精品解析：内蒙古包头市昆都仑区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，矩形的对角线交于点O，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 2. 如图，在菱形中，若，，则对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 4. 若，则关于x的一元二次方程实数解的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 1个或2个 D. 0个 5. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，根据题意，设小路的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7. 如图所示，在中，，分别是，的中点，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 8. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 10. 已知实数，是方程的两根，则______． 11. 如图，边长为3的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是______． 12. 如图，，若，，则的长度是______． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 14. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________． 三、解答题：本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择景点的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率． 17. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 18. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，． （1）求证：四边形AOBE是菱形； （2）若，，求菱形AOBE的面积． 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）设矩形的边，则边的长度是多少？（用含有x的代数式表示） （2）当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 20. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 21. 在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证：； （2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，矩形的对角线交于点O，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，据此可得答案． 【详解】解：∵矩形的对角线交于点O，， ∴， 故选：A． 2. 如图，在菱形中，若，，则对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，则． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 若，则关于x的一元二次方程实数解的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 1个或2个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，根据题意，设小路的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的长方形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得， 故选：D． 6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴. ∴DE=. 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 7. 如图所示，在中，，分别是，的中点，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中线定理，可得，，进而得到的相似比，根据面积比等于相似比的平方，即可求解， 本题考查了三角形的中位线，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：求出的相似比． 【详解】解：，分别是，的中点， ，， ， ， ， ， 故选：． 8. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 9. 如图，在正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，证明，列出比例式，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 10. 已知实数，是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵实数，是方程的两根， ∴， 故答案为：． 11. 如图，边长为3的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，根据题意求出，，再根据点C在第一象限即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是边长为3的正方形， ∴，， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，，若，，则的长度是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．根据相似三角形的性质列出方程即可求解． 【详解】解：，． ， 当时，． 故答案为：9 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角 ∴， ∴， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 三、解答题：本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用公式法解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 16. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择景点的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率计算公式求解即可； （2）利用树状图或列表的方法，分析甲、乙至少一人选择的基本事件的个数，除以总的基本事件个数即可． 【小问1详解】 解：共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的， 甲选择景点的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择景点共有种等可能的结果， 甲、乙至少有一人选择景点的概率为． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟练掌握相关计算方法是解题的关键． 17. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设年买书资金的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：年买书资金的平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 18. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，． （1）求证：四边形AOBE是菱形； （2）若，，求菱形AOBE的面积． 【答案】（1）证明过程见解答；（2） 【解析】 【分析】（1）根据BE∥AC，AE∥BD，可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA=OB，由菱形的定义可以得到结论成立； （2）根据∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE边OA上的高，然后根据菱形的面积=底×高，代入数据计算即可． 【详解】解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AOBE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∴OA=OB， ∴四边形AOBE是菱形； （2）解：作BF⊥OA于点F， ∵四边形ABCD是矩形，AC=4， ∴AC=BD=4，OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∴OA=OB=2， ∵∠AOB=60°， ∴BF=OB•sin∠AOB=， ∴菱形AOBE的面积是：OA•BF==． 【点睛】本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积=底×高或者是对角线乘积的一半． 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）设矩形的边，则边的长度是多少？（用含有x的代数式表示） （2）当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 【答案】（1） （2）羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）用栅栏长减去长的两倍再加上的长即可得到答案； （2）根据（1）所求结合矩形面积计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，，； 当时，，； 答：羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为． 20. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)OE=5，BG=2. 【解析】 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)略 (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 21. 在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证：； （2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据翻折的性质可得，然后根据角的和差、直角三角形的性质可得，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，先根据翻折的性质可得，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1） 略 （2）设， 由翻折的性质得：， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， 解得， 即． 【点睛】本题考查了矩形的翻折问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $