6.第六章 圆(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学聚焦内蒙古中考

第六章 第23节 圆的有关性质 命题点圆周角定理及其推论的相关计算 :AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90 1.[2022包头，7]如图，AB,CD是⊙O的两条直 ,∠BEC=∠ADC=90°，∠C=∠C 径，E是劣弧BC的中点，连接BC,DE.若 △CEBn△cDA,器-界. ∠ABC=22°，则∠CDE的度数为 (C) A.22° B.32 C.34° D.44° .CE= 4 26CE=165 51 AE=CE-AC=6/5 六证的长为 第1题图 第2题图 2.[2024赤峰，10]如图，AD是⊙O的直径，AB是 ⊙O的弦，半径OC⊥AB,连接CD,交OB于点 E,∠BOC=42°，则∠OED的度数是(B) 第3题答图 A.61° B.63° C.65 D.67° 4.[2024包头，21]如图，AB是⊙O的直径，BC, 3.[2022呼和浩特，20]如图，在△ABC中，AB BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的 AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交线 两侧，E是OB上一点(OE>BE),连接OC, 段CA的延长线于点E,连接BE. CE,且∠BOC=2∠BCE. (1)求证：BD=CD: ②若amC-号，BD-,求AE (1)如图①，若BE=1,CE=5,求⊙O的 半径： (2)解题策略开放如图②，若BD=2OE,求证： BD∥OC(请用两种证法解答). D 第3题图 (1)证明：如答图，连接AD, AB是⊙O的直径， 图① 图② ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC 第4题图 'AB=AC,..BD=CD. 1)解：如答图①，过点O作OH⊥BC于 (2)解：CD=BD=4,∴.CB=BD+CD=8. 点H. 在R△ADC中，amC- OC=OB,OH⊥BC, AD-CD.tan C-4X-2 .∠COH=∠BOH,CH=BH. :∠BOC=2∠BCE,∴.∠BOH=∠BCE. ∴，AC=√/AD+CD=√2+4F=25. ,∠OBH=∠CBE, 48 ∴.△OBH∽△CBE, 6.[2024赤峰，10改编]如图，AD是⊙O的直径， ∴∠CEB=∠OHB=90°， AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB,交AB于点 ,BC=√EC+EB=6, E,CE=2,连接CD,∠CDO=22.5°，则 .CH-BH-6 AE- (C) 2 6 :cos∠OBH= BH_EB·2=1 OBBC“OBV6' ∴.OB=3,∴.⊙O的半径为3. (2)证明：如答图②，过点O作OK⊥BD于点 第6题图 K,则BK=DK A.2 B.4 'BD=20E,..OE=BK C.2√2+2 D.22-2 证法一：∠CEO=∠OKB=90°，OC=BO, 命题点☒三角形的外接圆 ∴，Rt△OEC≌Rt△BKO(HL), 7.[2023包头，9]如图，⊙O是锐角三角形 ∠COE=∠OBK,.BD∥OC ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF1 证法二：·0s∠c0E-8E,0∠0B AC,垂足分别为D,E,F,连接DE,EF, FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为 8路，0c=0B, 21,则EF的长为 (B) A.8 B.4 C.3.5 D.3 ∴.cos∠COE=cos∠(OBK, ∴∠COE=∠OBK,.BD∥OC. 第7题图 第8题图 图① 图② 8.[2023呼和浩特，14]如图，△ABC内接于 第题答图 ⊙O且∠ACB=90°，弦CD平分∠ACB, 连接AD,BD.若AB=5,AC=4,则 命题点？垂径定理的相关计算 5.[浙教九上P87第4题改编]如图①，在一根轴 BD= 52 .CD= 72 2 的正中位置打一个等边三角形孔，画出示意 命题点④圆内接四边形 图如图②.若等边三角形的边长为6cm,AB9.[人教九上P88第5题改编]如图，四边形ABCD 长为2cm,则这根轴的半径为 (B) 内接于⊙O,E为CD延长线上一点，OB是 ∠ABC的平分线，AC是∠BCD的平分线. 若∠ADE=104°，∠CAD的度数为(B) 图① 图② 第5题图 A.2/3-2cm B.23+2 cm 第9题图 C.35-2cm D.33+2cm A.52° B.66 C.76 D.88 49 10.[2023赤峰，10]如图，圆内接四边形ABCD :∠BPC=∠CPA, 中，∠BCD=105°，连接OB,C,OD,BD, ∠BC=2∠COD.则∠CBD的度数是(A) △PBC△PCA-, ∴.PC=PA·PB ⊙0的半径为3， ..AB=6,..PA=PB+6. ,CP=4, 第10题图 .4=(PB+6)·PB, A.25 B.30 C.35 D.40 解得PB=2或PB=一8（不符合题意，舍去）， ∴AP=2+6=8. 11.[2023包头，22]如图，AB是⊙O的直径，AC 是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上 点，连接AD,DC,CP. 图① 图2 第11题答图 第11题图 备用团 命题点⑤圆内接正多边形 (1)解题策略开放求证：∠ADC一∠BAC= 12.[2024呼和浩特，7]如图，正四边形ABCD和 90°（请用两种证法解答）： 正五边形CEFGH内接于⊙O,AD和EF (2)若∠ACP=∠ADC,⊙O的半径为3. 相交于点M,则∠AMF的度数为(B) 9 CP=4,求AP的长. (1)证法一：如答图①，连接BD ,AB是⊙()的直径，∠ADB=90 :'∠ADC-∠BDC=∠ADB, ∠BDC=∠BAC, 第12题图 ∴.∠ADC-∠BAC=909 A.26° B.27 C.28 D.30° 证法二：如答图②，连接BC 12一1.变图形一改变正方形位置如图，正五边 AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. 形ABCDE内接于⊙O,以CD为边作正方 '∠PBC=∠BAC+∠ACB, 形CDFH,连接BE,BH,则∠HBE的度数 ∴.∠PBC-∠BAC=90 为 (C) ,四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴.∠AIDC+∠ABC=180 :∠PBC+∠ABC=180, ∴∠ADC=∠PBC, .∠ADC-∠BAC=90° D (2)解：由答图②可得∠ADC=∠PBC 第12-1题图 :∠ACP=∠ADC, A.6 B.8 C.9 D.18 ∴.∠PBC=∠ACP,即∠PBC=∠PCA 50 第24节点、直线与圆有笑的位置关系 命题点)与切线性质有关的证明与计算 AB为⊙O的切线，C为切点， 1.[2024包头，14]如图，四边形ABCD是⊙O的 .OC⊥AB,∠OCB=90 内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过 又，DF⊥AB,·∠DFB=∠OCB=90°， 点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P, .OC∥DF,∴.∠COE=∠OED: 连接OA,OB.若∠AOB=140°，∠BCP= .∠DOE=∠(OED,.(OD=DE. 35°，则∠ADC的度数为105° 又OD=OE,.△ODE是等边三角形， .∠DOE=60°，∠CGE=30° ⊙O的半径为5，∴.EG=10. :EG是⊙()的直径，∠GCE=90 在Rt△GCE中，CG=EG·cos∠CGE=5/3. 第1题图 第1一1题图 (?)解题策略开放试探究DE与EF之间的数 1一1.变图形一改变切线端点位置如图，四边形 量关系，写出并证明你的结论（请用两种证法 ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形 ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AO的延 解答)。 长线于点P.若∠ADC=120°，⊙O的半径为2， 解：DE-2EF 证法-：∠COE=∠DOE=60°， 则CP的长为23. .CE=DE,.CE=DE,.OC=OE=CE, 2.[2022呼和浩特，15]已知AB为⊙O的直径且 △OCE为等边三角形，∴∠OCE=60. AB=2,点C是⊙O上一点（不与A,B重合），点 ∠(0CB=90°，∴.∠ECF=30°， D在半径OB上，且AD=AC,AE与过点C的 ⊙O的切线垂直，垂足为E.若∠EAC=36°，则 ∴EF=CE,,EF=2DE,即DE=2EF CD=1 ,OD- 证法二：如答图，过点O作(OH⊥DF交DF 于点H,则∠OHF=90°， 3.[2022包头，23]如图，AB为⊙0的切线，C为 又∠OCB=∠DFC=90°， 切点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥AB, ,四边形OCFH是矩形， 垂足为F,DF交⊙O于点E,连接EO并延 ..CF=OH. 长交⊙O于点G,连接CG,OC,OD,已知 ,△ODE是等边三角形， ∠DOE=2∠CGE. ..DE=OE. FB OH⊥DF, 第3题答图 :.DH-EH-DE. 第3题图 备用图 '∠COE=∠DOE,∴CE=DE, (1)若⊙O的半径为5，求CG的长； ..CE=DE,..CE=OE. 解：如答图，连接CE .CF=OH, CE=CE,∠COE=2∠CGE. ∴.Rt△CFE≌Rt△OHE(Hl),∴.EF=EH ,∠DOE=2∠CGE,∠COE=∠DOE. .EF=DH=EH=DE,.DE-2EF 51 命题点②与切线判定有关的证明与计算5.[2023通辽，23]如图，AB为⊙0的直径，D,E 4.[2024赤峰，24]如图，△ABC中，∠ACB= 是⊙O上的两点，延长AB至点C,连接CD, 90°，AC=BC,⊙O经过B,C两点，与斜边 ∠BDC=∠A AB交于点E,连接CO并延长交AB于点 (1)求证：△ACD∽△DCB: M,交⊙O于点D,过点E作EF∥CD,交AC (2)求证：CD是⊙O的切线： 于点F (3若1amE=号4C=10,求⊙0的半径 (1)求证：EF是⊙O的切线： (2)若BM=42,tam∠BCD=号，求OM 的长 D 第5题图 (I)证明：，'∠ACD=∠DCB,∠A=∠BDC, .△ACDC∽△DCB. H (2)证明：如答图，连接OD 第4题图 第4题答图 AB为⊙O的直径， (1)证明：如答图，连接OE ∠ADB=90,∴.∠A+∠ABD=90 .∠ACB=90°，AC=BC OB=OD,.∠ABD=∠ODB. ∴.∠A=∠ABC=45, ∠BDC=∠A, ∴.∠COE=2∠ABC=90 ∴.∠BDC+∠ODB=90°， ∠ODC=90°，∴.OD⊥CD EF∥CD, ∴∠COE+∠FE0=180°，∠FE0=90° OD是⊙O的半径，'.CD是⊙O的切线 (3)解：∠ADB=90,∠A=∠E, OE是⊙O的半径，EF是⊙O的切线 (2)解：如答图，连接BD,过点M作M日 tanA D-tanE-5. BD BC于点H,则△BMH是等腰直角三角形 △p0△DAG-瓷-职-是 BM=42,∴BH-MH=号BM=4 nc=10,90cD=6, 在Rt△CHM中，：tan∠BCD= HM_ CH 2 -号c- ,∴.CH=2HM=8, 5 ∴.CM=√/CT+MT=4w5, 六AB=AC-BC-10-18_-32 55 ..CB=CH+BH=12. CD是⊙O的直径，.BDBC, 0A=号4B=9 ∴.MH∥BD,△CMH∽△CDB, .CM_CH 六00的半径为号 CD CB' 5高①065， D ∴.0C=2CD=35,0M=GM-(0C=5. 第5题答图 52 6.[2023赤峰，24]如图，AB是⊙O的直径，C是 .0C=4 ⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E,交 OC⊥CF, ⊙O于点D,F是AB延长线上一点，连接 ∴.∠(OCE+∠FCE=90 CF,AD,∠FCD=2∠DAF. CD⊥AB, (1)求证：CF是⊙O的切线； .∠F+∠FCE=90°， (2)若AF=10,simF-号，求CD的长。 ∴.∠F=∠OCE, ,∴.sinF=sin∠OCE 在R△Cp0中，∠OCE-9-号 第6题图 华号 (1)证明：如答图，连接OC,OD. d069 ,CD⊥AB,AB是⊙O的直径， :.CB=DB, 由勾股定理得CE=V0C-OE=4 3 ∠C)B=∠DOB. :CDAB,AB是⊙O的直径， ,∠DOB=2∠DAF, ∴.∠COB=2∠DAF (CD=2CE-85 3 ,∠FCD=2∠DAF, ∴.∠FCD=∠COB. CD⊥AB, ∴.∠CE0=90° 第6题答图 .∠COB+∠OCE=90 7.[2022赤峰，24]如图，已知AB为⊙O的直径， ∴.∠FCD+∠OCE=907, C为⊙O外一点，AC=BC,连接OC,DF是 即∠OCF=90°， AC的垂直平分线，交OC于点F,垂足为点 ∴.OCLCF E,连接AD,CD,且∠DCA=∠OCA. 又：(O0C为⊙O的半径， (1)求证：AD是⊙O的切线： ,CF是⊙O的切线， (2)若CD=6,OF=4,求cos∠DAC的值. (2)解：由(1)知OCLCF, 咖F-保-导 设OC=2x,则OF=3x, ..OA=OC=2x. ,AF=10, .OA+OF=10, 第7题图 即2x+3.x=10, (1)证明：：AC=BC,O为AB的中点， 解得x=2, ∴.CO⊥AB 53 :DF是AC的垂直平分线， ,OA=OD,∠OAD=∠ODA=90°-x, ∴.DC=DA,∴∠DCA=∠DAC ∴.∠ODF=∠ODA+∠ADF=90 :∠DCA=∠OCA,∴.∠DAC=∠OCA, ,OD是⊙O的半径，∴.DF是⊙O的切线， (2)解：①如答图，连接BD, .DA∥OC,.DA⊥OA BE=3CE=3,∴.CE=1 OA是⊙O的半径，AD是⊙O的切线. ,BE是⊙O的切线， (2)解：在△CDE和△CFE中， .∠ABE=90°=∠CBE+∠ABC ∠DCE=∠FCE, AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， CE=CE, .∠ABC+∠BAC=90. ·∠BAC=∠BDC,∠CBE=∠BDC ∠CED=∠CEF, ∠E=∠E,△BCEo△DBE, ∴.△CDE≌△CFE(ASA), ∴.CD=CF=6,∴.CO=CF+OF=10. 能-能E=9 ②DE=9,∴.CD=DE-CE=8 DF是AC的垂直平分线， :CD “CE=AE=2AC 80G,00=3,D0=5, .GE=CG+CE=4. :∠CEF=∠COA=90°，∠ECF=∠OCA, 在Rt△BGE中，BG=VGE-BE=7. ∴△cE△A,票-黑 .☑DAG=∠BCG,∠DGA=∠BGC, .AG DG AC .△ADGC△CBG,CGBG 2aAC-2题 7， 在R△A0C中，'cos∠OCA=0C-V AC 61 4=G+20A号AB- 7 cos∠DAC=cos∠OCA=/ 6 ⊙0的半径为 8.[2024呼和浩特，23]如图，△ACD内接于⊙O, 9.[2023坪和浩特，23]已知在Rt△ABC中， 直径AB交CD于点G,过点D作射线DF, ∠ACB=90°，BC=6,AC=8,以边AC为直 使得∠ADF=∠ACD,延长DC交过点B的 径作⊙O,与AB边交于点D,M为边BC的 切线于点E,连接BC 中点，连接DM. (1)求证：DF是⊙O的切线： (2)若CD-CG,BE=3CE=3 ①求DE的长； ②求⊙O的半径. 第9题图 (1)求证：DM是⊙O的切线： D (2)点P为直线BC上任意一动点，连接AP 第8题图 第8题答图 交⊙O于点Q,连接CQ. (1)证明：如答图，连接(OD ∠ADF=∠ACD,∠AOD=2∠ACD, ①分类时论思想当tan∠BAP-3时，求BP的帐： ∴.∠AOD=2∠ADF 设∠ADF=x,则∠AOD=2x ②面积器求器的最大值， 54 (1)证明：如答图①，连接OD,CD Sm=AP,BK=BD·AC, ,AC是⊙O的直径， .∠ADC=90°， 部旅清 ∴.∠BDC=180°-∠ADC=90 ,M为边BC的中点， 设BP=m,则AP=40, 5m. .MC=MD,∴.∠MDC=∠MCD 在Rt△ACP中，AC+CP=AP, .(OC=OD,∴.∠ODC=∠OCD 即8+(m+6)= 4102 ,∠ACB=90°，即∠MCD+∠OCD=90°， 5m, ∴.∠MDC+∠(ODC=∠MCD+∠CD=90°， 解得m1= ,m=- 50 9(舍去)∴BP-四 91 即∠(ODM=90°，.DM⊥OD. OD是⊙O的半径，∴.DM是⊙O的切线 综上所述，BP的长为或 (2)解：①当点P在线段BC上时，如答图②， ②如答图④，设CP=n,则AP=√ACCP 过点P作PT⊥AB于点T. v64十n. 在R△ABC中，AB=√AC+BC10 ,'AC是⊙O的直径，.CQ LAP. 设PT=x.,tan∠BAP 3 CQ·AP=AC·CP, .CQ=AC·Cp 8n .CQ 8n 贤-3aT-PT-3, AP /64中7…AP64于 ∴.BT=AB-AT=10-3x. ,n>0,∴.(n-8)2≥0，.64+n≥16n, :am∠ABC=BT试 PT AC C9-8m8m1 AP64+n2162 8 Q ·的最大值为 :sin∠ABC= 38 BP- 3 当点P在CB的延长线上时，如答图③，过 图1 图网 点B作BK⊥AP于点K: im∠BAP-3小- 设BK=a,则AK=3a, 在Rt△ABK中，AK+BK=AB, 即(3a)2+a2=10, 解得a=V10,=一√10（不符合题意，舍去）， 图3 图④ 第9题答图 .AK=3w10,BK=10. 55 第25节 与圆有关的计算 命题点幻弧长、扇形面积的相关计算 形)的圆心角是120度，该圆锥的侧面积 1.[2024包头，8]如图，在扇形AOB中，∠AOB= 是3π（结果用含π的式子表示）. 80°，半径OA=3,C是AB上一点，连接OC,D 5.[2024呼和浩特，13]如图是平行四边形纸片 是OC上一点，且OD=DC,连接BD.若BD⊥ ABCD,BC=36cm,∠A=110°，∠BDC= OC,则AC的长为 (B) 50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为 半径画弧交对角线BD于点N,则∠NMC 40°；将扇形MCN纸片剪下来围成一个 无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆 锥的底面圆半径为2cm. 第1题图 A晋 B哥 c D.π M 1一1.变数据一改变角度如图，在扇形AOB 第5题图 中，∠AOB=90°，C是AB上一点，连接OC,D 命题点③阴影部分面积的计算 是OC上一点，连接BD,且OD=BD=√2.若6.[2022赤峰，14]如图，AB是⊙O的直径，将弦 BD⊥OC,则AC的长为 (C) AC绕点A顺时针旋转30°得到AD,此时点C A.否 B. 的对应点D落在AB上，延长CD,交⊙O于点 D.式 E,若CE一4，则图中阴影部分的面积为(C) A.2π B.2w2 C.2π-4 D.2x-2② B D 第1一1题图 第2题图 2.[2022包头，16]如图，已知⊙0的半径为2 AB是⊙O的弦.若AB=2√2，则劣弧AB的 长为π 第6题图 第7题图 命题点②圆锥的相关计算 7.[2023包头，13]如图，正方形ABCD的边长为 3.[2023赤峰，13]某班学生表演课本剧，要制作 2,对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆 一顶圆锥形的小丑帽.如图，这个圆锥的底面 心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长 圆周长为20xcm,母线AB长为30cm.为了 线于点E,则图中阴影部分的面积为元· 使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需 7一1.变图形一改变条件如图，正方形ABCD的 要粘贴一条从点A处开始，绕 3 边长为2，以点B为圆心，对角线BD的长为半径 侧面一周又回到点A的彩带 画弧，交BC的延长线于点F,过点F作EF⊥ (彩带宽度忽略不计)，这条彩 AD交AD的延长线于点E,则图中阴影部分的 带的最短长度是 (B) 面积为42一2一π. A.30 cm B.303 cm 第3题图 C.60 cm D.20πcm 4.2023呼和浩特，12]圆锥的高为2√2，母线长 为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇 第7一1题图 56