第三章 位置与坐标单元练习 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第三章 位置与坐标单元练习 2024-2025学年北师大版数学八年上 一、单选题 1．点关于轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．点在第二象限，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．华华和伟伟下棋，华华执圆形棋子，伟伟执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，则左上角的圆形棋子可用（   ）表示． A． B． C． D． 5．如下图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，第2023次运动后，动点P的坐标是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，，，，…，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作轴于点B，连接，作关于直线的对称图形，得到，交x轴于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标为 ． 9．如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为 ．    10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若，那点的坐标是 ． 11．如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ； （2）若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则158的位置是 三、解答题 12．在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，三点都在格点上． (1)关于轴对称的图形为（其中：与，与，与相对应），在图中画出； (2)点是轴上一点，则的最小值是_____． 13．在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，满足． (1)在平面直角坐标系中作出； (2)以轴为对称轴，作出的轴对称图形； (3)求的面积． 14．下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 15．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足，点M为第三象限内的一点． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)若点 ， 请用含 m的式子表示的面积 (3)若点到坐标轴的距离相等，且，，求点N的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，求点的坐标． 17．已知平面直角坐标系中有一点． (1)已知点，当轴时，求点的坐标和线段的长； (2)当点到轴的距离为1时，求点的坐标． 18．在平面直角坐标系中，已知点与点． (1)若点A在x轴上，点B在y轴上，求的值． (2)若点A在第一、三象限的角平分线上，点B在第二、四象限的角平分线上，求A，B两点的坐标． 19．梯形在平面直角坐标系中的位置如图，已知，点，，，其中满足． (1)直接写出___________； (2)求点，的坐标； (3)若在第二象限有一点，连接，，已知的面积是面积的一半，求点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在y轴上，求x的值； (2)若，且轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 21．（1）已知的平方根为，的立方根为3，求的值． （2）已知点，若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值． 22．“2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”． (1)将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）； (2)若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且； (3)若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标． 23．在平面直角坐标系中，直线表示过且垂直于轴的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作点关于直线的对称点，称为变换；当时，作点关于轴的对称点，称为变换．若某个图形上既有变换的点，又有变换的点，则称此图形为双变换图形．例如，已知点，当时，点应作，变换后为；点对应作变换，变换后为． (1)当时， ①已知点，则作对应变换后的坐标为______； ②若点作相应变换后的点的坐标时，则点的坐标是______； (2)已知， ①若线段是双变换图形，则的取值范围为______； ②已知点在第四象限的角平分线上，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得的图形记为，直接写出所有图形覆盖的区域的面积为______． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为轴和轴上一点，且，满足，过点作于点，延长至点，使得，连接、．    (1)点的坐标为______，的度数为______； (2)如图1，若点在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图2，若点的坐标为，连接，平分，与交于点． ①求点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D B C C C B 1．D 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于x轴的对称点的坐标是，进而求出即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点坐标是， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了点的坐标的确定与意义，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值．在y轴左侧，在x轴的上侧，即点在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正．先根据题意确定点的坐标的绝对值，再根据点M在第二象限判断即可． 【详解】解：设， ∵点距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度， ∴，， ∴，， ∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：D． 3．B 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题的关键．直接利用第二象限内的点：横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P在第二象限． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查坐标与图形变化的性质，坐标确定位置等知识，根据题意构建平面直角坐标系即可解决问题． 【详解】解：如图， 左上角的圆形棋子可用表示． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环， ∴， ∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是， 故答案为：C． 6．C 【分析】本题考查了点的坐标规律．当为奇数时，点的坐标在轴上，再根据从原点开始，每隔4个的点在轴负半轴上，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴当时，其位于轴的正半轴上，且横坐标为， 当时，其位于轴的负半轴上，且横坐标为， 又中是奇数，且， 故横坐标为， ∴的坐标为， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称的性质，由对称可知，，，，，得，则，设，在中，，列出方程求解即可． 【详解】解：点A的坐标为，过点A作轴于点B， ∴，，轴，则， 由对称可知，，，，， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， ∴点的坐标为， 故选：B． 8． 【分析】本题主要考查对称点的坐标在直角坐标系中的特征．①关于x轴对称的两个点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，其纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数． 根据关于x轴对称的两个点的特征求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B与点A关于x轴对称， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 9．或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质．根据题意可得，，然后分两种情况讨论：若，若，结合全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点A坐标为，点B坐标为， ∴，， 如图，若， ∴， ∴点C的坐标为； 如图，若，    ∴，， ∴点C的坐标为； 故答案为：或 10． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，坐标轴上的点的坐标，根据全等三角形的性质求出是解答关键． 根据可得到，再利用全等三角形的对应边相等，求出即可求解． 【详解】解： ， ． ， ， ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了数字的规律探究，用坐标表示位置，根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可推导一般性规律为：第行，最后一个数是，将代入求解即可； （2）根据规律估算出所在的行，然后再根据上一行最后一位即可得出的位置． 【详解】（1）解：由题意知，第1行，最后一个数是； 第2行，最后一个数是； 第3行，最后一个数是； 第4行，最后一个数是； … ∴ 可推导一般性规律为：第行，最后一个数是， ∴第8行的最后一个数是， 故答案为：； （2）解：由题意知，当时，最后一个数是； 当时，最后一个数是； ∵， ∴位于第行， ∵第行第一个数字为， ∴为第行第5个数字， ∴的位置是， 故答案为：． 12．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了对称作图，两点间距离公式，线段和的最小值，熟练掌握对称作图，线段和最小值是解题的关键． （1）根据横坐标不变，纵坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）作点A关于轴的对称点，连接，交轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， 故，，，画图如下： 则即为所求． （2）解：作点A关于轴的对称点，连接，交轴于点P， 则点P即为所求最小值点． 根据题意，得，， 故， 故， 故答案为：． 13．(1) (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了本题考查作图-轴对称变换，非负数的性质，三角形和面积． （1）先由得出a、b的值，得，再根据A，B，C的坐标，作出三角形即可； （2）利用轴对称变换的性质，作出图形即可； （3）直接用面积公式计算的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ， ， 因此如下图即为所求： （2）解：分别作出点，，关于轴的对称点，，， 再首尾顺次连接可得，如下图即为所求； （3）解：如图可知． 14．(1)东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、 (2)豆豆不会迟到 【分析】本题考查了依据地图上的方向辨别方法，依据方向和距离判定物体位置的方法，读懂地图是解答关键． （1）根据地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”来求解； （2）先计算出豆豆用的时间，再计算出豆豆往返后再到学校的路程，然后用豆豆每分钟骑行米所走的路程进行比较求解． 【详解】（1）解：根据地图描述豆豆从家到学校的路线：先向正东行驶米到游乐园，再向东偏北（北偏东）方向行驶米到图书馆，最后向西偏北（北偏西）方向行驶 米到学校 故答案为：东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、． （2）解：根据题意得 （分钟） 豆豆的路程： ． 答：豆豆不会迟到. 15．(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值和完全平方公式的非负性，平面直角坐标系的坐标和图形， （1）根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b的值，可得答案； （2）以为底，以点M的纵坐标的绝对值为高可得答案； （3）先根据距离相等可得方程，再结合所在象限求出点M的坐标，然后根据的长度得出答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：如图， 为，且在第三象限内， ， 的面积； （3）解：到坐标轴的距离相等， 或， 或8. 为第三象限内一点， . ，， . ，， 或． 16．点的坐标为． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，    ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的坐标为． 17．(1)， (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形，掌握距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上绝对值的符号，这是解题的关键． （1）根据轴，得到M，N点的纵坐标相等，求出m的值，得到点M的坐标，从而得到线段的长度； （2）根据点M到y轴的距离为1，得到，求出m的值即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解：轴， ，点的纵坐标相等， ，点， ， ， ， ，         线段的长度； （2）点到y轴的距离为1， ， 或， 或， 或， 或． 18．(1) (2)， 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，掌握坐标轴上点的坐标特征：x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0；象限角平分线上点的坐标特征：第一、三象限的角平分线上点的横坐标相等，第二、四象限的角平分线上点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． （1）根据点在x轴上，可得，可求得x的值；点在y轴上可得，即可求得y的值，从而可求解； （2）由点A在第一、三象限的角平分线上可得出，可求得y的值，由点B在第二、四象限的角平分线上，可得，可求得x的值，从而可求得A，B两点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在x轴上 ∴，解得：； ∵点在y轴上， ∴，解得：， ∴； 即的值为． （2）解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴，解得：， ∴； ∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴ 把代入得， ∴， ∴，， ∴． 19．(1)； (2)点的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】（）根据算术平方根的定义即可求解； （）由，则，然后由勾股定理求出，即，从而求解； （）根据的面积是面积的一半，得到，然后解出即可； 本题考查了坐标与图形，算术平方根，勾股定理，三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，则， 故答案为：； （2）解：由（）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，的面积是面积的一半， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，在y轴上的点的坐标特点： （1）在y轴上的点横坐标为0，据此列出方程求解即可； （2）平行于y轴的直线上的点横坐标相同，据此求出x的值即可求出点P的坐标； （3）第一象限内的点横纵坐标都为正，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求出点P到两坐标轴的距离，再根据点P到两坐标轴的距离之和为9建立方程求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在y轴上， ∴， ∴； （2）解：∵轴， ∴点P与点Q的横坐标相同， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵在第一象限， ∴， ∴点P到x轴的距离为，点P到y轴的距离为， ∵点P到两坐标轴的距离之和为9， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（1）4（2） 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，平方根，算术平方根，立方根的性质等知识点， （1）利用平方根和立方根的性质求出x，y的值，然后代入中计算即可； （2）根据第一象限内到x轴和y轴距离相等的点的坐标特征即可解决问题； 熟知平方根，算术平方根，立方根的性质及第一象限内到x轴和y轴距离相等的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）∵的平方根为，的立方根为3， ∴，， ∴，， ∴； （2）已知，求的值． ∵点，点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等， ∴， 解得， 故m的值为2． 22．(1)；；可持续发展 (2)证明见解析 (3)； 【分析】本题考查了坐标与图形变化，新定义问题和三角形的面积，深入理解“可持续发展”变换是解决问题的关键， （1）根据“可持续发展”变换的定义及“可持续发展点”的定义进行求解即可； （2）分为①当时，②当时，两种情况结合新定义求解即可； （3）先根据新定义求得，即的坐标为，再由，求得，即可求解． 【详解】（1）解：中，， 点作第一次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点， 中，， 点作第二次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点， 与重合， 为“可持续发展点”， 故答案为：；；可持续发展； （2）解：①当时，作点关于x轴的对称点， ∵， ∴， ∴作点关于y轴的对称点， ∴，且， ∴； ②当时，作点关于y轴的对称点； ∵， ∴， ∴作点关于x轴的对称点 ∴且， ∴， 综上所述，与不重合， ∴必为“合作共赢点”，且； （3）解：∵， ∴作点关于x轴的对称点， ∴， ∴， 又由（2）可知，， ∴， 求得， 即的坐标为， ∵， ∴， ∴． ∴，的坐标为． 23．(1)；或． (2)或； 【分析】本题考查坐标与图形，解题的关键是理解题意，掌握新定义，利用数形结合的思想进行解题． （1）①由题意根据变换的定义求解即可； ②根据题意分两种情形：，，结合新定义进行求解即可． （2）①由题意根据，两点的横坐标，判断出的范围即可； ②由题意可知满足条件的图形是平行四边形，变换后所有图形所覆盖的区域的面积． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴相应变换后的点的坐标是， 故答案为：． ②∵， 直线为． 若，则点作变换后的点的坐标为， ， ，且符合题意． ∴． 若，则点作变换后的点的坐标为， ，且符合题意． ∴． 综上，或． （2）解：①线段是双变换图形，，， ∴， 或． 故答案为：或． ②如下图中，点E满足条件的图形是平行四边形， 对于直线， 由题意，对于及其内部的点（E除外），满足，则它关于直线对称的图形为及其内部的点； 对于及其内部的点（线段除外），满足，则它关于y轴对称的图形为及其内部（线段除外）， ∴所有图形F所覆盖的区域为平行四边形及平行四边形，且它们的面积相等，等于平行四边形的面积， 变换后所有图形所覆盖的区域的面积． 故答案为： 24．(1)， (2)，；理由见解析 (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）先求出a，b的值，即可得出点，点B的坐标，可得，进而得出； （2）设与轴交于点，与交于点，先证明，得出，，进而得出，即可得出位置关系； （3）①作轴，轴，由点的坐标得，，先证明，可得点D的坐标； ②延长交于点，先证明，得出，再根据角平分线定义和已知证明，可得，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴点的坐标为，点， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； （2）解：； 理由如下： 设与轴交于点，与交于点，    ∵， ∴． 在和中，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， 即，； （3）解：①作轴交轴于点，轴交轴于点， ∵点的坐标为， ∴，，由（2）知，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴； ②延长交于点， ∵，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，绝对值和完全平方公式的非负性，等腰三角形的性质，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$