4.第四章 三角形(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学聚焦内蒙古中考

第四章三 三角形 第15节 线段、角、相交线与平行线（含命题） 命题点)角的简单计算 5.[2024赤峰，3]将一副三角尺（厚度不计）按如 1.[2024包头青山区期中]如图，∠AOC=∠BOD= 图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则 90°，∠BOC=32°，那么∠AOD= (A) 图中∠1的度数为 (B) A.148° B.132° C.128° D.90 A.100° B.105 C.115 D.120 R C G B 第5题图 第6题图 第1题图 第2题图 6.[2024包头，4]如图，直线AB∥CD,点E在直 2.[2024通辽校级模拟]如图，∠AOB=68°，0℃平 线AB上，射线EF交直线CD于点G,则图 分∠AOD且∠COD=15°，则∠BOD的度数 中与∠AEF互补的角有 (C) 为 (B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.28 B.38 C.48° D.53 7.[2023呼和浩特，2]如图，直角三角板的直角顶 3.[湘教七（上）P139第18题改编]如图，将三个形 状、大小完全一样的正方形的一个顶点重合 点落在矩形纸片的一边上.若∠1=68°，则 ∠2的度数是 (C) 放置，若∠GAF=41°26'，∠BAC=2524,则 ∠DAE=2310' 第7题图 A.30 B.32 C.22 D.68 第3题图 7一1.变图形一增加三角形将一把直尺与一副 命题点②平行线的性质及判定 三角尺按如图方式摆放，则∠1的度数是(A) 4.[2024呼和浩特，2]如图，直线l1和l2被直线 A.105° B.115 C.120° D.125 l3和1，所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，则 ∠4的度数为 (B) 第7-1题图 第8题图 8.[2023包头，4]如图，直线a∥b,直线1与直线 a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上，且 第4题图 CA=CB.若∠1=32°，则∠2的度数为(C) A.75° B.105 C.115 D.130° A.32° B.58 C.74 D.75 31 命题点③命题 五折调整为打九折，则会员购买一个面包比 9.[2023通辽，8]下列命题： 涨价前多花了0.14a元： ①a3·a2=a3; ②等边三角形ABC中，D是BC边上一点，E ②-π>-3.14； 是AC边上一点，若AD=AE,则∠BAD= ③圆周角等于圆心角的一半； 3∠EDC: ④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面 ③两边及第三边上的中线对应相等的两个 朝上是必然事件： 三角形全等； ⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那 ④一列自然数0,1,2,3，…，55，依次将该列 么方差也增加4. 数中的每一个数平方后除以100，得到一列 其中真命题的个数是 新数，则原数与对应新数的差，随着原数的 A.1 B.2 C.3 D.4 增大而增大 10.[2022鄂尔多斯，7]下列说法正确的是(B) 其中真命题的个数有 (B) ①若二次根式√1一x有意义，则x的取值范 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 围是x≥1： 13.[2024呼和浩特，10]下列说法中，正确的个数 有 (B) ②7<V65<8; ①二次函数y=a.x2+h.x十c(a>0)的图象经 ③若一个多边形的内角和是540°，则它的边 数是5： 过(2,1)，（一4,1）两点，m,n是关于x的一 元二次方程a.x2十bx十c一k=0(0<k≤1)的 ④16的平方根是士4： 两个实数根，且m<n,则一4<m<n<2恒 ⑤一元二次方程x2一x一4=0有两个不相 成立， 等的实数根。 ②在半径为r的⊙O中，弦AB,CD互相垂 A.①③⑤ B.③⑤ 直于点P,当OP=m时，则AB+CD= C.③④⑤ D.①②④ 8r2-4m2. 11.[2023呼伦贝尔，6]下列命题正确的是(C) ③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角 A.“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯” 三角形且∠ABC=90°，点A的坐标为(1， 是必然事件 0),点B的坐标为(0,5)，点C是反比例函数 B.3.14精确到十分位 C.点（一2，一3）关于x轴的对称点坐标是 y=(k≠0)的图象上一点，则k=士30. (-2,3) ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元 D.甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平 二次方程x2-2(a十1).x十a2-1=0的两个 均成绩相同，方差分别是s而=2.25，足= 实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则 1.81,则甲成绩比乙的稳定 矩形的对角线长是4√6. 12.[2022呼和浩特，10]以下命题： A.1个B.2个C.3个 D.4个 ①面包店某种面包售价a元/个，因原材料 涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八 32 第16节 一般三角形及其性质 命题点三角形的性质 4.[2024呼伦贝尔期末]在联欢会上，有A,B,C三 1.[2024鄂尔多斯一中三模]生命中总有些节点， 名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他 如同一条线段的中点，它既是过去与未来的 们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木 交汇，也是静默与喧嚣的界碑.如图，AD是 凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子 △ABC的边BC上的中线，AB=6,AD=4, 应放的最适当的位置是在△AB℃的 (A) 则AC的取值范围为 (A) A.三边垂直平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条高所在直线的交点 B D 5.[浙救八上P9第5题改编]如图，在△ABC中， 第1题图 AD是BC边上的中线，已知AB=7cm,AC= A.2<AC<14 B.2<AC<12 6cm,则△ABD和△ACD的周长差 C.1<AC<4 D.1<AC<8 为1cm 2.[2022鄂尔多斯，6]如图，∠AOE=15°，OE平 分∠AOB,DE∥OB交OA于点D,EC⊥OB, 垂足为C.若EC=2,则OD的长为 (C) D E 第5题图 B 6.[2024通辽校级模拟]如图，BP是∠ABC的平分 第2题图 线，CP是△ABC的一个外角的平分线，如果 A.2 B.23 C.4D.4+23 ∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠P=30° 3.[2024通辽校级模拟]在如图的网格中，小正方 形的边长均为1，A,B,C三点均在正方形格点 上，则下列结论错误的是 (A) 20 50 ℃ 第6题图 7.[2022鄂尔多斯，12]如图，在△ABC中，边BC 的垂直平分线DE交AB于点D,连接DC.若 AB=3.7,AC=2.3,则△ADC的周长是6· 第3题图 A.S△=10 B.∠BAC=90 C.AB=25 D.点A到直线BC的距离是2 第7题图 33 第17节 特殊三角形及其性质 命题点等腰三角形的相关计算 5一1.变图形一旋转中心变为直角顶点如图，在 1.[2024呼和浩特校级模拟]如图，在△ABC中， Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=6,OB=8, AB=AC=6,三角形面积为27，O是边BC 将△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,取 上任意一点，则点O分别到AB,AC边的距 OA的中点E,CD的中点F,连接EF,则在旋 离之和等于 (C) 转过程中，线段EF的最小值为2· A.5 B.7.5 C.9 D.10 第1题图 第3题图 第5-1题图 2.[2024赤峰，9]等腰三角形的两边长分别是方 6.[浙教九下P22课堂练习第1题改编]如图，一 程x2一10x十21=0的两个根，则这个三角形 个零件的轴截面为梯形，且关于直线m成轴 的周长为 (C 对称.已知倾角a=5.2°.零件的长度1 20cm,大头直径D=10cm.则小头直径d= A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 6.4 (结果精确到0.1cm.参考数据： tan5.2°≈0.09). 3.[2023通辽，16]如图，等边三角形ABC的边长 为6cm,动点P从点A出发以2cm/s的速 度沿AB向点B匀速运动，过点P作 PQ⊥AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等 边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧，当点 第6题图 D落在BC边上时，点P需移动1s 命题点☒等腰直角三角形的相关计算 命题点☑直角三角形的相关计算 7.浙教九下P23第5题改编]一个长方体木箱沿 4.[2022鄂尔多斯，16]如图，在△ABC中，AB= 斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB= AC=4,∠CAB=30°，AD⊥BC,垂足为D,P 2m.已知木箱高BE=1m,斜面坡角为45°.木 为线段AD上的一动点，连接PB,PC.则 箱端点E距地面AC的高度为 32 m. PA十2PB的最小值为4/2 第4题图 第5题图 第7题图 第8题图 5.[2023包头，15]如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 8.[2022包头，18]如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=3,BC=1,将△ABC绕点A按逆时 90°，AC=BC=3,D为AB边上一点，且BD BC,连接CD,以点D为圆心，DC的长为半径作 针方向旋转90°，得到△AB'C'.连接BB,交 弧，交BC于点E(异于点C),连接DE,则BE的 AC于点D,则C的值为5· 长为3/2-3 34 第18节 全等三角形 命题点全等三角形的性质与判定 4.[2024呼伦贝尔期末]如图，已知△ABC中， 1.[2024呼和浩特期未]如图，已知△ABC≌ ∠B=∠C,AB=8cm,BC=6cm,D为AB △DCB,∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB 的中点，如果点P在线段BC上以每秒2cm 的度数为 (B) 的速度由点B向点C运动：同时，点Q在线 段CA上以每秒acm的速度由点C向点A 运动，设运动时间为t(s)(01<3). (1)PC的长度为6-2cm(用含t的代数 式表示)： 第1题图 (2)若点P,Q的运动速度相等，经过1s A.75° B.65 C.40° D.30° 后，△BPD与△CQP全等， 2.[2023呼和浩特，9]如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=BC,AC=42,P为AC 边上的中点，PM交AB的延长线于点M PN交BC的延长线于点N,且PM⊥PW 若BM=1,则△PMN的面积为 (D) 第4题图 5.[人教八上P41第2题改编]如图，要测量池塘 两岸相对的两点A,B的距离，可以在池塘外 第2题图 取AB的垂线BF上的两点C,D,使BC= A.13 B./13 C.8 D. CD,再作出BF的垂线DE,使点E与点A,C 2一1.变设问一已知角度求线段如图，△ABC 在一条直线上，此时测得DE的长就是AB 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC. 的长.判断以上方法是否可行？如果可行，请 D是AC上一点.CE⊥BD交BD的延长线于 证明：如果不可行，请说明理由 点E,且∠AEB=45°，BE=7,AE=3V2,F 为BC的中点，连接EF,则EF的长为(C) A92 2 B.2/3 C.5v2 2 2 D32 2 第5题图 解：方法可行.证明如下： ,AB⊥BF,DE⊥BF, D .∠B=∠EDC=90° 第2一1题图 第3题图 ∠B=∠EDC, 3.[2022鄂尔多斯，14]如图，AB⊥BC于点B, 在△ABC和△EDC中，BC=DC, AB⊥AD于点A,E是CD中点.若BC=5, ∠ACB=∠ECD, AD=10,BE-=号.则AB的长是2· .△ABC≌△EDC(ASA),.AB=ED, 35 6.[2024包头青山区期中]如图，DE⊥AB于点 解：(1)AE=CF,AE⊥CF E,DF⊥AC于点F,BD=CD,BE=CF ,AB=AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的 (1)求证：AD平分∠BAC: 角平分线， (2)已知AC=20,BE=4,求AB的长. ∴.AD=BD=CD,∠ADE=∠CDF=90 AD=CD, 在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF, DE=DF, .△ADE≌△CDF(SAS), 第6题图 ∴.AE=CF,∠DAE=∠DCF (1)证明：'DE⊥AB,DF⊥AC, ,∠DAE+∠DEA=90°， ∴.∠E=∠DFC=90. .∠DCF+∠DEA=90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中 .∠EMC=90°， BD=CD,:,R△BED2R△CFDH ∴，AE LCF. BE=CF, (2)a,(1)中的结论仍然成立 ∴DE=DF 证明如下： :DE⊥AB,DF⊥AC 同(1)可证△ADE≌△CDF(SAS), ∴.AD平分∠BAC ∴AE=CF,∠E=∠F (2)解：∠AED=∠AFD=90,AD=AD, ∠F+∠ECF=90°， DE=DF, ,∠E+∠ECF=90°， ,∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HI),.AE=AF ∠EMC=90°， ,AC=20,CF=BE=4, .AE⊥CF ∴.AE=AF=AC-CF=16, b.如答图，过点D作DG⊥AE于点G, ∴.AB=AE-BE=12. DHICF于点H. 7.[2022鄂尔多斯，24节选]在△ABC中，AB ∠DGE=∠DHF, AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线. 在△DEG和△DFH中，∠E=∠F, (1)如图①，E,F分别是线段BD,AD上的 DE=DF, 点，且DE=DF,AE与CF的延长线交于点 ∴.△DEG≌△DFH(AAS), M,判断AE与CF的数量关系及位置关系； ∴.DG=DH. (2)如图②，E,F分别在DB和DA的延长线 又DG⊥AE,DH⊥CF, 上，且DE=DF,EA的延长线交CF于 ,.DM平分∠EMC 点M. 又，∠EMC=90°， a.(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请 给出证明：如果不成立，请说明理由： ∠EMD=号∠EMC=46 b.连接DM,求∠EMD的度数， B 第7题答图 图 图② 第7题图 36 第19节 相似三角形（含位似】 命题点)相似三角形的相关计算 命题点②相似图形的实际应用 1.[2022包头，9]如图，在边长为1的小正方形组 5.[2022赤蜂，17]如图，为了测 成的网格中，A,B,C,D四个点均在格点上， 量校园内旗杆AB的高度， AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则 九年级数学应用实践小组， △ABE与△CDE的周长比为 (D) 根据光的反射定律，利用镜 A.1:4B.4:1C.1:2 D.2:1 子、皮尺和测角仪等工具，Ca 按以下方式进行测量：把镜 第5题图 子放在O处，然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D,这时恰好能在镜子里看到旗杆 顶点A,此时测得观测者观看镜子的俯角α= 60°，观测者眼睛与地面的距离CD=1.7m,BD= 山m.则旗杆AB的高度约17m(结果取整 第1题图 第2题图 数W3≈1.7). 2.[人教九下P58第9题改编]如图，三角板在手 6.[苏科九下P84例题改编]李明和张龙利用灯光 电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其 下的影子长来测量 投影是位似图形，其相似比是2：5，若三角 路灯CD的高度.如 板的面积是6cm,则其投影的面积是(D) 图，当李明走到A处 A.15 cm B.30 cm2 时，张龙测得李明直 M C.8 5 cm2 D.cn 立时身高AM与影子 3.[北师九上P104第7题改编]如图，在△ABC 长AE正好相等：接 B 着李明沿AC方向继 第6题图 中，D,E分别是边AB,AC的中点.若■ 1 续向前走，走到B处时，李明直立时身高BN △ADE的面积为2，则四边形DBCE的面 的影子恰好是线段AB,并测得AB= 积为 (C) 1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m, A B.1 C. D.2 求路灯的高CD(结果精确到0.1m). 2 解：设路灯高CD为xm ,AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC, .AM∥CD∥BN EA=MA,∠AEM=45,∴.EC=CD=x :'∠BAN=∠CAD,∠ABN=∠ACD 第3题图 第4题图 ∴.△ABNC△ACD, 4.[2024赤峰松山区二模]如图，AD是△ABC的 中线，点E在AC上，BE交AD于点F,若 器怨即西- x2x-1.75 部则能为 解得x=6.125≈6.1(m) (B) 经检验，x=6.125是原方程的根，且符合题意 A B c .1 D.1 答：路灯的高CD约6.1m 37 第20节 解直角三角形及其应用 命题点锐角三角函数 的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测 1.[2024包头校级模拟]如图，在6×6的正方形 得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的 网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点 俯角为10°.已知测角仪CD与水平地面垂 上，则sin∠BAC的值是 (D) 直且高度为1m,求雕像AB的高（用非特殊 A.1 C. 4 3 D. 角的三角函数及根式表示即可) 430 30 10当 10 D B D 第1题图 第2题图 第4题图 第4题答图 2.题学文化2023包头，7]如图源于我国汉代数学 解：如答图，过点C作CE⊥AB,垂足为E, 家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与 则BE=CD=1. 一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方 在Rt△CBE中，∠BCE=10, 形的面积为1，大正方形的面积为25，直角 BE ..CE= 角形中较小的锐角为a,则cosα的值为(D tan 10 tan10° A B c D 在R1△ACE中，∠ACE=30, .AE=CE·tan30° 命题点②解直角三角形的实际应用 3tan10°， 考向1仰角、俯角 AB-BE+AE-1+3 3.[2024赤峰，17]综合实践课上，航模小组用无 3tan 10 (m). 人机测量古树AB的高度.如图，C处与古树 答：雕像AB的高为士3an10m 底部A处在同一水平面上，且AC=10m,无 5.[2022包头，21]如图①，AB是底部B不可到 人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶 达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角 部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为 仪器的高DH=CG-1.5m.某数学兴趣小 65°，则古树AB的高度约11.5m(结果精确 组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测 到0.1m.参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈ 角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE 0.423,tan65°≈2.145). 为α，再向前走5m到达G处，又测得建筑物 顶端A处的仰角∠ACE为45°，图②是它的 示意图，已知tana= 9,AB⊥BH,H,G,B 三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度. 第3题图 4.2022呼和浩特，18]“一去紫台连朔漠，独留 2位45 Da9459 H G 青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名 图 图② 景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游 第5题图 的打卡地.如图，为测量景区中一座雕像AB 解：由题意得BE-DH-CG=1.5,DC=GH=5, 38 DE=HB,∠AED=90°， 为B点和C点，行进路线为A→B→C→A. 设CE=x,则BH=DE=DC+CE=x+5. 其中B点在A点的南偏东25°方向3√2km 在R1△ACE中，∠ACE=45°， 处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线 .AE=CE·tan45°=zx AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°. 在R1△ADE中，∠ADE-a, (1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角 AE 7 .'.tan a= DE x+5=gx=17.5. ∠BCA的度数： 经检验x=17.5是原分式方程的解，且符合题意， (2)求检查点B和C之间的距离（结果保留根号），. ∴.AB=AE+BE=19(m). 东 答：建筑物AB的高度为19m. 80 考向2方向角 6.[2023通辽，20]如图，一艘海轮位于灯塔P的 北偏东72°方向，距离灯塔100 n mile的A 第7题图 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于 解：(1)由题意得∠NAC=80°，∠BAS=25, 灯塔P的南偏东40°方向上的B处，这时，B .∠CAB=180-∠NAC-∠BAS=75. 处距离灯塔P有多远（结果取整数.参考数 :∠ABC-5 据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31.tan72≈ ∴.∠BCA=180°-∠CAB-∠ABC=60°， 3.08,sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40° ,行进路线BC和CA所在直线的夹角 0.84)? ∠BCA的度数为60， (2)如答图，过点A作AD⊥BC于点D 在R△ABD中，MAB-32,∠ABC=45, ADAB·sin45=3, BD=AB,eos45°=3. 第6题图 第6题答图 在Rt△ADC中，∠ACD=60°， 解：如答图，点E,P,F在平面内同一直线上 ..CD= AD 3=5, 由题意得PC⊥AB,EF∥AB, an60°V5 ∴∠A=∠EPA=72°，∠B=∠BPF=40 ∴，BC=BD+CD=3+√3(km) 在R1△APC中，AP=100, ∴.检查点B和C之间的距离为3十3km ,∴.PC=AP·sin72°≈95. 在R△BCP中，BP-O≈148amie. 答：B处距离灯塔P约148 n mile. 7.[2023包头，20]为了增强学生体质、锤炼学生 意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如 第7题答图 图，A为出发点，途中设置两个检查点，分别 39 考向3坡度坡角 AB.如图，经勘测，AC=6km,∠CAB=60°， 8.2022鄂尔多斯，19]旗杆及升旗台的剖面如图 ∠CBA=37°，则改造后公路AB的长 所示，MN,CD为水平线，旗杆AB⊥CD于 是9.9km(精确到0.1km.参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 点B.某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD 0.75,3≈1.73). 落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN 上，已知BD=1.2m,DE=1.4m.同一时 刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆 影长为0.25m(标杆影子在坡面DN上)，此 第9题图 时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB 10.[2024包头，19]如图，学校数学兴趣小组开展 的高度（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5≈ “实地测量教学楼AB的高度”的实践活动. 0.17,tan80.5°≈6). 教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的 测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直 接测量任意可到达的两点间的距离：测角仪 的功能是测量角的大小). (1)请你设计测量教学楼AB的高度的方 案，方案包括画出测量平面图，把应测数据 标在所画的图形上（测出的距离用m,n等 B N M 表示，测出的角用α，3等表示)，并对设计进 第8题图 第8题答图 行说明： 解：如答图，设PQ为竖直立在坡面DV上的 (2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的 1m高的标杆，PE为标杆影子，长为0.25m, 高度（用字母表示） 过点D作DF⊥CD交AE于点F,过点F作 FH⊥AB于点H,则HF=BD,DF=BH :DF/PQ品 PE 1 0.25 1.4 7777777777777777777777777 皮尺测角仪 ∴.DF=5.6,∴.BH=DF=5.6. 第10题图 在R1△AHF中，∠AFH=80.5, 解：(1)如答图，在地面上取点C, tan∠AFH AHAH 测得BC=m,测得∠ACB=a, HF BD· 根据tana= AB C,得出AB的高度」 ∴tan80.5°= AH≈6，AH=72, 1.2 (2):∠ABC=90°，∴.tana AB BC .BH+AH=12.8(m) .AB=BC·tana=mtan a. 答：旗杆AB的高度约12.8m 考向4其他测量问题 9.[2023赤峰，17]为发展城乡经济，建设美丽乡 村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋 场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行 到C地的路线，改造成可以直线通行的公路 第10题答图 40