7.专题七 二次函数与几何图形的综合(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学课堂讲练本

专题七二次函数与几何图形的综合 类型一线段问题 一阶通性通法 预备知识： 1连接两点的所有线中，线段最短： ⅱ，轴对称图形中，对应点到对称轴上任意点的距离相等 问题1：求线段长 情况 方法 BC∥x轴 BC= A(xV) AB∥y轴 AB= yA-YB ceyO B(xaY) AC不与坐标轴平行 AC- (ZA-Ic)2+(yA-yc) 问题2：求线段（和）最值 情况 方法 利用两点间距离公式、锐角三角函数或相似比表示出线段， 对称轴11习 一条线段 然后利用函数增减性求最值 利用对称转化线段位置，然后用“两点之间，线段最短”解决 D 两条线段 (如右图，求EP十DP的最小值可转化为求EP十FP的最 小值EF的长) 多二阶综合训练 1.[2024巴中节选]如图，在平面直角坐标系中，抛 ,抛物线的表达式为y=一x2十2x十3. 物线y=ax2十bx十3(a≠0)经过A(-1,0), (2)令x=0,得y=3,.C(0,3) B(3,0)两点，与y轴交于点C,P是抛物线上一 设直线BC的表达式为y=kx十n, 动点，且在直线BC的上方. 3k+n=0 k=一1， (1)求抛物线的表达式： 解得 n=3, n=3, (2)如图，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线 .直线BC的表达式为y=一x十3. BC于点E,若PE=2ED,求点P的坐标. 设P(m,m2+2m+3),则PD=-2+2m+3 PDLx轴于点D,且交直线BC于点E, .E(m,-m+3),D(m,0） .DE=-m+3, 第1题图 ∴.PE=PD-DE=-m2+3m. 解：(1)：抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴 PE=2ED,.一m2+3m=2(-m十3)， 交于点A(-1,0),B(3,0) 解得m1=2,m2=3(此时点B与点D重合，不符 0-6+3=0, 解得0一1， 合题意，舍去)， 19a+3b+3=0, b=2, .P(2,3). 143 2.[2024呼伦贝尔节选]如图，在平面直角坐标系 16a+4b=0, a=-1, 解得 中，二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象经过 a十b=3, b=4, 原点和点A(4,O).经过点A的直线与该二次函 .二次函数的解析式为y=一x十4x 数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C 设直线AB的解析式为y=x十n, (1)求二次函数的解析式及点C的坐标： 将A,B两点坐标分别代入，得 (2)P是二次函数图象上的一个动点，当点P在 4k十n=0, k=-1, 解得 直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E,与 k+n=3, n=4, 直线AB交于点D,设点P的横坐标为m,则当m “直线AB的解析式为y=一x十4， 为何值时线段PD的长度最大，请求出最大值. 令x=0,得y=4,.C(0,4) (2)如答图，，点P在直线AB上方，∴.1<m<4 :P(m,-m2十4m),D(m,-m十4) PD--地=+m-4=-(m)'+ 第2题图 第2题答图 -1<0,∴当m= 时，PD取得最大值，最大 解：(1)二次函数的图象经过O(0,0),c=0 又，A(4,0),B(1,3)两点在抛物线y=ax十x十 为 c上， 类型二面积问题 一阶通性通法 预备知识： i.三角形的面积公式： 面积= X底X高； ⅱ.同底等高的三角形的面积相等 i.规则图形：如图①，图②，当△ABC有一条边与坐标轴平行或在坐标轴上时，S△c= 2AB.h(h 为AB边上的高)： iⅱ不规则图形：如图③，当△ABC的三条边与坐标轴均不平行时，S△c= 2a· 面积表示 [注意]表示四边形的面积时，可以通过作辅助线，将四边形分割成多个易于求解的图形解决 铅垂高 B 水平宽 图① 图② 图③ 面积最值 表示出图形的面积，然后利用函数的增减性求面积最值 1.面积定值：令图形面积的关系式等于这个定值，解方程可得到参数值，进而计算得到所 面积数量求点坐标； 关系 ⅱ.面积相等：①同底等高三角形的面积相等，则未知三角形的第三个顶点与已知三角形的 第三个顶点的连线与底边平行；②直接令两个三角形的面积关系式相等求解 144 多二阶综合训练 3.[2024济南节选]如图，在平面直角坐标系xOy B(2,2),D1,1),点B,D在过原点的一次 中，抛物线C:y=x2十bx十c经过点A(0,2),B 函数y=x的图象上， (2,2),顶点为D;抛物线C2:y=x2-2mx十m 设Mh,h2-2h+2),N(n,0) m十2(m≠1)，顶点为Q y=x2-2mx十m2+2-m=(x-m)2+2-m, (1)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标： .抛物线C的顶点Q(m,2-m), (3)连接BD,DQ,M是抛物线C1对称轴左侧图 ∴.DK=1-(2-m)=m-1,KQ=m-1, 象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥ ∴.DK=KQ,∠DQK=45 DQ交x轴于点N,连接BN,DN,求△BDN面积 MN∥DQ,KQ∥NP,∴.∠MNP=∠DQK=45, 的最小值 ∴.∠NMP=45,∴.MP=NP,∴.-2h+2=n-h, m=+2=-+ 当=时，= ÷点N的横坐标最小值为m=?,此时点N到 第3题图 第3题答图 直线BD距离最短，△BDN的面积最小， 解：(1)抛物线C过点A(0,2),B(2,2) 最短距离即为△BDN的边BD上的高hm=子X 联立/0一2， 解得 b=-2 14+2b+c=2, c=2, 272 28 .抛物线C的表达式为y=x2-2x十2 y=x2-2x+2=(x-1)2+1,.D1,1 ∴△BDN面积的最小值为2 81 (2)如答图，过点M作MP⊥x轴于点P,过点D作 DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K. 类型三角度问题 多一阶通性通法 预备知识： 1.如果两个角相等，那么这两个角对应的三角函数值相等； ⅱ.常见的锐角三角函数值 ①sin30°= 2 ,C0s30°= 2 ,tan30°= ②sin45°= 2 ,C0s45°= ,tan45°=1_： ③sin60°= 3 2 ,c0s60°= ,tan60°=3 方法1：将两个角分别放在两个三角形中，证明两个三角形相似，利用对应边成比例求 求一个角等 解点的坐标； 于已知角 方法2：两个角相等，则这两个角对应的三角函数值相等，作辅助线将未知角放在直角 三角形中，然后表示出其三角函数值进一步求解 已知一个角 般情况下已知数据均为特殊角，作辅助线将该未知角放在直角三角形中，利用锐角三 为固定度数 角函数进行求解 145 多二阶综合训练 4.[2024长春改编]在平面直角坐标系中，O是坐标 5.[2024大庆节选]如图，已知二次函数y=ax2+ 系原点，抛物线y=x2+2x十c(c是常数)经过点 2x十c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交 (-2,一2).A,B是该抛物线上不重合的两点， 于点C(0,3),A点坐标为(-1,0) 横坐标分别为m,一m,点C的横坐标为一5m, (1)求二次函数的表达式； 点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连接 (2)在直线BC上方的抛物线上存在一点Q,使 AB,AC. 得∠QCB=2∠ABC,求点Q的坐标. (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)请通过计算说明：tan∠CAB为一个定值，并 求出这个值， 解：(1)将点（一2，一2）代入抛物线y=x2+2x+ c得4-4十c=-2,.c=-2, 第5题图 ∴.抛物线对应的函数表达式为y=x+2x一2. 解：(1)将A(-1,0),C(0,3)分别代入y=ax+ (2)由题意得A(m,m2+2m一2)，B(-m,m2 a-2+c=0, 2x十c,得 解得一1， 2m-2）,C(-5m,m2+2m-2) c=3, c=3, 如答图①，当m<0时，作BH上AC于点H,则 .二次函数的表达式为y=一x十2x十3. tan∠CAB BH_-2m-2-(m+2m-2)=2 (2)令y=-2+2x+3=0, AH 解得x1=一1，x=3, 如答图②，当m>0时，作BH⊥AC于点H,则 B(3,0),OB=OC=3, tan∠CAB= BH_n+2m-2-m-2m-2=2 A m一（一m ∴△OBC是等腰直角三角形， 综上所述，tan∠CAB为一个定值，值为2. ∴∠ABC=∠OCB=45 ,∠QCB=2∠ABC,∴.∠QCB=90 如答图，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q,过 点Q作QG⊥y轴于点G, .∠GCQ=90°-∠0CB=45, 图① 图② ∴·△GCQ是等腰直角三角形 第4题答图 设Q(9,-4+2g+3),则G(0,一G+2g+3), .CG=-q+2q,GQ=q. CG=QG,-q+2q=q 解得g=0(舍去)或q=1,.Q(1,4) 第5题答图 146 类型四 特殊三角形的存在性问题 一阶通性通法 预备知识： i.等腰三角形 (1)两条腰长相等；(2)两个底角相等；(3)过顶点的中线垂直平分底边. ⅱ.直角三角形 (1)勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方： (2)斜边上的中线等于斜边的一半 4444444444 问题 已知线段AB,在直线l上作一点C,使得△ABC为等腰三角形 i几何法 以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线I于点C1,C2; 等腰三 以点B为圆心，AB长为半径作弧，交直线I于点C3,C4; 角形的 作线段AB的垂直平分线，交直线I于点Cs(C,C2,C3,C4,C 存在性 解法 即为所求) 问题 ⅱ.代数法 设动点C的坐标，然后利用动点的坐标表示出其他点，进而表示三角形的腰长，可 利用两条腰长相等建立方程求解。 [注意]当顶点不确定时，需分类讨论：①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况 问题 已知线段EF,在直线l上作一点G,使得△EG为直角三角形 i.几何法 过点E作EF的垂线，交直线l于点G1,连接FG1:过点F作 直角三 EF的垂线，交直线l于点G2,连接EG2:以EF为直径作圆，交 角形的 直线1于点G3,G4,连接EG3,FG3,EG4,FG(G1,G2,G3,G4即 G 存在性 解法 为所求). 问题 ⅱ.代数法 设出点G的坐标，分别表示出EG,FG,EF的长，然后利用勾股定理建立方程求 解.在具体问题中，也可以结合题图中直角三角形背景利用三角函数解决。 [注意]斜边不确定时，需分类讨论EF,G和EG分别为斜边时的情况 多二阶综合训练 6.[2024达州节选]如图，抛物线y=a.x2+bx一3与 N的坐标；若不存在，请说明理由。 x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于 解：(1)，抛物线y=a.x2十bx一3与x轴交于点 点C,点D是抛物线的顶点 A(-3,0)和点B(1,0),∴.y=a(x+3)(x-1) (1)求抛物线的解析式： ax+2ax-3a=ax+bx-3, (2)若N是抛物线对称轴上位于点 .-3a=-3,解得a=1, D上方的一动点，是否存在以N,A, B ,抛物线的解析式为y=x+2x一3. C为顶点的三角形是等腰三角形？ (2)存在 若存在，请直接写出满足条件的点 令x=0,得y=-3,.C(0,-3), 第6题图 147 y=x2+2x-3=(x+1)2-4,.D(-1,-4) 求点Q的坐标 设N(-1,m. 解：(1)二次函数y=ax2十bx十d 由点A,C,N的坐标得AC2=18,AN2=4十m, 的图象过点A(-1,0),B(3,0), CN=1+(m+3)P ∴y=a(x十1)(x-3)=a(x2-2x-3) 当AC=AN时，18=4+m, ax'-2ax-3a. 解得m=√14或-√14， 函数图象过点(0，一3) 第7题图 ∴.N(-114)或N(-1,-/14) .-3a=-3,.a=1. 当AC=CN时，18=1+(m+3), ,二次函数的表达式为 y=x2-2x-3. 解得m=-3十√17或m=一3一√17（舍去）， (2),抛物线的对称轴为直线x=1,且点P,C ∴.N(-1,-3+√17) 关于直线x=1对称，C(0,一3)，.P(2,一3). 当AN=CN时，4+m2=1+(m+3)2, 设Q(m,m2-2m-3). 解得m=一1，.N(-1,一1) :△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形， 综上所述，满足条件的点N的坐标为（一1，√4）， ∠OPQ=90°，∴.OP2+PQ=OQ, (-1,-14),(-1,-3+√17)或(-1，-1) .[(0-2)2+(0+3)]+[(2-m2+(-3-m2+ 7.[2024遂宁节选]如图，二次函数y=a.x2十bx+c 2m+3)]-[m2+(m2-2m-3)]. (a≠0)的图象与x轴分别交于点A(一1,0)，B 整理得3m2一8m十4=0， (3,0),与y轴交于点C(0,一3)，P,Q为抛物线 上的两点 解得m 3m=2(此时点Q与点P重合，舍去)， (1)求二次函数的表达式； ∴.m2-21-3= Q， (2)当P,C两点关于抛物线的对称轴对称， △OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时， 综上所述，点Q的坐标为后，一曾》 类型五特殊四边形的存在性问题 一阶通性通法 预备知识： 1,平行四边形：对边平行且相等，对角线互相平分 ⅱ.矩形：对边平行且相等，对角线相等且互相平分 ； ⅲ.菱形：四条边相等，对边平行且相等，对角线互相垂直平分； ⅳ，正方形：四条边相等，对角线相等且互相垂直平分 平行四边形问 若存在□ABCD,则xA十xC=xB十xD 题的解决思路 若存在矩形ABCD,则xA十xC=xB十xD且kAB·kx=一l. 矩形问题的 也可以过矩形一顶点分别作坐标轴的平行线，利用一线三等角相似求 解决思路 解相关数据（如右图） 菱形问题的 若存在菱形ABCD,则xA十xC=xB十xD且AB=BC=CD=AD.利用两点间距离公 解决思路 式推理或AC十BD=4AB 若存在正方形ABCD,通常可讨论其中三个点的情况，利用构造全等 正方形问题 三角形的方法先得到几个点坐标之间的数量关系（如右图），然后利用 的解决思路 点在相关函数图象上建立其他等量关系进行求解 48 章二阶综合训练 8.[2024广元节选]在平面直角坐标系xOy中，已 坐标. 知抛物线F:y=一x2十bx十c经过点A(一3， 解：(1)把A(-1,0),B(3,0)分别 -1),与y轴交于点B(0,2) 代入y=-x2十bx十c,得 (1)求抛物线的函数表达式： -1-b+c=0, b=2 (2)作抛物线F关于直线y=一1上一点的对称 -9+3b+c=0, 解得 c=3, 第9题图 图象F,抛物线F与F'只有一一个公共点E(点E .抛物线的解析式为y=一x2十2x十3. 在y轴右侧)，G为直线AB上 (2)如答图①，当点N在y轴上时，D为抛物线 一点，H为抛物线F′对称轴 的顶点 上一点，若以B,E,G,H为顶 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴D(1,4. 点的四边形是平行四边形，求 ,四边形DMCN为矩形， G点坐标. ∴.点N与点D的纵坐标相同，.N(O,4) 第8题图 解：(1)将A(一3，一1)，B(0,2)分别代入抛物线 如答图②，当点N在x轴正半轴上时，四边形 F:y=-x2+br+c, DMCN为矩形，过点C作对称轴的垂线CG,垂 得厂9-36+c=-1, 足为G,过点D作DH⊥x轴于点H b=-2 解得 ,四边形DMCN为矩形，CG⊥MG,DH⊥x轴 1c=2, 1c=2, 于点日， .抛物线的函数表达式为y=一x2一2x十2 ∴.CM=ND,∠CGM=∠NHD=90°，CG∥x轴， (2)由中心对称可知，抛物线F与F的公共点E .∠MCG=∠DNH, 为直线y=一1与抛物线F的右交点， ∴.△MCG≌△DNH(AAS),∴.NH=CG=1. 当-x2-2x+2=-1时 设D(,一2+21十3)，H(t,0),则ON=1-1, 解得x=-3(舍去)或x=1,.E(1,-1) .N(t-1,0),HD=-t+2+3. ,抛物线F:y=一x2一2x十2的顶点坐标为 ∠GND=90°，.∠CNO+∠DNH=90° (-1,3) ∠CNO+∠NCO=90°，.∠NCO=∠DNH. ∴.抛物线F的顶点坐标为(3，一5)， 又，∠CON=∠NHD=90°， .抛物线F的对称轴为直线x=3,点H的横坐 标为3. △0ON△NHD器-0 由A(-3,一1)，B(0,2)得直线AB的函数表达 ",抛物线的对称轴为直线x=1,点M在对称轴 式为y=x十2. 上，C(0,3),NH=1 t-1 设Gm,m十2)， 0C=3,-+2+3-3, 当BE为平行四边形的对角线时，m十3=1 解得m=-2,∴G(-2,0) 解得6-5士5 6 。-5一西不符合题意，舍去， 6 当BG为平行四边形的对角线时，m=3十1=4， .N .G(4,6) 当BH为平行四边形的对角线时，m十1=3时， 综上所述，符合条件的点N的坐标为(0,4)， 解得m=2,.G(2,4) 145-1,0 综上所述，G点坐标为(-2,0)或(4,6)或(2,4). 9.如图，已知抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于 A(一1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C (1)求抛物线的解析式； (2)设M为抛物线对称轴上一动点，当点D,点 M运动时，在坐标轴上确定点N,使四边形 图① 图② DMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的 第9题答图 149