4.第四章 三角形(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学课堂讲练本

第四章！ 三角形 第15节线段、角、相交线与平行线（含命题） 【教材链接】七（上）第四章P125~P141:七（下）第五章P1~P27;八（上）第十二章P48~P52,第十三章 P60~P63. 子一题多练过基础 沪教七下P64改组如图，直线4,2被直线，，所(3)若FH=3,则点F到直线4的距离为3： 截，交点分别为A,B,C,D,BD是∠ABC的平分线，F (4)连接AC.若AC是∠BCD的平分线.请回答下 为BD上一点，FH⊥BC于点H,G为BC的中点. 列问题： ①下列条件中，能够证明L1∥12的是a,c,d: SA D a.∠1=∠2：b.∠2=∠3：c.∠4=180°-∠3 ∠2：d.∠5=2∠2. l.B H G ②若直线4∥1，∠4=56°，∠1=39°，则∠3=85， (1)若H为BG的中点，GH=2,则BC8 ∠5-= 78: (2)若∠ABC=58°24'，则∠ABC余角的度数为 ③若点A到1的距离为5，点F到12的距离为1， 3136,∠ABC补角的度数为121°36 则点F到1的距离为4· ∠ABD=29.2; 教材知识构体系 (1)经过两点有一条直线，并且只有①一条直线（两点确定一条直线） 两个基本事实 (2)两点之间，②线段最短 线段的和与差：如图①，在线段AC上取一点B,则有③AB十BC-AC:AB=AC一④BC; BC-⑤AC-AB A B B 图① 图网 线段、角、段 线段的中点：如图②，点B把线段AC分成相等的两条线段AB,BC,则点B叫做线段AC 相交线与 的中点.即AB=⑥BC=2AC 平行线 (含命题) 两点之间的距离：连接两点之间的线段的长度 度、分，秒的换算：1°=60'，1'=60”，度、分、秒之间是60进制 余角：如果两个角的和为⑦90°，那么这两个角互为余角 角及角余角、补角补角：如果两个角的和为⑧180°，那么这两个角互为补角 平分线 性质：同角（等角）的余角⑨相等，同角（等角）的补角⑩相等 性质：①角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线 逆定理：角的内部到角的两边距离②相等的点在角的平分线上 5 三线八角：对顶角；邻补角：同位角；内错角：同旁内角 (1)在同一平面内，过一点有且只有⑧一条直线与已知直线垂直 相交线 垂线的性质 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，@垂线段最短 线 线段垂直性质：⑤线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的⑥垂直平分线上 角 公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理 相 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相⑦平行 及推论 线 (注：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行) (1)同位角⑧相等 判定两直线平行 性 行 平行线的性 (2)内错角©相等 质和判定 判定两直线平行 性 题 (3)同旁内角@互补 判定两直线平行 性质 定义：过一条平行线上任意一点作另一条平行线的垂线，①垂线段的长度叫做两 平行线间 条平行线间的距离 的距离 性质：两条平行线间的距离处处②相等 冬情境试题分阶练 一情境夯基础 打牢根基字握被心知识 4.[2023河南]如图，直线AB,CD相交于点O,若 1.[2024甘肃]若∠A=55,则∠A的补角为(D ∠1=80°，∠2=30°，则∠AOE的度数为(B) A.35 B.45 C.115 D.125 2.[2024北京]如图，直线AB和CD相交于点O, OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠EOB的大小 为 (B 第4题图 A.30 B.50° C.60 D.80 B 5.[2024陕西]如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B= 145°，则∠D的度数为 (B) D 第2题图 A.25 B.35 C.45 D.55 A.29 B.32 C.45° D.58 3.[2024重庆B卷]如图，AB∥CD,若∠1=125°， 则∠2的度数为 (C) 第5题图 第6题图 6.尊学科·物理[2024达州们当光线从空气射入水中 B 时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折 D 射现象（如图所示），图中∠1=80°，∠2=40°，则 第3題图 ∠3的度数为 (B) A.35 B.45 C.55 D.125 A.30° B.40 C.50° D.70° 56 7.[2024湖南]下列命题中，正确的是 (A)13.[2024德阳]如图是某机械加工厂加工的一种零 A.两点之间，线段最短 件的示意图，其中AB∥CD,DE⊥BC,∠ABC= B.菱形的对角线相等 70°，则∠EDC等于 (B) C.正五边形的外角和为720 A.10° B.20° C.30° D.40° D.直角三角形是轴对称图形 8.[2024淮安]如图，AB∥CD,点E在直线AB上， 点F,G在直线CD上，∠FEG=90°，∠EGF= 28°，则∠AEF的度数是 (C) A 第13题图 第14题图 14.[2024连云港]如图，直线a∥b,直线1⊥a, CD ∠1=120°，则∠2=30°. 第8题图 15.[2024滨州]一副三角板如图①摆放，把三角板 A.46 B.56 C.62 D.72 AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图②位置， 9.[2024呼伦贝尔]下列说法正确的是 (D) 即AB∥OD时，∠1的大小为75 A.任意画一个三角形，其内角和是360°是必然 事件 B.调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查 C.一组数据2,4,6，x,7,4,6,9的众数是4，则这 图② 组数据的中位数是4 第15题图 D.在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞州都 16.如图，把木条Q,b,l钉在一起，交点分别为点 表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平 P,Q,∠1=107°，∠2=85°， 均数相同，方差分别为s=1.5,s吃=2.5，则 将木条a绕点P以每秒钟 甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐 3的速度逆时针旋转一周， 10.[2024潍坊（有改动）门下列命题是真命题的是(A) 在旋转的过程中若木条a∥ 91 A.若a=b,则ac=bc b,则旋转时间为4秒或 第16题图 B.若a>b,则ac>b 64秒 C.两个有理数的积有可能为有理数 17.“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的 D.两个无理数的积仍为无理数 诗，如“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流.流 11.[2024宿迁]命题“两直线平行，同位角相等.”的 水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋.”其意境与韵 逆命题是同位角相等，两直线平行· 味读起来都是一种美的享受.在数学中也有这 孕情境提思维 综合规外典活远用知识 样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的 12.尊学种·物理[2024南充]如图，两个平面镜平行 自然数，我们称之为“回文数”，例如11,343等. 放置，光线经过平面镜反射时，∠1=∠2=40°， 下列几个命题： 则∠3的度数为 (C) ①2222是“回文数”： ②所有两位数中，有9个“回文数”： 3 ③所有三位数中，有81个“回文数”： 77777777777777777777 第12题图 ④任意四位数的“回文数”是11的倍数.其中， A.80 B.90 C.100 D.120 真命题有①②①（填序号）. 第16节一般三角形及其性质 【教材链接】七（上）第四章P125~P141:七（下）第五章P1~P27:八（上）第十二章P48~P52,第十三章 P60~P63. 奇一题多练过基础 苏科七下P25改编已知，在△ABC中，D为BC边①若D是BC边的中点，且AD⊥BC,CD=2,BD= 上一点，连接AD. AD,则△ABC的面积为4： (1)如图①，E为AB边上一点，连接DE. ②若D为BC的中点，E为AD的中点，△ABC的 面积为24，则△CDE的面积为6： ③若D为BC的中点，F为AC边的中点，AB=6,则 DF=3:设△CDF的周长为C,△ABC的周长为 图① C,则C与C2之间的数量关系为C=2C: ①若AB=9,AC=6,则BC边长度的取值范围 ④若AD平分∠BAC,∠BAD=40°，∠ABC= 为3<BC<15; 45°，则∠ADC=85°，∠ACB=55°； ⑤若DF为△ADC的高线，∠CAD=43°，∠BDA ②若∠BAC=2∠B=号∠C,则∠BAC=80 95°，则∠CDF=38 ③若AD是BC边上的中线，△ABD的周长比 △ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则 AB=8: (2)如图②，E,F分别为AD,AC上一点，连接 图② BF,CE,DF. 子教材知识构体系 三边都不相等的三角形 按边分 底边和腰不相等的等腰三角形 三角形的分类 等腰三角形 ①等边三角形 一般三 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 角形及 三边关系：若一个三角形的三边分别为a,b,c,则②a一bca十b 其性质 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180 三角形的边、角关系角的关系任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角 58 中线 高线 角平分线 中位线 图示 B B D D B AD是△ABC AD是△ABC AD是△ABC DE是△ABC 的中线 的高线 的角平分线 的中位线 BD-DC-是X AD⊥BC,即∠ADB= ∠BAD=∠CAD= DE∥BC,DE= 性质 ∠ALDC-90 2∠BAC ⑧专BC 一般三 角形 角形及 的 面积 S△ABD=S△Ac BD 其性质 要 S人=⑤ S△E= 关系 ④ S△ww 段 (1)三角形的三条角 平分线的交点是三 角形的内心： 三角形三条中线的三角形三条高所在 (2)内心到三角形三 延伸交点是三角形的 直线的交点是三角 边的距离相等 重心 形的垂心 注：外心是三角形三 条边的垂直平分线 的交点，即三角形外 接圆的圆心 奇情境试题分阶练 分情境夯基础 打牢根基掌握核心知识 2.[2024巴中]如图，在△ABC中，D是AC的中 1.[2024湖南]如图，在△ABC中，D,E分别为边 点，CE⊥AB,BD与CE交于点O,且BE=CD. AB,AC的中点.下列结论中，错误的是(D) 下列说法错误的是 (D) 第1题图 第2题图 A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E C.BC=2DE D.S△AME= B.∠BDC=3∠ABD C.当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 (1)解：，AE是△ACD的中线，DE=4, D当E为AB中点时，=号 ,DC=2DE=8. AD是△ABC的中线， 3.[2024浙江]如图，D,E分别是△ABC的边AB, ..BC=2DC=16. AC的中点，连接BE,DE.若∠AED=∠BEC, (2)AD是△ABC的中线， DE=2,则BE的长为4· ..BD=DC. ,△ABD与△ACD的周长差为3， ..(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=3, ..AB-AC=3. ,△ABC的周长为37，BC=12, 第3题图 ∴.AB十AC=37-12=25, 4.[2024凉山州]如图，△ABC中，∠BCD=30°， .AC3+AC=25, ∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB AC-11. 的平分线，则∠AEB的度数是100 公情境提思维 综合提升员活远用知识 7.在△ABC中，若AB=5,AC=7,则中线AD的 长的取值范围是1<AD6. 8.规排探完[2024达州门如图，在△ABC中，AE1,BE 第4题图 分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分线，且 5.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角 平分线，若∠BFC=110°，则∠BCF=50 ∠EAD=专∠CAB,∠EBD=3∠CBD.在 △ABE中，AE,BE分别是内角∠EAB,外角 EBD的三等分线，且∠EAD=号∠EAB. ∠EBD=了∠EBD…以此规律作下去，若 第5题图 6.如图，在△ABC中(AB>AC),AD是△ABC的 ∠C=m,则∠E= 中线，AE是△ACD的中线. (1)若DE=4,求BC的长： (2)若△ABC的周长为37，BC=12,且△ABD D 与△ACD的周长差为3，求AC的长 第8题图 D E 第6题图 60 第17节 特殊三角形及其性质 【教材链接】八（上）第十三章P75~P84:八（下）第十七章P21~P39. 子一题多练过基础 1.冀教八上P143改编已知△ABC中，AB=BC 2.冀教八上P161改编如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，D为AC上一点，DE⊥AB, 垂足为E,且BE=BC,BD与 D CE相交于点F. 困明 图2 (1)若∠ABC=68°，则 第1题图 (1)若△ABC的两边分别为6和3，则△ABC的 ∠A=22°： 第2题图 周长为15； (2)若∠A=45°，AC=4,则AB= (2)如图①，点D在BC的延长线上，CD=AC 42,△ABC的周长为8十42，S△= ①若∠D=35,则∠B=40°； ②若∠CAD=30°，S△D=43,则△ABD的周 (3)当CD=1时，请回答下列问题： 长为62+26，Swm=2圆 ①若∠A=30°，则ED=1,∠DCF=30°， (3)如图②，点D在AC边上，E是AB边上的中 点.若AB=13,AC=24,DE⊥AB于点E,则 SD=s3 AC边上的高为5，DE= 65 24 ②若AC=2BC,则tanA= ,AC=3+1 子教材知识构体系 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形 图示 1.两直角边互相垂直 上.两直角边互相垂直 边 两腰相等 三边相等 2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分2.三边长的比为 别为a,b,斜边为c,则有a2+=c 1；1:2 1.两锐角均为45 每一个角都等 角 两底角相等 两锐角和等于90 2.两锐角和等于90° 于60° 3.两底角相等 1.30°角所对的直角边是斜边的一半 边角 等边对等角，等 直角三角形斜边上的 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 关系 角对等边 中线等于斜边的一半 一半 是轴对称图形， 是轴对称图形， 是轴对称图形，有1条 对称性 有1条对称轴 有3条对称轴 对称轴 61 情境试题分阶练 女情境夯基础 打牢根燕学提核心知识 5.数学文化[2024巴中]“今有方池一丈，葭生其中 1.[2024青海]如图，在Rt△ABC中，D是AC的中 央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几 点，∠BDC=60°，AC=6,则BC的长是(A) 何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即 AC=5,DC=1,BD=BA,BC= (C) 第1题图 第5题图 A.3 B.6 C.3 D.3w3 A.8 B.10 C.12 D.13 2.[2024陕西]如图，在△ABC中，∠BAC=90°， 6.[2024自贡]如图，等边三角形ABC钢架的立柱 AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接 CD LAB于点D,AB长12m.现将钢架立柱缩短 AE,则图中的直角三角形共有 C) 成DE,∠BED=60°，则新钢架减少用钢(D) 第2题图 第6题图 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.[2023武威]如图，BD是等边三角形ABC的边 A.(24-123)m B.(24-83)m AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧 C.(24-63)m mD.(24-4W3)m 交BC的延长线于点E,则∠DEC (C) 7.[2024云南]已知AF是等腰三角形ABC底边 BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点 F到直线AC的距离为 (C) A号 B.2 C.3 n号 第3题图 8.[2024安徽]如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2, A.20° B.25 C.30 D.35 点D在AB的延长线上，且CD=AB,则BD的 4.[2024凉山州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 长是 (B) DE垂直平分AB交BC于点D,连接AD,若 △ACD的周长为50cm,则AC+BC=(C) 第8题图 A.√10-√2 B.6-v2 D C.22-2 D.2w2-√6 第4题图 9.[2024湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为 A.25 cm B.45 cm C.50 em D.55 cm 40°，则它的顶角的度数为100°. 62 10.[2024内江]如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE= 方法应用 AC,BC=BD.则∠ACB的度数为100° (2)如图②@，在□ABCD中，BE平分∠ABC,交 AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长 线于点F,交BC于点G. ①图中一定是等腰三角形的有： 第10题图 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 11.[2024自贡]如图，在△ABC中，DE∥BC, ②已知AB=3,BC=5,求CF的长， ∠EDF=∠C (1)求证：∠BDF=∠A: (2)若∠A=45°，DF平分∠BDE,请说明 △ABC的形状. 图1 图2 第12题图 解：()△BDE的形状是等腰三角形.理由如下： :BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD 第11题图 :BC∥ED (1)证明：DE∥BC, :∠EDB=∠CBD, ∴.∠C=∠AED :∠EDB=∠ABD, :∠EDF=∠C, ..EB=ED, ∴.∠AED=∠EDF, △BDE是等腰三角形 ∴.DF∥AC, (2)①B ∴.∠BDF=∠A. ②同I中方法可得∠ABE=∠EBG=∠AEB, (2)解：∠A=45, AE-AB=3. .∠BDF=45 .AFLBE, ,DF平分∠BDE ∠BAF=∠EAF ,.∠BDE-2∠BDF=90 ,BC∥AD, DE∥BC, ∴.∠EAG=∠AGB, ∴∠B=90, ∠BAF=∠AGB, ∴，△ABC是等腰直角三角形 ∴GB=AB=3. 令情境提思维 综合提升灵活运用知识 :AB∥FD, 12.[2024江西]追本湖源 .∠BAF=∠CFG. 题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提 ,∠AGB=∠CGF, 炼方法并完成题(2). ,∠CGF=∠CFG, (1)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC,交 ..CG=CF. AC于点D,过点D作BC的平行线，交AB于 CG=BC-BG=2, 点E,请判断△BDE的形状，并说明理由： .CF=2 63 提分专项2与中点有关的辅助线作法 类型刀构造中位线 学法点拨 1.如图，在△ABC中，E,F分别为BC,AC的中点，D为AB边上一点 1.构造中位线 且DF∥BC.若AB=7,BC=3,则四边形DBEF的周长为(A) 过点D作 D DE∥BC A.10 B.5 c号 D.15 作DFA 图① 年AE∥D 第1题图 第2题图 图② 2.如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=4,BC=6,M为BC边的中 点，P为CD边上一动点.若E,F分别为AP,MP的中点，则线段 EF的长为 (B) A.5 B号 C.13 3.如图，以△ABC的两边AB,AC分别向外作正方形ABDE和 ACFG,取BE,BC,CG的中点M,Q,N,连接MQ,QN,MN.求证： MQ-QN. 第3题图 第3题答图 证明：如答图，连接BG,CE, ,四边形ABDE和四边形ACFG均为正方形， ∴.AB=AE,AC=AG,∠EAB=∠GAC ∴.∠EAB+∠EAG=∠GAC+∠EAG, .∠BAG=∠EAC AB=AE, 在△BAG和△EAC中， ∠BAG=∠EAC, AG=AC, .△BAG≌△EAC(SAS),∴.BG=EC BE,BC,CG的中点分别为M,Q,N ∴.MQ,QN分别为△BEC,△CBG的中位线， ∴MQ-EC,QN=2BG,MQ-QN 6