5.第五章 四边形(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学聚焦内蒙古中考

第五章四边形 第21节 平行四边形写多边形 命题点刀平行四边形性质的相关计算 S△e=SAE,AE=DE=2AD 1.[人教八下P47例4改编]如图，在□ABCD中， E,F分别是AB,CD上的中点.若∠ABC= :F是边BC的中点，CF=BF=BC, 2∠A,∠CBF=45°，则∠EDF= (B) ∴，CF=AE A.85 B.75 C.65 D.45 ∠EHA=∠FHC, 在△AEH和△CFH中， ∠EAH=∠FCH, AE=CF, ∴△AEH≌△CFH(AAS),.AH=CH, 第1题图 第2题图 H是AC的中点， 2.[2024巴彦淖尔期未]如图，在□ABCD中，AB= ②解：，∠EAG=∠BCG,∠AGE=∠CGB, 4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线BF交AD于 △AGEn△cGB,小怨-品- 点E,交CD的延长线于点F,则DF=(A) A.3 cm B.4 cm C.3.5 cm D.4.5 cm 设AG=2a,则CG=4a, 3.[2024包头，22]如图，在□ABCD中，∠ABC ..AC=6a,..AH=CH=3a, 为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE,且 ∴.GH=AH-AG=a, S△ABE=SAICE. .AG:GH:HC=2aa:3a=2:1:3. (1)如图①，若F是边BC的中点，连接EF, (2)AM=3AN. 对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H. 证明：如答图，过M作MQ∥BC交CN延长 ①求证：H是AC的中点； 线于点Q ②求AG:GH:HC; :ED∥BC,∴.△EMDC∽△BMC, (2)如图②，BE的延长线与CD的延长线相 交于点M,连接AM,CE的延长线与AM相 删畏 0 交于点N.试探究线段AM与线段AN之间 ∴.EM= 的数量关系，并证明你的结论 BM=BE .MQ//BC, ,∴.∠MQE=∠BCE 第3题答图 ∠MEQ=∠BEC,EM=EB. ∴.△MQE≌△BCE(AAS),∴.MQ=BC 图① 图② ,MQ∥AD,∠MQN=∠AEN 第3题图 ,∠MNQ=∠ANE,'.△MQN∽△AEN, (1)①D证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC, 器-提-2MN=2N ∴.AD和BC之间是等距的，∠EAH=∠FCH. ∴.AM=MN+AN=3AN 42 3一1.变图形一BECE为角平分线如图，在 .BC=AD,∠BCE=∠DAF, □ABCD中，点E在边AD上，连接BE,CE,已 .BC∥AD, 知BE平分∠ABC,且CE平分∠BCD.求 “.四边形ABCD是平行四边形 证：BE⊥CE 命题点③多边形的性质及计算 6.[2024赤峰，7]如图，是正n边形纸片的一部 分，其中l,m是正n边形两条边的一部分，若 l,m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n 第3-1题图 的值是 (B) 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=18O° ,BE平分∠ABC,EC平分∠BCD ∴∠EBC-2∠ABC,∠BECB=2∠DCB, 第6题图 ∠EBC+∠ECB=90°， A.5 B.6 C.8 D.10 ∴.∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB)=90° 7.[2024包头，9]如图，在平面直角坐标系中，四 BE⊥EC 边形OABC各顶点的坐标分别是O(0,0),A 命题点2平行四边形的判定 (1,2),B(3,3),C(5,0),则四边形OABC的 4.[2022赤峰，9]如图，剪两张对边平行的纸条， 面积为 (D) 随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四 边形ABCD,其中一张纸条在转动过程中，下 列结论一定成立的是 (D 第7题图 A.四边形ABCD周长不变 A.14 B.11 C.10 D.9 B.AD=CD 8.[2024包头，12]若一个n边形的内角和是 C.四边形ABCD面积不变 900°，则n=7 D.AD=BC 第4题图 9.[2023包头，16]如图，AC,AD,CE是正五边形 5.[2024巴彦淖尔校级模拟]如图，在四边形ABCD ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F. 中，BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且 下列结论： BE=DF,AF=CE.求证：四边形ABCD为 ①CF平分∠ACD:②AF=2DF;③四边形 平行四边形 ABCF是菱形：④AB2=AD·EF. 证明：，BE⊥AC,DF⊥AC, 其中正确的结论是①③④（填写所有正 .∠BEC=∠DFA=90° 确结论的序号) 在△BCE和△DAF中， BE=DF, ∠BEC=∠DFA, 第5题图 CE=AF, 第9题图 ∴.△BCE≌△DAF(SAS), 43 第22节矩形、菱形、正方形 命题点刀与矩形有关的证明与计算 命题点②与菱形有关的证明与计算 1.[2024包头，10]如图，在矩形ABCD中，E,F 4.[2022呼和浩特，9]如 是边BC上两点，且BE=EF=FC,连接 图，四边形ABCD是 DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若 菱形，∠DAB=60°， AB=4,BC=6,则sin∠GBF的值为(A) E是DA中点，F是 A.10 B310 对角线AC上一点， 第4题图 10 10 c D. 3 且∠DEF=45°，则AF:FC的值是(D) D A.3 B.√5+1C.22+1D.2+√3 G 5.解题策略开放[2022鄂尔多斯，9]如图，菱形 F ABCD中，AB=2√3，∠ABC=60°，矩形 第1题图 第1一1题图 BEFG的边EF经过点C,且点G在边AD 1一1.变设问一求面积比如图，在矩形ABCD 上.若BG=4,则BE的长为 (B) 中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC, 连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接 A.2 B33 C.√6 D.3 2 BG.若BC=6,则a= 2 G SAGDA 9· 2.[2023呼和浩特，7]如图，矩形ABCD中，对角线 BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M, N.若AM=1,BN=2,则BD的长为 (A) 第5题图 第6题图 6.[2024包头，16]如图，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，AB=6,AC是一条对角线，E是AC上一 第2题图 点，过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE. A.23 B.3 C.25 D.32 若CE=AF,则DE的长为27 3.[2022包头，12]如图，在矩形ABCD中，AD> 7.[2023呼和浩特，20]如图，四 AB,点E,F分别在AD,BC边上，EF∥AB, 边形ABCD是平行四边 AE=AB,AF与BE相交于点O,连接OC. 形，连接AC,BD交于点 若BF=2CF,则OC与EF之间的数量关系 O,DE平分∠ADB交AC 第7题图 正确的是 (A) 于点E,BF平分∠CBD交AC于点F,连接 BE,DF. (1)求证：∠1=∠2： (2)若四边形ABCD是菱形且AB=2, ∠ABC=120°，求四边形BEDF的面积. 第3题图 (1)证明：四边形ABCD是平行四边形， A.2OC=√5EF B.5OC=2EF .AD∥BC,OD=OB,∴.∠ADO=∠CBO C.2OC=√3EF D.OC=EF DE平分∠ADB,BF平分∠CBD, 44 ∴∠ODE=2∠ADO,∠OBF=2∠CBO, 如答图①，连接QC ",四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相 ∴∠ODE=∠OBF,.DE∥BF 交于点O,∴.BD⊥AC,OA=OC,QA=QC :OD=OB,∠DOE=∠BOF, QA=QP,∴.QC=QP ∴.△ODE≌△OBF(ASA),∴.DE=BF, 点Q在线段PC的垂直平分线上， ∴，四边形DEBF是平行四边形， (2)①证明：四边形ABCD是菱形， .BE∥DF,∴∠1=∠2 ∴.AB=BC=CD=DA, (2)解：由(1)知△ODE≌△OBF,∴，OE=OF ·∠ABD=∠ADB,∠CBD=∠CDB. :四边形ABCD是菱形， :BD⊥AC,∠ADO=∠CDO, ∴.BD⊥EF,AD=AB,OD=OB,AD∥BC, .∠ABD=∠CBD=∠ADO ∴，四边形DEBF是菱形 :∠BAP=∠ADB, :AD∥BC,∴.∠BAD+∠ABC=180° ∠BAP=∠ABD=∠CBD,∴AE=BE '∠ABC=120°，∴∠BAD=60° ∠APB=90°，∠BAP+∠ABP=90, ,AD=AB,.△ABD是等边三角形， .∠BAP=∠ABD=∠CBD=30° .BD=AB=2,∠ADO=60° 在Rt△BPE中，∠EPB=90°，∠PBE=30° :.OD-BD=1. ∴EP=2BE ∠ODE= ∠AD0=30, .'AE=BE,.'.EP= AE,∴AE=2ER ②解：如答图②，连接QC 3,EF=20E=2 3 AB=BC,∠ABC=60°， ∴.△ABC是等边三角形 ,∴.S四边形D球= BDEF=2 3 ∠APB=90°，∴.BP=CP 8.[2023包头，23]如图，在菱形ABCD中，对角 EP=a,∴.AE=2a,AP=3a 线AC,BD相交于点O,P,Q分别是边BC, 在Rt△APB中，∠APB=90°， 线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相 AP tan∠ABP-8带=3， 交于点E. ∴.BP=√3a,∴.CP=BP=3a (1)如图①，连接QA.当QA=QP时，试判断 点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说 :AO=C0,∠AOE=∠COQ,OE=OQ, .△AOE≌△COQ(SAS) 明理由； ∴.CQ=AE=2a,∠EAO=∠QCO, (2)如图②，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB. AE∥CQ ①求证：AE=2EP; ∠APC=90°，∠PCQ-180°-∠APC=90 ②当OQ=OE时，设EP=a,求PQ的长（用 在Rt△PCQ中，由勾股定理得PQ=PC+ 含a的代数式表示). CQ,.PQ=(w3a)2+(2a), ∴.PQ=√7a(负值已舍). 图② 第8题图 (1)解：点Q在线段PC的垂直平分线上.理 图C 图② 由如下： 第8题答图 45 命题点③与正方形有关的证明与计算 的数量关系，并说明理由. 9.[2024呼和浩特，16]如图，正方形ABCD的面 解：(1)30 积为50，以AB为腰作等腰三角形ABF, (2)∠MBQ=∠CBQ.理由如下： AB=AF,AE平分∠DAF交DC于点G,交 在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A BF的延长线于点E,连接DE.若BF=2,则 落在正方形内部点M处， ∴.AB=BM,∠A=∠BMP=90° DG- 15√2 4 ∴.BC=AB=BM,∠BMQ=∠C=90° 'BQ=BQ,.Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL), '.∠MBQ=∠CBQ 12.[2024呼和浩特，18]如图，∠ACB=∠AED= 90°，AC=FE,AB平分∠CAE,AB∥DF. 第9题图 第10题图 (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； 10.[2023呼和浩特，16]如图，正方形ABCD的 (2)过点B作BG⊥AE于点G,若CB=AF, 边长为25，E是CD的中点，BE与AC交 请直接写出四边形BGED的形状. 于点M,F是AD上一点，连接BF分别交 AC,AE于点G,H,且BF⊥AE,连接MH, 则AH=2,MH= 2W13 3 第12题图 11.[2023通辽，22]综合与实践课上，老师让同学 (1)证明：，'AB平分∠CAE 们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动， ∴.∠CAB=∠BAE.'AB∥DF, 有一位同学操作过程如下： ∴.∠BAE=∠EFD,∴.∠CAB=∠EFD 操作一：对折正方形纸片ABCD,使AD与 ∠C=∠E, BC重合，得到折痕EF,把纸片展平； 在△CAB和△EFD中 AC=FE, 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使 ∠CAB=∠EFD, 点A落在正方形内部点M处，把纸片展平， △CAB≌△EFD(ASA),∴.AB=FD 连接PM,BM,延长PM交CD于点Q,连 又AB∥FD, 接BQ. ,四边形ABDF是平行四边形 (2)解：四边形BGED是正方形， 由(1)可知，BC=DE,四边形ABDF是平行 四边形， 图① 图② ..BD=AF. 第11题图 如答图，过点B作BG⊥AE于点G (1)如图①，当点M在EF上时，∠EMB= 'AB平分∠CAE,BCLAC,BG⊥AE, 度 ..BC=BG. (2)如图②，改变点P在AD上的位置（点P .BC=AF,..BD=BG 不与点A,D重合)，判断∠MBQ与∠CBQ .∠BGE=∠GED=90°， 16 .BG∥DE .AB=BC,∠B=∠BCD=90 BD∥AC,.BG=DE .AG=EC,.BG=BE, :,四边形BGED是平行四边形 ∴△BGE是等腰直角三角形， ,BD=DE,四边形BGED是菱形 .∠BGE=∠BEG=45°，∠AGE=135 :∠BGE=∠GED=90°， ,CF为正方形外角的平分线， .四边形BGED是正方形 ∴∠DCF=45°，∴.∠ECF=135°， .∠AGE=∠ECF 'AE⊥EF,∴∠AEB+∠FEC=90 ∠BAE+∠AEB=90°，∴.∠FEC=∠EAB 第12题答图 I∠EAG=∠FEC, 13.[2022呼和浩特，23]下面图片是八年级教科 在△GAE和△CEF中， AG=EC, 书中的一道题 ∠AGE=∠ECF, 如图，四边形ABCD是正方形，E是边 .△GAE≌△CEF(ASA),∴.AE=EF BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方 (3)解：当=之时，四边形ECFP是平行四 形外角的平分线CF于点F,求证：AE 边形.证明如下： EF(提示：取AB的中点G,连接EG). 如答图②，△GAE≌△CEF,GE=CF 设BC=x,则BE=kx,EC=(1一k)x 由(2)知，△BGE是等腰直角三角形， “.CF=GE=√2kx. (1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线 四边形ABCD是正方形，AC是对角线， 的意图是得到条件： 、 ∴.∠ACB=45° (2)如图，若点E是BC边上任意一点（不与 又EPAC, B,C重合)，其他条件不变.求证：AE=EF; ∴△PEC是等腰直角三角形， (3)在(2)的条件下，连接AC,过点E作 ∠PEC=45,PE=号BC=号1-z 2 EP⊥AC,垂足为P. 由(2)知，∠ECF=135°， 设能-k,当长为何值时，四边形BCFP是 .∠PEC+∠ECF=180°，.PE∥CF, 平行四边形？并给予证明. ∴.当PE=CF时，四边形ECFP是平行四边形， ∴号(1-x=区红，解得长=吉 3 E 第13题图 备用图 (1)解：AG=CE 图① 图② (2)证明：如答图①，取AG=EC,连接EG, 第13题答图 ,四边形ABCD是正方形， 47