6.第六章 圆(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学课堂讲练本

第六章 圆 第23节1 圆的有关性质 【教材链接】九（上）第二十四章P79~P91,P105P110. 今一题多练过基础 浙教九上P93改编如图，⊙O是△ABC的外接圆， ∠CAD=30: AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点E,连接 (3)若∠BCA=60°，∠BAD=30°： CD,OC. (4)若OC=5,AC=8,则CD=6:过点O作 OH⊥AC于点H,则cos∠AOH=号 (5)若BC⊥AD于点E,CB=6,∠CAD=30°，则 DE=3 (6)连接BD,若∠BAC=65°，则∠BDC=1山5° (1)∠ACD=90 (2)若∠ADC=60°，则∠AOC=120 幸教材知识构体系 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中 定点称为①圆心，定长称为②半径，以点O为圆心的圆 记作③⊙) 弧：圆上任意两点间的部分，如图中的AC,BC,ACB.④小于半 圆的弧叫做劣弧，如图中的AC,BC:⑤大于半圆的弧叫做优 相关 概念 弧，如图中的ABC 弦：连接圆上任意两点的线段，如图中的AC,经过⑥圆心的弦叫 做直径，直径是最长的弦，如图中的AB 圆的有 圆心角：顶点在⑦圆心的角叫做圆心角，如图中的∠BO℃ 关性质 圆的相关概 圆周角：顶点在⑧圆上，并且两边都与圆⑨相交的角叫做圆 念及性质 周角，如图中的∠BAC (1)圆是轴对称图形，任何一条⑩直径所在直线都是圆的对称轴 性质 (2)圆也是中心对称图形，①圆心是它的对称中心 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑦相等，所对的弦也⑧相等 弦、弧、 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角@相等，所 圆心角 对的弦⑤相等 推论 的关系 (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑥相等，所 对的弧⑦相等 88 定理：垂直于弦的直径⑧平分弦，并且©平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径④垂直于弦，并且④平分弦所对的两条弧 (1)AC=②BC (2)图AD=DB (3)AE=BE 垂径定理与推论的延伸 垂径定理 (4)AB⊥CD (根据圆的对称性) 及其推论 (5)CD是直径 只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立， 即知二推三 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的⑤圆心角的一半 圆周角定理 (1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 及其推论 推论(2)半圆（或直径）所对的圆周角是⑩直角，90°的圆周角所对的弦是 ⑦直径 有关性质 定义：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，如图中的⊙O 圆心：（外心）三角形三条边⑧垂直平分线的交点 性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外接圆角度关系：∠BOC一2∠A 圆内接四边(1)圆内接四边形的对角烟互补 形的性质(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 名称 公式 中心角 0-360 角 边心距 半径R@ 边心距 =R-() 圆内接正多边形 周长 =na 面积 nar= 情境试题分阶练 情境夯基础 打牢根基学圾被心知识 3.[2024青海改编]如图，四边形ABCD是⊙O的内 1.[2024甘肃]如图，AB是⊙O的直径，∠E=35°， 接四边形，∠C=130°，则∠A的度数是(B) 则∠BOD= (D) A.25 B.50°C.60° D.65 A.80 B.100 C.120 D.110° B 第3题图 第4题图 第1题图 第2题图 4.[2024牡丹江]如图，四边形ABCD是⊙O的内 2.[2024宜宾]如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB 接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°， 60°，则∠ABC的度数等于 (A) 则∠ADC的度数为 (B) A.30° B.45 C.60° D.90° A.100° B.110° C.120° D.130° 89 5.AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且 面的示意图，瓶内液体的最大深度CD=2cm, ∠CAB=50°.①以点B为圆心，适当长为半径 截面圆中弦AB长为10cm,那么球的半径OB 作弧，交AB,BC于点D,E:②分别以点D,E为 长为 29 cm. 圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点P: ③作射线BP,则∠ABP= (C) A.40 B.25 C.20 D.15 图① 图2 第10题图 11.[2024江西]如图，AB是⊙O的直径，AB=2,点 第5题图 第6题图 C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB, 6.[北师八下P84改编]如图，在4×4的网格中，以 将DBE沿DE翻折交直线AB于点F,当DE 点O为圆心作圆，点A,B,C都在圆周上，其中 的长为正整数时，线段FB的长为2或2一√3 A,C为格点，则∠ABC的正切值为 A司 R号 或2+3 C.I n号 7.[2024北京]如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不 是直径).若∠D=35°，则∠C=55 第11题图 12.[2024北京]如图，AB是⊙O的直径，点C,D在 ⊙O上，OD平分∠AOC. (1)求证：OD∥BC； 第7题图 第8题图 (2)延长DO交⊙O于点E,连接CE交OB于 8.[2024连云港]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2 点F,过点B作⊙O的切线交DE的延长线于 ∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1， ∠4的一边分别经过点A,B,则∠1十∠2十∠3+ 点P.右邵名PE-1,求⊙0半径的长。 ∠4=90 情境提思维目 综合提升灵活设用知识 9.[2024凉山州门数学活动课上，同学们要测一个如 图所示的残缺圆形工件的半径， 小明的解决方案是：在工件圆弧 第12题图 上任取两点A,B,连接AB,作 (1)证明：如答图，连接AC交OD于点H AB的垂直平分线CD交AB于 第9题图 AB是⊙O的直径，.AC⊥BC 点D,交AB于点C,测出AB=40cm,CD OD平分∠AOC,.∠AOD=∠COD, 10cm,则圆形工件的半径为 (C) ∴.AD=CD,∴OD⊥AC,∴，OD∥BC A.50 cm B.35 cm C.25 em D.20 cm (2)解：OE∥BC, 10.琴学科·化学[浙教九上P78改编]如图①是一个 底部呈球形的烧瓶，图②是烧瓶内液面竖直截 △OEP△F,8-g邵-吾 90 设(OE=5.x,则BC=6.x ∴.AD∥NC,CD∥AM, AO=OB,OH∥BC, ,四边形AECD是平行四边形， ∴AH=CH,∴OH=2BC=3x .CD=AE=3,∴.BC=√WBD-CD=3√2. PB是⊙O的切线， .∠OBP=90°，∴.∠PBO=∠AHO ,∠BOP=∠HOA,.△POBC∽△AOH, 第13题答图 0E-号，∴⊙0半径的长为号 14.[2024新最]如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径， 弦CD交AB于点E,AD=BD (1)求证：△ACDc∽△ECB: (2)若AC=3,BC=1,求CE的长 第12题答图 第14题图 第14题答图 13.[2023安徽]已知四边形ABCD内接于⊙O,对 角线BD是⊙O的直径， (1)证明：AD-BD,∠ACD=∠BCE. ∠ADC=∠EBC,.△ACD∽△ECB. (1)如图①，连接OA,CA,若OA⊥BD,求证： CA平分∠BCD: (2)解：如答图，过点B作BH⊥CD于点H. (2)如图②，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC: ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90°， CE⊥AB.若BD=33,AE=3,求弦BC 的长 在Rt△ACB中，AB-yBC+AC=V1O AB为⊙O的直径，D为AB中点， ∴∠ADB=90,AD=BD, ∠ABD=∠BAD45, ∴.△ABD为等腰直角三角形， 图①D 图② 第13题图 六D-号B=后 (1)证明：，OA⊥BD,OA为半径，∴AB=AD, 在R1△BCH中，∠BCH=∠BAD=45°， .∠ACB=∠ACD,即CA平分∠BCD (2)解：如答图，延长AE交BC于点M,延长 c1-B1-号c-号 CE交AB于点N. 在R△BDH中，DH=BD-BH=3y2 AE⊥BC,CE⊥AB, .∠AMB=∠CNB=90 ∴.CD=CH+DH=2② ,BD是⊙O的直径， ,△ACD∽△ECB, .∠BAD=∠BCD=90, ÷是瓷，即2-，解得E=3 ∠BAD=∠CNB,∠BCD=∠AMB, 91 第24节点、直线与圆有关的位置关系 【教材链接】九（上）第二十四章P92~P104 一题多练过基础 人教九上P98改编已知AB是⊙O的直径，D是线于点E. ⊙O上一点，连接BD ①若DE=BD=4、3,则∠B=30°，⊙O的半 径为4； ②若DE=8,AE=4,则AB=12 (3)如图③，分别过点A,D作⊙O的切线，两条切 线相交于点P,连接OP,AD. 图① 图② 图3 ①已知∠APD=60°，PD=2,则△PAD的周长 (1)如图①，过点A作⊙O的切线，与射线BD交 为6，∠DBA=60°，点O到弦AD的距离 于点C,连接DO, 为 3 ①若∠C=55°，则∠AOD=70° 3 ②若⊙0的半径为4，AC=6,则CD= ②OP与BD的位置关系为OP∥BD: (2)如图②，过点D作⊙O的切线，交BA的延长 ③若BD=3,AD=4,则OP的长为罗。 李教材知识构体系 点在圆外台d①>r,如右图中点A 点与圆的 (设圆的半径为r,平面内任 点在圆上与d②= r,如右图中点B 位置关系 点到圆心的距离为d) 点在圆内-/③ r,如右图中点 位置关系 相离 相切 相交 直线与圆的位置关系 d与r的关系 d④>r d⑤=r d⑥ <r (设圆的半径为，圆 点、直线与 d 心到直线的距离为d) 图示 圆有关的 位置关系 交点的个数 0 2 (1)圆心到切线的距离等于⑦半径 切线的性质 (2)切线⑧垂直于过切点的半径 (1)若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直 即可，可简述为：有交点，连圆心，证垂直 切线的判定 (2)若未知直线与圆有公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于 圆的半径即可，可简述为：无交点，作垂直，证相等 92 切线长定理（如图①）：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这 一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，如图①，过⊙) 点、直 外一点P可引两条切线PA,PB,则PA=PB,PO平分 图① 线与圆 ∠APB 定义：与三角形各边都相切的圆 有关 圆心（内心）：三角形三个内角平分线的交点 性质：三角形的内心到三角形⑨三条边的距离相等 位 三角形的内切圆 图② (如图②) 角度关系：∠B0C=90°+2∠A 关系 【知识拓展】直角三角形内切圆的半径：r=a十乡S(其中a,b分别为两直角边 2 长，c为斜边长) 子情境试题分阶练 情境夯基础 打牢根基棠握热心和识 4.[2024福建]如图，已知点A,B在⊙O上，∠AOB= 1.[2024上海]在△ABC中，AC=3,BC=4,AB= 72,直线MN与⊙O相切，切点为C,且C为AB 5,点P在△ABC内，分别以点A,B,P为圆心 的中点，则∠ACM等于 (A) 画圆，⊙A半径为1，⊙B半径为2，⊙P半径为 A.189 B.30 C.36 D.72 3,⊙A与⊙P内切，⊙B与⊙P的关系是(B) A.内含 B.相交 C.外切 D.相离 "0 2.[2024山西]如图，已知△ABC,以AB为直径的 ⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接 OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为 (D) 第4题图 第5题图 5.[北师九下P103改编]如图，正方形ABCD的边 长为4，⊙O经过A,B两点，且与边DC相切于 点M,若M为DC的中点，则⊙O的半径长 为多 第2题图 6.[2024通辽]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点 A.30° B.40 C.45 D.50° O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径 3.[2024泸州]如图，EA,ED是⊙O的切线，切点为 作圆与AB相切于点D,连接CD A,D,点B,C在⊙O上，若∠BAE十∠BCD (1)求证：∠ABC=2∠ACD: 236°，则∠E= (C) (2)若AC=8,BC=6,求⊙O的半径. D 第3题图 第6题图 A.56 B.60° C.68 D.70° (门)证明：如答图，连接(OD 3 AB切⊙O于点D,.OD⊥AB, 8.[2024扬州]如图，已知两条平行线1,12，点A是 .∠O0DA=∠ODB=90° l1上的定点，AB⊥2于点B,点C,D分别是l, ,∠ACB=90°，∴.∠ABC+∠COD=180 l2上的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段 :∠AOD+∠C0D=180°， AB于点E,BH⊥CD于点H,连接AH,当 ∴.∠ABC=∠AOD ∠BAH最大时，sin∠BAH的值为3 ,∠AOD=2∠ACD,∴.∠ABC=2∠ACD (2)解：设⊙O的半径为r,则(OD=C=r,OA= 8-r 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6, D ..AB=VAC+BC=10. 第8题图 ∠OAD=∠BAC,∠ADO=∠ACB, 9.[2024重庆A卷]如图，以AB为直径的⊙O与 ∴.△AOD∽△ABC AC相切于点A,以AC为边作□ACDE,点D, 设裙即后-市 E均在⊙O上，DE与AB交于点F,连接CE,交 解得r=3,即⊙0的半径为3. ⊙O于点G,连接DG.若AB=10,DE=8,则 AF- 8.DG 20V13 13 第6题答图 公情境提思维 统合规升灵活运用如识 第9题图 7.解题策哈开故[2024滨州门刘微（今山东滨州人）是 10.[2024济南]如图，AB,CD为⊙O的直径，点E 魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理 论的莫基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗” 在BD上，连接AE,DE,AD,点G在BD的延 长线上，AB=AG,∠EAD+∠EDB=45°. 刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解。 (1)求证：AG与⊙O相切： 其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推 导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图， (2)若BG=45,sin∠DAE=3,求DE的长. Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为 c,a,b,则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的 内切圆直径d,下列表达式错误的是 (D) 第10题图 (1)证明：：∠EAD+∠EDB=45, ∴.∠EAD+∠EAB=45°，即∠BAD=45° 第7题图 AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B=45 B.d=2ab ,AB=AG,∴.∠G=∠B=45,∴∠GAB=90, A.d=a+b-c a+b十c .AG与⊙)相切 C.d=2(c-a)(c-b)D.d=(a-b)(c-b) (2)解：如答图，连接CE 94 ,DC为⊙O的直径，∴.∠DEC=90° ∴∠ABE+∠ABF=90°，即∠OBE=90°， 在△DC中，∠E-畏-nDAE- ∴.EB是⊙(O的切线 12.[2024贵州]如图，AB为半圆O的直径，点F在 BG=45,∠B=45°，∠BAG=90, 半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相 AB-号G=2Vm=D心. 切于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与 OF相交于点E,DC=DE DE=DC·sin∠DAE=2/IO (1)结论开故写出图中一个与∠DEC相等的角： 3 (2)求证：OD⊥AB; (3)若OA=2OE,DF=2,求PB的长. 第10题答图 11.[2024济宁]如图，△ABC内接于⊙O,D是BC 上一点，AD=AC.E是⊙O外一点，∠BAE 第12题图 第12题答图 ∠CAD,∠ADE=∠ACB,连接BE (1)∠DCE(答案不唯一) (1)若AB=8,求AE的长： (2)证明：如答图，连接(C (2)求证：EB是⊙O的切线. ,PC与半圆相切于点C, ∠0CD=90 :∠IDCE+∠ACO=90° OA=OC,∠A=∠AC0 ∠DCE=∠DEC=∠AEO, 第11题图 第11题答图 ∠A+∠AE0=90°， (1)解：∠BAE=∠CAD .∠4OE=90,.ODAB. ∴.∠BAE+∠BAD=∠CAD∠BAD, (3)解：设OE=x. 即∠EAD=∠BAC 0A=20E,∴A0二2 又：∠ADE=∠ACB,AD=AC EF=OF一OE=, ∴.△ADE2△ACB(ASA),∴.AE=AB=8. ..DE=DC=x-+2,OD=2x+2. (2)证明：如答图，连接BO并延长交⊙O于点 OC+CD=OD F,连接AF .(2x)℉+(x+2)2=(2x+2) ,BF是⊙O的直径，∠BAF=90, 解得x=4或.x=0(不符合题意，舍去)， ∴.∠AFB+∠ABF=90° .OD=10,0C=OB=8,CD=6 ,'∠AFB=∠ACB,.∠ACB+∠ABF=90 ,∠DOP=∠OCD=∠OCP=90, 在△ALDC中，AD=AC ∴.∠D+∠DOC=∠DC+∠COP=90 .∠ACB=∠ADC, ∴.∠D=∠COP,∴.△CDO∽△COP, ∴.2∠ACB+∠CAD=180 品器…品0p号 由(I)知AE=AB,∠AEB=∠ABE, .2∠ABE+∠BAE=180 六Bn=0P-0B=9 ,∠BAE=∠CAD,∴.∠ACB=∠ABE 95 第25节 与圆有关的计算 【教材链接】九（上）第二十四章P111~P125, 冬一题多练过基础 苏科九上P85改绵如图，AB 形BOC的面积为 8π 3 是⊙O的切线，AO交⊙O于 点C,且AC=OC,连接OB. (4)若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 (1)∠A=30°： (2)若AB=3,则⊙O的半径为3，周长为23π， (5)将扇形BC围成一个圆锥，若⊙O的半径为6， 面积为3π： 则所围成圆锥的底面圆周长为2π，底面圆半径 (3)若⊙O的半径为4，则BC的长为 π ,扇 为1，底面圆面积为元，圆锥的高为35 子教材知识构体系 弧长公式：1=① nR 180 (是弧所对的圆心角的度数，R是半径》 扇形 (1)S鼎形=② 360 (是弧所对的圆心角的度数，R是半径) 面积公式 与圆 (2)S形= 2R(1是弧长，R是半径 底面周长：C=2 圆锥 底面面积：S=π2 (”是圆锥底面圆半径，l是 侧面积：S横=③πrl 算 圆锥的母线长，h是圆锥的 全面积：S全=S十S能一πrl十πr 高，这三个量之间的数量关【知识拓展】(1)圆锥的母线长为侧面展开后的扇形的④半径： 系是h2+2=) (2)圆鞋的侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面圆 的⑤周长 孕情境试题分阶练 情境夯基础」 (C) 打牢根基棠提被地识 BC分别相交于点D,E,则DE的长度为 1.[2024贵州]如图，在扇形纸扇中，若∠AOB= A晋 B晋 c. n警 150°，OA=24,则AB的长为 (C) 3.[北师九下PI02改编]某校在社会 A.30π B.25元 C.20r D.10x 实践活动中，明明同学用一个直 径为12cm的定滑轮带动重物上 B 升.如图，滑轮上一点A绕点O逆 第3题图 时针旋转135°，假设绳索（粗细不 第1题图 第2题图 计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(A) 2.[2024广安]如图，在等腰三角形ABC中，AB A.4.5πcm B.9x cm AC=10,∠C=70°，以AB为直径作半圆，与AC, C.6x cm D.12πcm 96 4.[2024云南]某校九年级学生参加社会实践，学习 3m,∠OBC=120°.一条长度为6m的绳子，一 编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为 头固定在点O处，另一头P栓着小羊.则小羊的 40cm,底面圆的半径为30cm,则该圆锥的侧面 活动区域面积为 21元 m(结果保留π). 积为 (C) A.700 cm B.900元cm C.1200πcm D.1600πcm 5.[2024临夏州改编]如图，对折边长为2的正方形 纸片ABCD,OM为折痕，以点O为圆心，OM为 第9题图 半径作弧，分别交AD,BC于点E,F,则EF的长 10.[2024山西]如图①是小区围墙上的花窗，其形 度为，扇形OEF的面积为 2π (结果保 状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴 影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆 留π). 心角为90°，OA=1m,点C,D分别为OA,OB 的中点，则花窗的面积为 48 m2. 第5题图 第7题图 6.[2024龙东地区]若圆锥的底面圆半径为3，侧面积 图① 图② 为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是90 第10题图 第11题图 7.[2024烟台]如图，在边长为6的正六边形ABC 11.[2024苏州]铁艺花窗是园林设计中常见的装饰 DEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作 元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由 BD,剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则 六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一 这个圆锥的底面圆半径为3 个正六边形，中心为O,AB所在圆的圆心C恰 令情境提思维 统合升灵运用知识■ 好是△ABO的内心，若AB=2√3，则花窗的周 8.如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面 长（图中实线部分的长度）=8π（结果保留 是半径为8cm的⊙O,其中圆心O到AB的距 π). 离为4cm,阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面 12.[人教九上P115改编]如图①，在Rt△ABC中， 积为 (C) ∠ABC=90°，AB=a,BC=b,且a>b,将 △ABC绕边BC所在的直线旋转一周形成圆 锥甲（图②），再将△ABC绕边AB所在的直线 旋转一周形成圆锥乙（图③），记两个圆锥的表 面积分别为S甲，Sz,则S甲，Sz的大小关系为 第8题图 S甲>S2(选填“>”“<”或“=”) A.128x+16、3cmB.128r+32,3cm 6 3 C12+165amD.128r+325cm 9.[北师九下P68改编]如图，折线AOBC是一段固 图① 图②2 图3 定的栅栏，其上方为草场.已知OA⊥OB,OB 第12题图 97