6.专题六 与圆有关的综合题(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学课堂讲练本

专题六 与圆有关的综合题 类型一圆的基本性质 2.[2024苏州]如图，在△ABC中，AB=42,D为 1.[2024安徽]如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是 直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点 AB的中点，∠BAC=∠BCD,cos∠ADC=2, E,交⊙O于另一点F,FA=FE. ⊙O是△ACD的外接圆. (1)求证：CD⊥AB: (1)求BC的长： (2)求⊙O的半径 (2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求 AC的长. 0 第2题图 解：(1)∠BAC=∠BCD,∠B=∠B, 第1题图 （1)证明：：FA=FE, △BACn△cD,%-是 ∴.∠FAE-∠AEF AB=4w2,D为AB的中点， 又：∠FAE=∠BCE,∠AEF=∠CEB ∴.BD=AD=2②， ∴.∠CEB=∠BCE .B=BA·BD=16,BC=4(负值已舍)： (2)如答图，过点A作AE⊥CD于点E,连接CO CE平分∠ACD, 并延长，交⊙O于点F,连接AF ∴.∠ACE=∠DCE. ,AB是⊙O的直径， 在△ED中，DA-恶-D=22 ∴.∠ACB=90, DE=1,.AE=VAD-DE=7. ·∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE ,△BAC∽△BCD, =∠ACB=90° ∴∠CDE=90°， 都滑区 ∴.CDLAB. 设CD=,则AC=2x,CE=CD-DE=r-1, (2)解：由(1)得∠BEC=∠BCF 在R△ACE中，AC三CE+AE, ∴.BE=BC 2x)=(x1)+(W7), 解得x=2,x=一4（舍去）， FA=FE,FM⊥AB, .CD=2,AC=22 ∴.MA=ME=OM+OE=2, ,∠AFC=∠CDA, .AE=4, ..OA=OB=AE-OE=3, n∠AC-AS-n2CDA-A恶-平 CF ..BC=BE=OB-OE=2. ∴CF-8⑦ 在△ABC中， 7 AB=6,BC=2,∠ACB=90°， 0C= CF-4y,即⊙0的半径为 ∴.AC=AB一BC=42. 第2题答图 138 类型二与切线性质有关的证明与计算 4.[2024陕西]如图，直线1与⊙O相切于点A,AB 3.[2024盐城]如图，点C在以AB为直径的⊙O 是⊙O的直径，点C,D在l上，且位于点A两 上，过点C作⊙O的切线l,过点A作AD⊥1，垂 侧，连接BC,BD,分别与⊙O交于点E,F,连接 足为D,连接AC,BC EF.AF. (1)求证：△ABC△ACD: (1)求证：∠BAF=∠CDB: (2)若AC=5,CD=4,求⊙O的半径. (2)解题策嘻开越若⊙O的半径r=6,AD=9, AC=12,求EF的长. 第3题图 1) (1)证明：如答图，连接(C 第4题图 1是⊙0的切线， (1)证明：：直线1与⊙O相切于点A, .(C⊥l。 ..ABCD, .ADLLOA=OC, .∠BAF+∠DAF=90 ∴.(OC∥AD,∠CAD=∠ACO=∠BAC AB为⊙O的直径，∴∠AFD=∠AFB=90, ∠ADC=∠ACB=90, ∴.∠DAF+∠CDB=90°， .△ABC∽△ACD ∴∠BAF=∠CDB. (2)解：AC=5,CD=4,∠ADC=90 (2)解法一：如答图，连接AE. AB=2r=12=AC,AB⊥CD, ∴.AD=AC-CD=3. .∠ACB=∠CBA=45 ,△ABC△ACD, ,AB为⊙O的直径， 说福 ∴.∠BAE=90°-∠ABE=45, ..AB_5 53 BEAB=62 AB=气 ∠BEF=∠BAF∠BAF=∠CDB, ,·∠BEF=∠CDB. ·⊙0的半径为5 ,∠EBF=∠DBC, ∴.△BEF∽△BDC, 器畏 由勾股定理得BD=√AB+AD=15. 第3题答图 -累得得F 5 (更多解法见《参考答案》】 第4题答图 139 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB边上一6.如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点B,与边 点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E, AC相切于点D,与边AB交于点E,EB是⊙O 与边BC交于点F,过点E作EH⊥AB于点 的直径 H,连接BE (1)求证：DE∥OC: (1)求证：BC=BH: (2)若⊙0的半径是，AD=2,求CD的长. (2)若AB=5,AC=4,求CE的长. 第5题图 第6题图 第6题答图 (1)证明：如答图，连接(OE (1)证明：如答图，连接OD AC为⊙O的切线， ⊙O)与△ABC的边BC相切于点B,与边AC .OE LAC,.∠AE0=90 相切于点D, ∠C=90,.OE∥BC, .CD=CB,∠ODC=∠OBC ∠1=∠3. CD=CB, OB=OE,.∠2=∠3， 在△COD和△COB中，∠ODC=∠OBC, ∴.∠1=∠2 OD=OB, 又∠C=∠EHB,BE=BE, .△COD≌△COB(SAS), ∴.△BEC≌△BEH(AAS), .∠COD=∠COB, .'BC=BH. ∠COB= (2)解：在Rt△ABC中，BC=AB-AC=3 2(180°-∠D0E. 设OE=r,则A0=5一r OD=OE, :OE∥BC,.△AOEe2△ABC DEO=∠ODE=2(I80°-∠D0E), 5 ∠DEO∠COB,.DE∥C tan A= BC EO (2)解：在R△AOD中，OA=√OD+AD= AC AE' 2 ∴AE=AC·E05 .AB=(OA十+(OB=4 BC :∠OAD=∠CAB,∠ADO=∠ABC, ∴CE=AC-AE= .△AOD∽△ACB, 2 3 留裙即品-是解得B=8 △C)D≌△C)B ∴.CD=CB=3. 第5题答图 140 类型三切线的判定及相关计算 8.[2024眉山]如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O 7.[2024甘肃]如图，AB是⊙O的直径，BC=BD, 上，点C在BE的延长线上，∠EAC=∠ABC, 点E在AD的延长线上，且∠ADC=∠AEB. AD平分∠BAE交⊙O于点D,连接DE (1)求证：BE是⊙O的切线： (1)求证：CA是⊙O的切线： (2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求tan∠AEB (2)当AC=8,CE=4时，求DE的长. 的值. D 第7题图 第8题图 (1)证明：如答图，连接BD,(OC,OD,记AB与 (1)证明：如答图，连接()A. CD的交点为F BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°， ,BC=BD,∴.BC=BD ∠BAO+∠OAE=90° (OC=(OD,点()，B在CD的垂直平分线上， OA=OB,.∠ABC=∠BAO .AB垂直平分CD, ∠EAC=∠ABC,∠EAC=∠BAO, ∴.∠AFD=90° ∴∠EAC+∠OAE=90°，∴∠OAC=90°. ,∠ADC=∠AEB :OA是⊙O的半径， ∴.CD∥BE, ∴CA是⊙)的切线 ∴.∠ABE=∠AFD=90°， (2)解：：∠ABC=∠EAC,∠C=∠C .AB⊥BE OB是⊙O的半径， △ACn△EAC,-C, ,BE是⊙(O的切线， (2)解：，⊙0的半径为2 ∴AB=4. BE=BC-CE-12.■ AB是⊙O的直径， 如答图，连接BD ∴.∠ACB=90° AD平分∠BAE,∠BAD=∠EAD, ,BC=3, ∴，BD=DE ∴AC=√AB-BC=7, :BE是⊙O的直径，∴.∠BDE=90, tm∠ABc-- ∴.DE=BD= 号E=62 ,∠ADC=∠ABC,∠AEB=∠ADC, ∴∠AEB=∠ABC 六tan∠AEB=tan∠ABC- 3 第8题答图 第7题答图 141 9.[2024南充]如图，在⊙O中，AB是直径，AE是10.[2024兰州]如图，△ABC内接于⊙O,AB为 弦，F是AE上一点，AF=B死，AE,BF交于点 ⊙O的直径，D为⊙O上一点，BC=BD,延长 C,D为BF延长线上一点，且∠CAD=∠CDA BA至点E,使得∠ADE=∠CBA (1)求证：AD是⊙O的切线： (1)求证：ED是⊙O的切线： (2)若BE=4,AD=25,求⊙O的半径长， (2)若B0-4,tan∠CBA=2,求ED的长. 第9题图 第9题答图 第10题图 第10题答图 (1)证明：AF=E, (1)证明：如答图，连接(OD. ∴.∠ABF=∠BAE 'AB为⊙O的直径， :∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF=18O .∠IBCA=∠BDA=90°，OB=OD, 且∠CAD=∠CDA, .∠IDBA=∠BDO ∴.2（∠CAD+∠BAE)=180, BA=BA, 在Rt△BCA和Rt△BDA中， ∴.∠OAD=∠CAD+∠BAE=90 BC=BD, (OA是⊙O的半径， ∴.Rt△BA≌RL△BDA(HI), .AD是⊙O的切线， ∴∠CBA=∠DBA (2)解：如答图，连接AF ZADE=∠CBA,∠DBA=∠BDO, .∠ADE=∠DBA=∠BLDO AF=BE, ,∠BDO+∠ADO=∠BDA=90°， ∴.AF=BE=4 ,∴.∠ADE+∠ADO=90°，即ED⊥OD AB是⊙O的直径， ,OD是⊙O的半径 ∴.∠AFD=∠AFB=90 ∴.ED是⊙O的切线 .DF=ADAF=2 2)解：B)=4,∴AB=2OB=8, ∠BAD=∠AFD=90 ,∴，EB=AEAB=AE+8. tan D= AB AF AD DF imn CBA=)ZCBA=∠DBA AD=号AB, tan∠DBA=AD-L BD 2 设AD=4,则BD=2a. ÷0A=2AB=AD=26, '∠ADE-∠DBE,∠E=∠E, 即⊙0的半径长为2,5 ∴·△EAD∽△EDB, 需品品 即即g品- AE-DE,2ED-AE+8, 2ED=号ED+8,ED=16 142