+∠BOD=90°， ∴∠AOC-∠BOD=180°-∠COB-∠BOD=180°-（∠COB+∠BOD）=90°， 故④正确； ∠AOC-∠BOD=90°，则（∠AOC-∠BOD）=45°， ∴∠EOC-∠GOD=45°，∠EOC=∠GOD+45°， ∵∠EOG=∠EOC+∠COG=∠GOD+45°+∠COG=∠COD+45°=135°， 故③错误； 综上所述①②④正确， 故选： B． 【点睛】本题考查了角平分线相关的角的运算，掌握等式的性质是解题关键． 2．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）若，则的补角是 ．（算一个空） 【答案】 149 32 【分析】根据补角的定义（和为的两个角互为补角）即可得． 【详解】解：， 的补角是， 故答案为：149，32． 【点睛】本题考查了求一个角的补角，熟记补角的定义是解题关键． 3．（2023下·福建龙岩·七年级校联考期中）如图，直线交于点O，，若，则 °． 【答案】96 【分析】对顶角相等，得到，根据，求出的度数，进而求出的度数，互补关系，求出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：96． 【点睛】本题考查求角的度数．正确的识图，确定角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键． 4．（2023下·河南信阳·七年级校联考阶段练习）如图，直线与直线相交于点平分．    (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，平分，可得，根据，计算求解即可． （2）由，设，则，由，可得，解得，则，，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴． （2）解：∵， 设，则． ∵， ∴，解得， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，邻补角互补，对顶角相等．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 【经典例题十八 与余角、补角有关的计算】 【例18】（2023上·全国·七年级专题练习）若与互余，与互补，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与互余，与互补可得，，由得：，由此即可解答．掌握“互为余角的两个角的和为，互为补角的两个角的和为”是解题的关键． 【详解】解： 与互余，与互补， ∴，， 由得：， ． 故选：D． 1．（2023上·广东江门·八年级校考期中）如图，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，过点O在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，掌握角的和差倍分关系是关键． 令为，为，，根据即可得到与满足的数量关系． 【详解】解：令为，为，， ， ， ，即， ∴． 故选：C． 2．（2022上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，若是直线上一点，，，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题先由平角的定义得出，再由已和条件即可求出结果． 【详解】解：，， ， ，且， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平角的定义和角的计算，解答本题的关键是理解平角的概念． 3．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）在同一平面内，，与互余，则是 度． 【答案】或 【分析】根据图形分情况讨论，即可求出的度数． 【详解】如图：    ∵与互余， ∴； 如图：    ∵与互余， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了角的计算，解题的关键是注意采用分类讨论的思想． 4．（2023上·河北承德·七年级统考期中）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度，(如图2)，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，求的值．    【答案】的值为或或 【分析】本题考查角平分线及角度加减，分①当在左边且平分时，②当在右边且平分时，③当在右边且平分时，三类讨论位置，根据平角定义列式即可得到答案，解题的关键是分类讨论位置． 【详解】解：①当在左边且平分时， ∵，， ∴； ②当在右边且平分时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③当在右边且平分时， ∵， ∴， ∴， 综上所述的值为或或． 【经典例题十九 同（等）角的余（补）角相等】 【例19】（2023上·江苏无锡·七年级统考期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等，得到，根据平角的定义，得到，，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴图中与互补的角有，共3个； 故选C． 【点睛】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为，是解题的关键． 1．（2023上·四川达州·七年级统考期末）如图，平面内，，平分，则以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．0个 【答案】B 【分析】先根据余角的性质证明，再根据，即可判断①正确；根据，即可判断②正确；根据，且，可判断③错误； 根据平分线的定义得出，根据得出，根据，即可判断④正确． 【详解】解：， ， ∵， ，故①正确； ，故②正确； ， 而，故③不正确； 平分， ， ∵， ，即点、、共线， ， ，故④正确； 综上分析可知，正确结论的个数有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握各角度之间的关系． 2．（2022下·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期中）一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的补角是 °． 【答案】120 【分析】设这个角为x；则这个角的余角为90°-x，这个角的补角为180°-x；根据题意，90°-x=（180°-x），解方程得这个角的度数，进而求这个角的补角； 【详解】解：设这个角为x；则这个角的余角为90°-x，这个角的补角为180°-x； 根据题意，90°-x=（180°-x）， 解得：x=60°， ∴这个角的补角为：180°-60°=120° 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查余角、补角的概念、一元一次方程的应用，正确得到方程是解本题的关键． 3．（2021上·福建福州·七年级统考期末）如图，平面内，平分，则以下结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】由根据同角的余角相等得到，即可判断①； 由，即可判断② 由，即可判断③ 由平分，得出，再结合①，即可判断④ 【详解】解：∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵不一定等于，所以②不正确； ∵，所以③正确； ∵平分， ∴， 由①知， ∴， ∴，所以④正确． ∴平分 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了角度的计算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分线的定义，熟练掌握补余角的性质和角平分线的定义是关键． 4．（2022上·广东广州·七年级广州市广外附设外语学校校考期末）如图，是直线上一点，平分，．若．    (1)求的度数； (2)图中互为余角的角有_______对． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据平角的定义求出，再由平分，根据角平分线的定义求出 ，即可求出； （2）由余角的定义即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， （2）∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴图中互为余角的角有和， 和，和， 故答案为：． 【点睛】此题考查了余角和补角以及角平分线的定义， 弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键． 【经典例题二十 角的综合运用】 【例20】如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°； (2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图． 运动停止时，直接写出______； 请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)； (2)小田的发现是正确的，这个定值是； (3)；当时，；当时，． 【分析】（）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （）算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； 由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可； 本题考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系． 【详解】（1）如图， ∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）小田的发现是正确的，这个定值是，理由，如图， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是； （3）如图， ∵， ∴，， 设运动时间为，则，则， 运动停止时，即时，如图，旋转的角度为， ∴， 故答案为：； 当点，，三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 1．阅读材料． (1)【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数．（写解答过程） ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？直接写出结论． (3)【类比探究】 如图3，在内部转动，若，，，，则的度数为________．（用含有k的式子直接表示计算结果） 【答案】(1)16 (2)①；② (3) 【分析】（1）由点C和点D分别是的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）①由和分别平分和，得，，从而，进而解决此题； ②与①同理求解即可； （3）由可得，，，所以，根据可得结论． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵点C和点D分别是的中点， ∴，， ∴． 故答案为：16． （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ②．理由如下： ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴ ． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 2．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，； 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． （1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可； （2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可； （3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义， 故答案为：是； （2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图， ∵ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”． （3）∵射线是的“量尺金线”， ∴在的内部， ∴在的外部； 分三种情况： ①如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ②如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”． 3．综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． 若，则线段______； 若，则线段______． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图所示，，，且，，请直接写出______（用含的式子表示） 【答案】（1）7，7；（2）；（3） 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． （1）利用求解即可；利用求解即可； （2）利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； （3）先求出，，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：（1）点D，E分别是和的中点，，， ，， ， ， 点D，E分别是和的中点，，， ，， ， ， （2）射线平分，射线平分， ，， ， ， 即度数为； （3），， ，， ，， ， 即的度数为． 1．亲爱的同学们，我们的数学测试从开始，钟表上时分时，时针和分针的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角，钟表上个大格把一个周角等分，每个大格，点分时针与分针之间共个大格，即可得解．解题的关键是明确钟面的特征：钟面被分成大格，每大格；分针每分钟转，时针每分钟转． 【详解】解：时分就是下午时分， ∵点分，时针指向和的中间，分针指向，中间相差大格半， 又∵钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点分分针与时针的夹角是． 故选：B． 2．已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到在外部和内部两种情况是关键． 分在外部和内部两种情况，由、分别平分、可得、度数，在根据两种位置分别求之． 【详解】解：①如图，当在外部时， ∵，平分， ∴， 又∵，平分， ∴， ∴； ②如图，当在内部时， ∵，平分， ∴， 又∵，平分， ∴， ∴， 综上所述：为或． 故选C． 3．如图，点，，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A 4．如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤，正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的有关计算，根据互余的两角之和为，再分别代入计算即可． 【详解】解：∵和互余， ∴， ∴表示的补角的式子：①，故正确； ②，故正确； ③，故错误； ④，故错误； ⑤，故正确； ∴符合题意的有①②⑤， 故选：C． 5．如图直线，，交于点O，平分，且，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直的定义可得，根据对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，最后再根据即可得解． 本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 6．点分时，钟面上的时针和分针所成的角是 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角．利用时针与分针转动的度数关系：时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转．从点整到点分，分针转了，时针转了，再由点整时针与分针的夹角为，进而可求得点分时分针与时针的夹角． 【详解】解：由题意可知，时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转， 从点整到点分，分针转了，时针转了， 点整时针与分针的夹角为， 点分时分针与时针的夹角． 故答案为：． 7．计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查角度的四则运算，根据，进行计算即可． （1）先将度分秒分别相加，分、秒满60向前进1即可； （2）先计算乘除，再计算加法，分、秒满60向前进1． 【详解】（1）． （2）． 故答案为：；． 8．如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 【详解】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 9．一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ． 【答案】 /50度 或 【分析】本题考查了量角器中的角度计算，互余等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为，即可求出的度数，从而得出的余角的度数，再根据射线所指示的度数为，即可求解． 【详解】解：根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为， ∴， 则的余角的度数为， 根据图2可得，射线所指示的度数为， ∴射线所指示的度数为，射线所指示的度数为， 故答案为：或． 10．如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 【答案】45 【分析】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，由题意可得，从而可求得，进而得到，再由角平分线定义得，根据计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：45． 11．如图，，，若，分别作和的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角的计算，先根据角平分线定义得出，，根据，得出，最后根据求出结果即可． 【详解】解：如图，因为平分，平分， 所以，， 因为， 所以， 所以． 12．已知在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，分两种情况讨论：①如图，当在的外部，②如图，当在的内部，再结合图形进一步解答即可． 【详解】解：①如图，当在的外部， ∵平分，，， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∵平分， ∴； ②如图，当在的内部， ∵平分，，， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∵平分， ∴． 综上所述，的度数是或． 13．关于度、分、秒的换算． (1)用度表示； (2)用度表示； (3)用度、分、秒表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． （2）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． （3）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角尺中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形板中角的度数． （1）根据，，求出．根据，得出． （2）根据，，求出，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：由题图可知，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 15．线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差、角平分线的定义，熟练掌握以知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段的中点得出，，再由计算即可得解； （2）设，，，则，由角平分线的定义得出，，求出，结合，得出，求解即可． 【详解】（1）解：因为D，E分别是和的中点， 所以，． 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）解：设，，，则． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$