第六单元专练篇·08：按比例分配问题“拓展版”-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第六单元专练篇·08：按比例分配问题“拓展版” 1．一条公路，平均分给甲、乙两个工程队来修。甲队15天完成了任务，这时乙队还差120 m没修，已知甲、乙两队工作效率的比是5∶3。这条路长多少米？ 2．幼儿园给大中小班分苹果，平均每班分70个．实际上，小班分的苹果个数占总数的，大班和中班分得苹果的个数比是3:2．三个班各分苹果多少个? 3．实验小学六年级三个班共收集废纸276千克，其中六年一班收集的比六年二班少，六年二班和六年三班收集废纸的比是8∶9。三个班各收集废纸多少千克？ 4．如下图，两个长方形重叠在一起，甲长方形没有重叠的部分的面积为S，相当于甲长方形面积的；乙长方形没有重叠的部分的面积为，相当于乙长方形面积的，那么S与的比是多少？ 5．服装厂生产一批校服，已经完成了总套数的。如果再生产900套，已经完成的与剩下的套数的比是5∶2。这批校服共有多少套？ 6．端午节有佩戴制作艾草香包的习俗，艾草香包具有预防上呼吸道感染，提高身体的抗病能力和免疫力等功效。悦心超市购进一批艾草香包，第一天卖出全部的，第二天卖出16个，这时剩下的个数与卖出的个数的比是5∶3。这批艾草香包原来有多少个？ 7．如图，大、小两个正方形中阴影部分的面积比是3∶1，小正方形中空白部分的面积是8平方分米，大正方形中空白部分的面积是多少平方分米？ 8．同学们分成三个小组进行植树活动，第一小组和第二小组人数的比是2∶3，第二小组和第三小组人数的比是4∶5。已知第一小组比第三小组少28人，这三个小组各有多少人？ 9．婷婷有一本故事书，已看的页数与剩下的页数的比是3∶5，如果再看65页，正好看完了全书的，这本故事书共有多少页？ 10．一本科技书，小明第一天看了全书的，第二天看了36页，两天看的页数与剩下页数的比是5∶3，这本书共多少页？ 11．狗跑4步的时间马能跑6步。马跑3步的距离相当于狗跑6步的距离。现在狗已跑出600米，马才开始追狗，马跑多少米可以追上狗？ 12．小华看一本书，已看的页数和剩下的页数比为3∶4，如果再看72页，正好看完全书的，这本书一共有多少页？ 13．为保护学生的视力，2022年9月以来，我区各小学的教室里都陆续安装护眼灯。某小学目前已安装的护眼灯是未安装的，若再安装196盏后，已安装的和未安装的比是5∶3，这所小学一共要安装多少盏护眼灯？ 14．客、货两车同时从甲地出发开往乙地，2小时后货车正好行了全程的一半，这时客车已行的路程和剩下的路程的比是，已知客车每小时比货车多行18千米，甲、乙两地相距多少千米？ 15．一辆车以每小时90千米的速度从甲地开往乙地，行了全程的后，又行了小时，这时已行的路程与未行的路程比是2∶3。甲乙两地相距多少千米？ 16．如图，乙长方形的面积是甲长方形面积的，它们的长宽比也都是5∶3，乙长方形的长是15厘米。 （1）求甲长方形的面积是多少？ （2）把图（1）中乙长方形向左平移，重叠部分又是一个长宽比为5∶3的长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？ （3）如果把这两个长方形随意重叠放置，如图（3），求甲乙两长方形未重叠部分的面积差。 （4）由第（3）小题的计算你能得出什么结论？请用自己的语言描述出来。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 4 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第六单元专练篇·08：按比例分配问题“拓展版” 1．一条公路，平均分给甲、乙两个工程队来修。甲队 15天完成了任务，这时乙 队还差 120 m没修，已知甲、乙两队工作效率的比是 5∶3。这条路长多少米？ 2．幼儿园给大中小班分苹果，平均每班分 70个．实际上，小班分的苹果个数占 总数的 2 7，大班和中班分得苹果的个数比是 3:2．三个班各分苹果多少个? 3．实验小学六年级三个班共收集废纸 276千克，其中六年一班收集的比六年二 班少 1 4，六年二班和六年三班收集废纸的比是 8∶9。三个班各收集废纸多少千 克？ 4．如下图，两个长方形重叠在一起，甲长方形没有重叠的部分的面积为 S，相 当于甲长方形面积的 5 6 ；乙长方形没有重叠的部分的面积为 S ，相当于乙长方形 面积的 7 8 ，那么 S与 S 的比是多少？ 2 / 4 5．服装厂生产一批校服，已经完成了总套数的 1 2 。如果再生产 900套，已经完 成的与剩下的套数的比是 5∶2。这批校服共有多少套？ 6．端午节有佩戴制作艾草香包的习俗，艾草香包具有预防上呼吸道感染，提高 身体的抗病能力和免疫力等功效。悦心超市购进一批艾草香包，第一天卖出全部 的 1 4，第二天卖出 16个，这时剩下的个数与卖出的个数的比是 5∶3。这批艾草 香包原来有多少个？ 7．如图，大、小两个正方形中阴影部分的面积比是 3∶1，小正方形中空白部分 的面积是 8平方分米，大正方形中空白部分的面积是多少平方分米？ 8．同学们分成三个小组进行植树活动，第一小组和第二小组人数的比是 2∶3， 第二小组和第三小组人数的比是 4∶5。已知第一小组比第三小组少 28人，这三 个小组各有多少人？ 3 / 4 9．婷婷有一本故事书，已看的页数与剩下的页数的比是 3∶5，如果再看 65页， 正好看完了全书的 11 12 ，这本故事书共有多少页？ 10．一本科技书，小明第一天看了全书的 14，第二天看了 36页，两天看的页数 与剩下页数的比是 5∶3，这本书共多少页？ 11．狗跑 4步的时间马能跑 6步。马跑 3步的距离相当于狗跑 6步的距离。现在 狗已跑出 600米，马才开始追狗，马跑多少米可以追上狗？ 12．小华看一本书，已看的页数和剩下的页数比为 3∶4，如果再看 72页，正好 看完全书的 6 7 ，这本书一共有多少页？ 13．为保护学生的视力，2022年 9月以来，我区各小学的教室里都陆续安装护 眼灯。某小学目前已安装的护眼灯是未安装的 1 2 ，若再安装 196盏后，已安装的 和未安装的比是 5∶3，这所小学一共要安装多少盏护眼灯？ 4 / 4 14．客、货两车同时从甲地出发开往乙地，2小时后货车正好行了全程的一半， 这时客车已行的路程和剩下的路程的比是3 : 2，已知客车每小时比货车多行 18 千米，甲、乙两地相距多少千米？ 15．一辆车以每小时 90千米的速度从甲地开往乙地，行了全程的 310后，又行了 2 3 小时，这时已行的路程与未行的路程比是 2∶3。甲乙两地相距多少千米？ 16．如图，乙长方形的面积是甲长方形面积的 35，它们的长宽比也都是 5∶3，乙 长方形的长是 15厘米。 （1）求甲长方形的面积是多少？ （2）把图（1）中乙长方形向左平移，重叠部分又是一个长宽比为 5∶3的长方 形，这个长方形的面积是多少平方厘米？ （3）如果把这两个长方形随意重叠放置，如图（3），求甲乙两长方形未重叠部 分的面积差。 （4）由第（3）小题的计算你能得出什么结论？请用自己的语言描述出来。 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第六单元专练篇·08：按比例分配问题“拓展版” 1．一条公路，平均分给甲、乙两个工程队来修。甲队15天完成了任务，这时乙队还差120 m没修，已知甲、乙两队工作效率的比是5∶3。这条路长多少米？ 【答案】600m 【分析】已知一条公路，平均分给甲、乙两个工程队来修，甲、乙两队工作效率的比是5∶3，那么在相同的时间内，当甲完成5份时，乙完成了3份，由于分给的任务量相同，那么乙还剩5－3＝2（份）没做，对应的数量是120m，可以求出1份多少，再乘5份算出甲的任务数量，再乘2即可求出这条路的长度。 【详解】120÷（5－3）×5×2 ＝120÷2×5×2 ＝60×5×2 ＝300×2 ＝600（m） 答：这条路长600m。 【点睛】解答本题的关键主要是找到120m的对应份数。 2．幼儿园给大中小班分苹果，平均每班分70个．实际上，小班分的苹果个数占总数的，大班和中班分得苹果的个数比是3:2．三个班各分苹果多少个? 【答案】大班90个；中班60个；小班60班 【详解】小：（个）      70×3-60=150（个） 大:150×=90（个）       中：150×=60（个） 3．实验小学六年级三个班共收集废纸276千克，其中六年一班收集的比六年二班少，六年二班和六年三班收集废纸的比是8∶9。三个班各收集废纸多少千克？ 【答案】六年一班收集72千克，二班收集96千克，三班收集108千克 【分析】把六年级二班收集的数量看作单位“1”，一班就是二班的，三班就是二班的，把三个班对应的分率求最简整数比，求出三个班的收集的重量之比，再用按比例分配的方法，求出总份数，用总重量除以总份数求出一份的重量，再用一份的重量分别乘每个班所占的份数，分别求出每个班的重量。 【详解】一班：二班：三班 ∶1∶ ＝∶1∶ ＝∶∶ ＝6∶8∶9 6＋8＋9＝23（份） 276÷23＝12（千克） 12×6＝72（千克） 12×8＝96（千克） 12×9＝108（千克） 答：六年一班收集72千克，二班收集96千克，三班收集108千克。 4．如下图，两个长方形重叠在一起，甲长方形没有重叠的部分的面积为S，相当于甲长方形面积的；乙长方形没有重叠的部分的面积为，相当于乙长方形面积的，那么S与的比是多少？ 【答案】5∶7 【分析】甲长方形没有重叠的部分的面积为S，相当于甲长方形面积的，则用S除以求出甲长方形面积，重叠部分面积是甲长方形面积的，用乘法求出重叠部分面积，同理可先求出乙长方形面积，再求出重叠部分面积，根据比的基本性质和等式的性质，找到S与S′的比并化简。 【详解】根据甲长方形面积求重叠部分面积： 据乙长方形面积求重叠部分面积： 则有 答：S与S′的比是5∶7。 【点睛】本题考查分数除法、比的基本性质、比的化简、等式的性质，解答本题的关键是掌握利用重叠部分面积相等找出两个非重叠部分面积之比。 5．服装厂生产一批校服，已经完成了总套数的。如果再生产900套，已经完成的与剩下的套数的比是5∶2。这批校服共有多少套？ 【答案】4200套 【分析】把整批校服数量看作单位“1”，根据题意，原来已完成总数的，后来又生产900套，此时已完成与未完成的套数比是5∶2，则已完成的占整批校服的。根据已知数量占整体的分率，求单位“1”，用除法计算，据此解答。 【详解】 （套） 答：这批校服共有4200套。 6．端午节有佩戴制作艾草香包的习俗，艾草香包具有预防上呼吸道感染，提高身体的抗病能力和免疫力等功效。悦心超市购进一批艾草香包，第一天卖出全部的，第二天卖出16个，这时剩下的个数与卖出的个数的比是5∶3。这批艾草香包原来有多少个？ 【答案】128个 【分析】把这批艾草香包原来的总数看作单位“1”，剩下的个数与卖出的个数的比是5∶3，则卖出的个数是总数的，用卖出的占总数的分率减去第一天卖出的占总数的分率，即可求出第二天卖出的占总数的分率，第二天卖出16个，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出批艾草香包原来有多少个，据此解答。 【详解】－ ＝－ ＝ 16÷＝16×8＝128（个） 答：这批艾草香包原来有128个。 7．如图，大、小两个正方形中阴影部分的面积比是3∶1，小正方形中空白部分的面积是8平方分米，大正方形中空白部分的面积是多少平方分米？ 【答案】120平方分米 【分析】根据“大、小两个正方形中阴影部分面积比是3∶1”可知，两个三角形的高相等，都等于小正方形的边长，根据三角形的面积＝底×高÷2可知，两个正方形边长的比是3∶1。假设大正方形的边长是3，小正方形的边长是1，则大、小两个正方形中空白部分的面积比是（3×3－3×1÷2）∶（1×1÷2）＝15∶1，根据小正方形中空白部分的面积可求出大正方形中空白部分的面积。 【详解】（3×3－3×1÷2）∶（1×1÷2） ＝（9－1.5）∶0.5 ＝7.5∶0.5 ＝（7.5×2）∶（0.5×2） ＝15∶1 8×15＝120（平方分米） 答：大正方形中空白部分的面积是120平方分米。 8．同学们分成三个小组进行植树活动，第一小组和第二小组人数的比是2∶3，第二小组和第三小组人数的比是4∶5。已知第一小组比第三小组少28人，这三个小组各有多少人？ 【答案】第一小组32人，第二小组48人，第三小组60人 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变。据此可将第一小组和第二小组的人数比写成8∶12，第二小组和第三小组的人数比写成12∶15，那么三个小组的人数比为8∶12∶15。所以，第一小组比第三小组少7份，少28人；用28人除以7，求出每份的人数；再将每份的人数分别乘8、12和15，求出这三个小组各有多少人。 【详解】第一小组和第二小组人数的比：2∶3＝（2×4）∶（3×4）＝8∶12 第二小组和第三小组人数的比：4∶5＝（4×3）∶（5×3）＝12∶15 三组人数之比：8∶12∶15 28÷（15－8） ＝28÷7 ＝4（人） 第一小组：4×8＝32（人） 第二小组：4×12＝48（人） 第三小组：4×15＝60（人） 答：第一小组32人，第二小组48人，第三小组60人。 9．婷婷有一本故事书，已看的页数与剩下的页数的比是3∶5，如果再看65页，正好看完了全书的，这本故事书共有多少页？ 【答案】120页 【分析】将总页数看作单位“1”，根据已看的页数与剩下的页数的比是3∶5，可知已看页数是总页数的，65页的对应分率是（－），根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答即可。 【详解】65÷（－） ＝65÷（－） ＝65÷ ＝65× ＝120（页） 答：这本故事书共有120页。 10．一本科技书，小明第一天看了全书的，第二天看了36页，两天看的页数与剩下页数的比是5∶3，这本书共多少页？ 【答案】96页 【分析】把这本科技书的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的，第二天看了36页，两天看的页数与剩下页数的比是5∶3，则两天看的页数占总页数的；那么第二天看的页数占总页数的（－），单位“1”未知，用第二天看的页数除以（－），即可求出总页数。 【详解】36÷（－） ＝36÷（－） ＝36÷ ＝36× ＝96（页） 答：这本书共96页。 11．狗跑4步的时间马能跑6步。马跑3步的距离相当于狗跑6步的距离。现在狗已跑出600米，马才开始追狗，马跑多少米可以追上狗？ 【答案】900米 【分析】在相同时间里，狗与马的步频比为4∶6，步长比为3∶6，所以速度比为（4×3）∶（6×6）＝1∶3，马开始追狗之后，时间相同，所以路程比也为1∶3，其中马多行部分的路程等于600米，代入比例按比分配即可求出马的路程。 【详解】步频比：4∶6，步长比：3∶6 速度比： （4×3）∶（6×6） ＝12∶36 ＝1∶3 追及过程中路程比：1∶3 600÷（3－1）×3 ＝600×2×3 ＝900（米） 答：马跑900米可以追上狗。 【点睛】在相同时间里，通过步频比和步长比，求出速度比是解此题的关键。 12．小华看一本书，已看的页数和剩下的页数比为3∶4，如果再看72页，正好看完全书的，这本书一共有多少页？ 【答案】168页 【分析】已知小华看一本书，已看的页数和剩下的页数比为3∶4，则已经看的页数占总页数的，如果再看72页，正好看完全书的，则72页占总页数的，根据已经一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，即可解答。 【详解】72÷（） ＝72÷（） ＝72÷ ＝168（页） 答：这本书一共有168页。 13．为保护学生的视力，2022年9月以来，我区各小学的教室里都陆续安装护眼灯。某小学目前已安装的护眼灯是未安装的，若再安装196盏后，已安装的和未安装的比是5∶3，这所小学一共要安装多少盏护眼灯？ 【答案】672盏 【分析】根据已安装的护眼灯是未安装的，可求出已安装的占总数的，再根据再安装196盏后，已安装的和未安装的比是5∶3，求出现在安装的占总数的，最后用196除以对应得分率（）可以了。 【详解】196÷（） ＝196 ＝672（盏） 答：这所小学一共要安装672盏护眼灯。 14．客、货两车同时从甲地出发开往乙地，2小时后货车正好行了全程的一半，这时客车已行的路程和剩下的路程的比是，已知客车每小时比货车多行18千米，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】360千米 【分析】由题意可知，把全程当作单位“1”，客车行驶了全程的；全程的比全程的多千米，即36千米对应的分率是，用数量除以对应的分率即可得单位“1”的量，据此解答。 【详解】 ＝36÷（） ＝36÷（） ＝36×10 （千米） 答：甲、乙两地相距360千米。 【点睛】本题考查了利用整数与分数除减混合运算解决问题，分析出全程的比全程的多千米是关键。 15．一辆车以每小时90千米的速度从甲地开往乙地，行了全程的后，又行了小时，这时已行的路程与未行的路程比是2∶3。甲乙两地相距多少千米？ 【答案】600千米 【分析】先根据“速度×时间＝路程”求出汽车小时行驶的路程，已知先行了全程的后，又行了小时，这时已行的路程与未行的路程比是2∶3，即这时已行的路程占全程的； 把全程看作单位“1”，那么汽车小时行驶的路程占全程的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义即可求出全程。 【详解】90×＝60（千米） 60÷（－） ＝60÷（－） ＝60÷（－） ＝60÷ ＝60×10 ＝600（千米） 答：甲乙两地相距600千米。 【点睛】本题考查比与分数除法的综合应用，把比转化成分数，分析出汽车小时行驶的路程占全程的几分之几是解题的关键。 16．如图，乙长方形的面积是甲长方形面积的，它们的长宽比也都是5∶3，乙长方形的长是15厘米。 （1）求甲长方形的面积是多少？ （2）把图（1）中乙长方形向左平移，重叠部分又是一个长宽比为5∶3的长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？ （3）如果把这两个长方形随意重叠放置，如图（3），求甲乙两长方形未重叠部分的面积差。 （4）由第（3）小题的计算你能得出什么结论？请用自己的语言描述出来。 【答案】（1）225平方厘米 （2）48.6平方厘米 （3）90平方厘米 （4）根据第（3）小题的计算可知，无论怎么重叠，两个长方形未重叠部分的面积之差就是这两个长方形的面积之差，即90平方厘米。 【分析】（1）长宽比是5∶3，可将乙长方形一条长看作单位“1”，则宽是长的，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，即用长乘为乙的宽； 根据长方形面积公式：S＝长×宽，求出乙长方形的面积，将甲长方形面积看作单位“1”，根据分数除法的意义，用乙长方形的面积除以其占甲长方形面积的分率，即可求出甲长方形的面积。 （2）乙长方形的宽为9厘米，并且乙长方形的宽等于新小长方形的长，形成的新小长方形的长宽比为5∶3，将乙长方形的宽看作单位“1”（也就是新的小长方形的长），则新长方形的宽占单位“1”的分率为，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，即用乙长方形的宽乘即为新小长方形的宽，最后用长乘宽即为小长方形的面积。 （3）假设甲乙两长方形重叠部分面积为x平方厘米，用甲长方形面积减去x求出甲长方形剩下的面积，乙长方形面积减去x求出乙长方形剩下的面积，最后用甲剩下的面积减去乙剩下的面积即为未重叠部分的面积差。 （4）根据第一小问求出的两个长方形面积，用甲长方形的面积减去乙长方形的面积，求出二者的面积差，再与第3问的结论进行比较即可。 【详解】（1）15×＝9（厘米） 15×9＝135（平方厘米） 135÷＝135×＝225（平方厘米） 答：甲长方形的面积是225平方厘米。 （2）9×＝（厘米） 48.6（平方厘米） 答：重叠部分长方形的面积是48.6平方厘米。 （3）假设重叠部分的面积是x平方厘米 （225－x）－（135－x） ＝225－x－135＋x ＝225－135 ＝90（平方厘米） 答：甲乙两长方形未重叠部分的面积之差是90平方厘米。 （4）225－135＝90（平方厘米） 答：根据第（3）小题的计算可知，无论怎么重叠，两个长方形未重叠部分的面积之差就是这两个长方形的面积之差，即90平方厘米。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$