2024-2025学年北师大版数学八年级上册期末真题演练卷

期末真题演练卷（试题）2024-2025学年数学八年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•大通区期末）下列命题中，是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同位角相等 C．同角的余角相等 D．全等三角形的面积相等 2．（2023秋•济宁期末）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：S甲2＝0.58，S乙2＝0.52，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲和乙一样 D．无法判定 3．（2023秋•历城区期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，﹣3），点B的坐标为（3，﹣3），下列说法不正确的是（　　） A．点A在第三象限 B．点B在第二、四象限的角平分线上 C．线段AB平行于x轴 D．点A与点B关于y轴对称 4．（2023秋•新宾县期末）信息课上，小文同学利用计算机软件绘制了美丽的蝴蝶，如图，在绘图过程中，小文建立平面直角坐标系，先画出一半图形，利用对称性画出另一半．若图中点A的坐标为（﹣3，2），则其关于y轴对称的点B的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 5．（2023秋•高邮市期末）下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．3与﹣ D．|﹣3|与3 6．（2024春•荣昌区期末）估计+1的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7．（2024春•凉州区校级期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2023秋•金东区期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝5，EF＝BG，则DF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 9．（2023秋•电白区期末）点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣x+3图象上的两点．若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 10．（2023秋•九江期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共7小题） 11．（2023春•西吉县期末）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　 　． 12．（2023春•镇原县校级期末）某校评选先进班集体，从“学习”，“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100分，所占比例如表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 40% 25% 25% 10% 八年级2班这四项得分依次为80分，90分，84分，70分，则该班四项综合得分（满分100）为 　 　分． 13．（2023秋•巴南区期末）若点A（a﹣1，﹣2）与点B（﹣1，b+1）关于y轴对称，则a+b的值为 　 　． 14．（2023秋•高港区期末）如图，长方形ABCD的边AB落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，BC＝1，连接BD，以B为圆心，BD为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 　 　． 15．（2023秋•邗江区期末）如图，在 Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 　 　． 16．（2023秋•秦淮区期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A．将该函数图象绕点A逆时针旋转45°，则得到的新图象的函数表达式为 　 　． 17．（2024春•岳阳期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 　 　． 三．解答题（共8小题） 18．（2023秋•鼓楼区校级期末）解方程：4（x+1）2＝36． 19．（2023秋•鼓楼区校级期末）计算： （1）； （2）． 20．（2023秋•秦安县期末）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方根． 21．（2023秋•泉州期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，AB＝AD＝13m，BC＝8m，CD＝6m，且BD＝10m． （1）试说明：∠BCD＝90°； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植1m2花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 22．（2023秋•乌兰察布期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝70°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E． （1）求∠BCE的度数； （2）过点D作DF∥CE，交AB的延长线于点F，求∠F的度数． 23．（2023秋•青原区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点T（2，1）是点M和N的衍生点． 已知点D（3，0），点E（m，m+2），点T（x，y）是点D和E的衍生点． （1）若点E（4，6），则点T的坐标为 　 　； （2）请直接写出点T的坐标（用m表示）； （3）若直线ET交x轴于点H，当∠DHT＝90°时，求点E的坐标． 24．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1分别交y轴，x轴于点A，B，直线l2：y＝x+t分别交x轴，直线l1于点C，D． （1）求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标； （2）连接AC，若AC＝BC，求t的值； （3）P是x轴上的一点，连结AP，DP，若AP＝DP，且∠APD＝90°，求t的值． 25．（2023秋•历城区期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（3，0），B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D． （1）分别求直线AB和BD的函数表达式． （2）在线段BD上是否存在点E，使△ABE的面积为，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由． （3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 期末真题演练卷（试题）2024-2025学年数学八年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•大通区期末）下列命题中，是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同位角相等 C．同角的余角相等 D．全等三角形的面积相等 【解答】解：A、对顶角相等是真命题，故此选项不合题意； B、同位角相等是假命题，故此选项符合题意； C、同角的余角相等是真命题，故此选项不合题意； D、全等三角形的面积相等是真命题，故此选项不合题意； 故选：B． 2．（2023秋•济宁期末）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：S甲2＝0.58，S乙2＝0.52，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲和乙一样 D．无法判定 【解答】解：∵S甲2＝0.58＞S乙2＝0.52， ∴方差小的为乙，成绩最稳定的是乙． 故选：B． 3．（2023秋•历城区期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，﹣3），点B的坐标为（3，﹣3），下列说法不正确的是（　　） A．点A在第三象限 B．点B在第二、四象限的角平分线上 C．线段AB平行于x轴 D．点A与点B关于y轴对称 【解答】解：A选项，因为点A的横纵坐标都是负数，所以点A在第三象限，故该选项正确，不符合题意； B选项，点B到x，y轴的距离都是3，故该选项正确，不符合题意； C选项，因为点A，B的纵坐标都是﹣3，所以AB平行于x轴，故该选项正确，不符合题意； D选项，点A与点B关于y轴对称，说法错误，因为点A、B的横坐标不是互为相反数，符合题意； 故选：D． 4．（2023秋•新宾县期末）信息课上，小文同学利用计算机软件绘制了美丽的蝴蝶，如图，在绘图过程中，小文建立平面直角坐标系，先画出一半图形，利用对称性画出另一半．若图中点A的坐标为（﹣3，2），则其关于y轴对称的点B的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 【解答】解：若图中点A的坐标为（﹣3，2），则其关于y轴对称的点B的坐标为（3，2）． 故选：A． 5．（2023秋•高邮市期末）下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．3与﹣ D．|﹣3|与3 【解答】解：A．﹣3与＝3，两数是互为相反数，故此选项符合题意； B．﹣3与＝﹣3，两数相等，故此选项不合题意； C．3与﹣，两数不是互为相反数，故此选项不合题意； D．|﹣3|＝3与3，两数相等，故此选项不合题意； 故选：A． 6．（2024春•荣昌区期末）估计+1的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【解答】解：∵， ∴3， ∴4． 故选：C． 7．（2024春•凉州区校级期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设有x人，物品价值y元，由题意得： ， 故选：C． 8．（2023秋•金东区期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝5，EF＝BG，则DF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【解答】解：∵S正方形ABCD＝5，四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝． ∵四边形EFGH为正方形， ∴EH＝EF＝FG＝HG． 由题可知：△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH． ∵EF＝BG， ∴EF＝AF， ∴E是中点， 即AE＝EF， ∴． ∴△ADE≌△DEF（SAS）． 即DF＝AD＝． 故选：B． 9．（2023秋•电白区期末）点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣x+3图象上的两点．若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 【解答】解法一：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣x+3图象上的两点， ∴y1＝﹣x1+3，y2＝﹣x2+3， ∵x1＞x2， ∴﹣x1＜﹣x2， ∴﹣x1+3＜﹣x2+3， ∴y1＜y2， 故选：C． 解法二：∵对于一次函数y＝﹣x+3，y随x的增大而减小， 又∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣x+3图象上的两点，且x1＞x2， ∴y1＜y2， 故选：C． 10．（2023秋•九江期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米， ∴甲步行的速度为240÷4＝60（米/分），故①正确； 由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了16﹣4＝12（分钟）追上甲，故③错误； ∴乙的速度为16×60÷12＝80（米/分）， 则乙走完全程的时间为2400÷80＝30（分），故②错误； 当乙到达终点时，甲步行了60×（30+4）＝2040（米）， ∴甲离终点还有2400﹣2040＝360（米），故④正确； 综上，正确的结论有①④． 故选：B． 二．填空题（共7小题） 11．（2023春•西吉县期末）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　同位角相等，两直线平行　． 【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等． ∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12．（2023春•镇原县校级期末）某校评选先进班集体，从“学习”，“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100分，所占比例如表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 40% 25% 25% 10% 八年级2班这四项得分依次为80分，90分，84分，70分，则该班四项综合得分（满分100）为 　82.5　分． 【解答】解：80×40%+90×25%+84×25%+70×10%＝82.5（分）， 即该班四项综合得分（满分100）为82．（5分）． 故答案为：82.5． 13．（2023秋•巴南区期末）若点A（a﹣1，﹣2）与点B（﹣1，b+1）关于y轴对称，则a+b的值为 　﹣1　． 【解答】解：∵点A（a﹣1，﹣2）与点B（﹣1，b+1）关于y轴对称， ∴a﹣1＝1，b+1＝﹣2， 解得：a＝2，b＝﹣3， 则a+b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．（2023秋•高港区期末）如图，长方形ABCD的边AB落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，BC＝1，连接BD，以B为圆心，BD为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 　1﹣　． 【解答】解：在Rt△ABD中， AB＝1﹣（﹣1）＝2，AD＝BC＝1， ∴BD＝＝＝， ∵以B为圆心，BD为半径画弧交数轴于点E， ∴BE＝BD＝， ∴E点表示的数为1﹣， 故答案为：1﹣． 15．（2023秋•邗江区期末）如图，在 Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 　　． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°， ∴BC＝＝＝3，DC⊥BC， 如图，过D作DE⊥AB于点E， ∵BD平分∠ABC， ∴DC＝DE， 设DC＝DE＝x， ∵S△BCD+S△ABD＝S△ABC， ∴BC•DC+AB•DE＝AC•BC， 即×3x+×5x＝×4×3， 解得：x＝， 即DC的长为， 故答案为：． 16．（2023秋•秦淮区期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A．将该函数图象绕点A逆时针旋转45°，则得到的新图象的函数表达式为 　y＝3x+12　． 【解答】解：∵一次函数的图象与x轴交于点A． ∴A（﹣4，0）， 设一次函数的图象与y轴交于点B．则B（0，2）， 设旋转45°后的直线为L，过点B作BD⊥L，垂足为点D， 过点D作DN⊥y轴，DM⊥x轴，△ABD为等腰直角三角形， ∴AD＝BD， 在△AMD和△BND中， ， ∴△AMD≌△BND（AAS）， ∴DM＝DN， ∵2+NB＝4﹣NB， ∴NB＝1， ∴D（﹣3，3）， 设直线L的解析式为y＝kx+b，代入点A（﹣4，0），D（﹣3，3）得： ， 解得， ∴直线L的解析式为：y＝3x+12． 故答案为：y＝3x+12． 17．（2024春•岳阳期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 　　． 【解答】解：∵y＝x+2的图象经过P（m，4）， ∴4＝m+2， ∴m＝2， ∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（2，4）， ∴方程组的解是， 故答案为． 三．解答题（共8小题） 18．（2023秋•鼓楼区校级期末）解方程：4（x+1）2＝36． 【解答】解：4（x+1）2＝36， （x+1）2＝9， x+1＝±3， 解得：x1＝﹣4，x2＝2． 19．（2023秋•鼓楼区校级期末）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝﹣2﹣4﹣2﹣3 ＝﹣11； （2） ＝ ＝ ＝． 20．（2023秋•秦安县期末）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方根． 【解答】解：由题意得，a+9＝25，2b﹣a＝﹣8． ∴b＝4，a＝16． ∴2a+b＝32+4＝36． ∴2a+b的算术平方根是＝6． 21．（2023秋•泉州期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，AB＝AD＝13m，BC＝8m，CD＝6m，且BD＝10m． （1）试说明：∠BCD＝90°； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植1m2花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【解答】（1）证明：∵82+62＝102，BC＝8m，CD＝6m，BD＝10m， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°； （2）解：如图，过A作AE⊥BD于点E， ∵AB＝AD＝13m，BD＝10m， ∴BE＝DE＝BD＝5m， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝12（m）， ∴S阴影＝S△ABD﹣S△BCD＝BD•AE﹣BC•CD＝×10×12﹣×8×6＝60﹣24＝36（m2）， ∴100×36＝3600（元）， 答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元． 22．（2023秋•乌兰察布期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝70°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E． （1）求∠BCE的度数； （2）过点D作DF∥CE，交AB的延长线于点F，求∠F的度数． 【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠ABC＝70°， ∴∠BCD＝∠A+∠ABC＝100°， ∵CE是∠BCD的平分线， ∴∠BCE＝∠BCD＝50°； （2）∵∠BCE＝50°，∠ABC＝70°， ∴∠BEC＝∠ABC﹣∠BCE＝20°， ∵DF∥CE， ∴∠F＝∠BEC＝20°． 23．（2023秋•青原区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点T（2，1）是点M和N的衍生点． 已知点D（3，0），点E（m，m+2），点T（x，y）是点D和E的衍生点． （1）若点E（4，6），则点T的坐标为 　（，2）　； （2）请直接写出点T的坐标（用m表示）； （3）若直线ET交x轴于点H，当∠DHT＝90°时，求点E的坐标． 【解答】解：（1）＝， ＝2， 所以T的坐标为（，2）． 故答案为（，2）． （2）T的横坐标为：， T的纵坐标为：． 所以T的坐标为：（，）． （3） 因为∠DHT＝90°， 所以点E与点T的横坐标相同． 所以＝m， m＝． m+2＝． E点坐标为（，）． 24．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1分别交y轴，x轴于点A，B，直线l2：y＝x+t分别交x轴，直线l1于点C，D． （1）求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标； （2）连接AC，若AC＝BC，求t的值； （3）P是x轴上的一点，连结AP，DP，若AP＝DP，且∠APD＝90°，求t的值． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+1分别交y轴，x轴于点A，B， 令x＝0，则y＝1， 故点A的坐标为（0，1）， 令y＝0，则x＝﹣3， 故点B的坐标为（﹣3，0）， ∵直线l2：y＝x+t分别交x轴，直线l1于点C，D， 令y＝0，则x+t＝0， 解得：x＝﹣2t， ∴点C的坐标为（﹣2t，0）， ∵直线l2：y＝x+t与直线l1交于点D， ∴， 解得， 故点D的坐标为（6﹣6t，3﹣2t）； 综上，A点坐标为（0，1），B点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（﹣2t，0），D点坐标为（6﹣6t，3﹣2t）； （2）连接AC， ∵A点坐标为（0，1），B点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（﹣2t，0）， ∴BC＝﹣2t﹣（﹣3）＝3﹣2t，AC＝＝， ∵AC＝BC， ∴＝3﹣2t， 解得：t＝； （3）过点D作DH⊥x轴于H， 设P（m，0）， ∵∠APD＝90°， ∴∠APO+∠DPH＝90°，∠APO+∠PAO＝90°， ∴∠DPH＝∠PAO， ∵∠AOP＝∠PHD＝90°，AP＝PD， ∴△PAO≌△DPH（AAS）， ∴AO＝PH＝1＝|6﹣6t﹣m|，OP＝DH＝|3﹣2t|＝|m|， 当m＝3﹣2t时，|6﹣6t﹣3+2t|＝|3﹣4t|＝1， 解得t＝或t＝1（A，D重合舍去）， 故t＝， 当m＝﹣（3﹣2t）时，|6﹣6t+3﹣2t|＝|9﹣8t|＝1， 解得t＝或t＝1（舍）， 故 t＝， 综上，t＝或t＝． 25．（2023秋•历城区期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（3，0），B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D． （1）分别求直线AB和BD的函数表达式． （2）在线段BD上是否存在点E，使△ABE的面积为，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由． （3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【解答】解：（1）∵直线AB解析式：y＝﹣x+b且过点A（3，0）， ∴﹣3+b＝0，∴b＝3， ∴y＝﹣x+3， ∴B（0，3）， 由已知得点D为（6，0）， 设直线BD为y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线BD的解析式为； （2）存在．理由如下： ∵S△BOD＝OB•OD＝×3×6＝9，S△AOB＝OA•OB＝×3×3＝， ∴S△ADE＝S△BOD﹣S△AOB﹣S△ABE＝9﹣﹣＝3， 又∵S△ADE＝AD•yE＝yE， ∴yE＝2， 将y＝2代入，得x＝2， ∴点E为（2，2）； （3）K点的位置不发生变化．理由如下： 如图2中，过点Q作CQ⊥x轴，设PA＝m， ∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°， ∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°， ∴∠OPB＝∠PQC， ∵PB＝PQ， ∴△BOP≌△PCQ（AAS）， ∴BO＝PC＝3，OP＝CQ＝3+m， ∴AC＝3+m＝QC， ∴∠QAC＝∠OAK＝45°， ∴OA＝OK＝3， ∴K（0，﹣3）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$