2023-2024学年重庆八年级上数学期末复习分类汇编：几何最值问题“将军饮马”“瓜豆原理”

2023-2024年重庆八年级上数学期末复习分类汇编： 几何最值问题“将军饮马”“瓜豆原理” 一、将军饮马 1．如图1，在等腰中，，点是外一点，点在射线上，其关于线段的对称点刚好落在线段上．      (1)求证：； (2)如图2，连结，交于点，若，请探索、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，线段与交于点（在线段上），在线段上取点，使得．已知，，当的值最小时，的面积． 2．在如图中，，，点D在上，点E在上． (1)如图①，若，，，求的长； (2)如图②，过B点作交的延长线于点F，过C点作于E，求证：； (3)如图③，若，点H在线段上，且，点M、N分别是射线、上的动点，试问在点M、N运动的过程中，请判断的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，说明理由． 3．如图，在中，，，点D为边上一点，连结，过点B作交的延长线于点E． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，延长到点F使，分别连结，，交于点G．求证：． (3)如图3，若，点M是直线上的一个动点，连结，将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，点P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数． 4．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 5．如图，等腰三角形中，，D为边上一点，E为射线上一点，连接． (1)如图1，点F在线段上，连接、．若，为等边三角形，，，求的长； (2)如图2，F为线段的垂直平分线上一点，连接、、，M为的中点，连接、．若，求证：； (3)如图3，，D为中点，F为中点，与交于点G，将沿射线方向平移得，连接、．若，直接写出的最小值． 6．如图，在中，；点D、点E分别在线段、线段上，连接、，且；过E点作的垂线，交延长线于点H，交于点F，交于点G； (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点M是边上的一个动点，以线段为边，在直线下方作等边，连接；当，时，请直接写出在M的运动过程中取得的最小值； 7．已知点D在△ABC外，，，射线BD与△ABC的边AC交于点H，，垂足为E，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知，，点F在线段BC，且，点M，N分别是射线BC、BD上的动点．在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由． 二、确定运动路径“瓜豆原理” 8．如图，边长为12的等边三角形，点D从B点出发沿方向在线段上以的速度运动，点E从C点出发沿方向在线段CB上以的速度运动.D、E两点同时出发，运动时间为.当点D到达点A后，D、E两点停止运动. (1)如图1，若速度，连接相交于点F.在点D到达点A前，直接写出的度数______； (2)如图2，若速度，，连接，相交于点F.当时，求t的值； (3)如图3，若速度，，连接，以为边作等边，使M、B在的两侧，点O为的中点，连接，求的最小值. 9．在中，，点D为直线上一点，，，连接交于F． (1)如图1，，F为中点，若，，求的长； (2)如图2，延长至点G使得，过点G作延长线于点H，若，，求证：； (3)如图3，，，作点E关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出的面积． 10．已知在中，点D是AB边上一点，连接CD，，点E是直线CD上的一个动点，连接AE并延长交直线BC于F，． (1)如图1，若，，，求点A到CD的距离； (2)如图2，若点E是线段CD的中点，求证：； (3)如图3，若，，将线段AE绕点A旋转45°，点E的对应点为点G，连接EG，求CG的最小值． 三、差最大问题 11．已知和均为等腰三角形，，点E在上，点F在射线上． (1)如图1，若，点与点重合，求证：； (2)如图2，若，求证：． (3)若，在（2）的条件下，点E为的中点，P为所在直线上一动点，当取得最大值时，请直接写出的长． 12．如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，． (1)求点的坐标； (2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围； (3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长． 四、解答题 13．已知为等边三角形，D是直线上一点，连接． (1)如图1，若点D在线段上，以为边向上作等边，连接．当时，求的大小； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，以为边向上作，使得且，连接交线段于点F．求证：； (3)如图3，若点D为线段的中点，射线上有