3.第三章 函数(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学课堂讲练本

第三章 i 函数 第10节 平面直角坐标系与函数 【教材链接】七（下）第七章P63~P86;八（上）第十三章P69~P72;八（下）第十九章P70~P85;九（上）第 二十三章P68~P69. 季一题多练过基础 华师八下P35改编在平面直角坐标系xOy中，已(5)点P关于x轴对称的点的坐标为(2,1) 知点P的坐标为(2，一1).完成下列问题： 点P关于y轴对称的点的坐标为（一2，一1）； (1)点P在第四象限，线段OP的中点坐标 (6)点A(m,n)与点P关于原点对称，则点B(m十 为(1，》； n,m一n)在第三象限： (7)点P关于直线x=一2对称的点的坐标为 (2)点P到x轴的距离为1，到y轴的距离 (一6，一1)，点P关于直线y=1对称的点的 为2，到原点的距离为5 坐标为(2,3) (3)若点P1(2十m,一1一m)在第一、三象限的角平 (8)将点P先向右平移2个单位长度，再向上平移3 分线上，则m= 个单位长度后得到点Q,则点Q的坐标为(4,2)， (4)若点N(m,5-m),PN∥y轴，则m=2■ 线段PQ=13· 受教材知识构体系 各象限内：第一象限（十，十）：第二象限（一，十）：第三象限（一，一）：第四象限（十，一） 坐标轴上：点在x轴上：①y=0:点在y轴上：②x一0：原点坐标：③(0,0) 各象限角平分线上：点在第一、三象限角平分线上：y=④x: 点在第二、四象限角平分线上：y=⑤。一x 与坐标轴平行的直线上：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同： 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同 点的坐 标特征 【知识拓展】(1)若点(，x2)为平面直角坐标系中任意一点，则点(x,x2)关于直线x m对称的点的坐标为(21一，x2):关于直线y=n对称的点的坐标为(，2n一x2): 平面直角 (2)中点坐标公式：若A(x1,y1),B(x2,2)为平面直角坐标系内任意两点，则线段 坐标系与 函数 AB的中点坐标为（任士，”士”）： (3)沿坐标轴进行平移：沿轴进行左右平移，纵坐标不变，横坐标根据“左减右加”变 化：沿y轴进行上下平移，横坐标不变，纵坐标根据“上加下减”变化 (1)点P(a,b)到x轴的距离为⑥b,到y轴的距离为a,到坐标系原点的距 离为⑦/a十 点的距 (2)平行于x轴的直线l1上的两点P(x1,y),P2(x2,y)间的距离PP2=x1一x2: 离特征 平行于y轴的直线l2上的两点Q(x,y1),Q2(x,y2)间的距离QQ=|y一y2 (3)坐标系中任意两点P(1y),P2(2,2)间的距离为PP=、(1一2)+(y一 26 函数的表示方法：列表法，解析式法，图象法 函数图象的表示步骤：①列表；②描点；③连线 函数自变量的取值范围： 平面直 函数表达式的形式 自变量的取值范围 函数 2 坐 的相 分式型y=合如y= x-3 x≠3 关概 二次根式型y=√A,如y=√x一3 x≥3 系与函 念 x-3 x≥0且x≠3 分式十二次根式型 A如yx3 y= x>3 季情境试题分阶练 李情境夯基础 打牢根基掌烟核心细识 4.孿科，物理[2024江西]将常温中的温度计插入 一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数 1.[2024无锡]在函数y=v√x一3中，自变量x的取 值范围是 (D) y(℃)与时间.x(min)的关系用图象可近似表示 (C) A.x≠3 B.x>3 C.x<3 D.x>3 为 V/C 2.[2024贵州]为培养青少年的科学态度和科学思 维，某校创建了“科技创新”社团.小红将“科 O x/min 0 x/min O x/min O x/min “技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，并建 A B C D 立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为 5.传镜文亿[2024河北]扇文化是中华优秀传统文化 (一2,0)，(0,0)，则“技”所在的象限为(A） 的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某 折扇张开的角度为120时，扇面面积为S,该折 科 技 创 扇张开的角度为时，扇面面积为S,若m= 第2题图 S,则m与n关系的图象大致是 (C) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.[2024凉山州]匀速地向如图所示的容器内注水， 直到把容器注满.在注水过程中，容器内水面高 第5题图 度h随时间t变化的大致图象是 (C) 第3题图 6.[2024青海]化学实验小组查阅资料了解到：某种 絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉 降，从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂 的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说 27 法正确的是 (D) 9.[2024齐齐哈尔]在函数y= 10净水率/% 中中，自 4.60 8815 变量x的取值范围是x>一3且x≠一2 80 76.54 186.02 75.34 60 10.[2024龙东地区]在函数y=Y,中，自变量x x+2 401 的取值范围是x≥3. 202.48 情境提思维 00.10.20.30.40.50.6体积/mL 综合提升是语透用知识 第6题图 11.跨学科·物理[2024河南]如图①，把多个用电器 A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 连接在同一个插线板上，同时使用一段时间 B.未加入絮凝剂时，净水率为0 后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐 C.絮凝剂的体积每增加0.1mL,净水率的增加 患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到 量相等 时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用 D.加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到 电器的总功率P的函数图象（如图②），插线板 76.54% 电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图 7.[2024威海]同一条公路连 +y/km ③).下列结论中错误的是 (C) 40 接A,B,C三地，B地在 A,C两地之间.甲、乙两 20 O/ 车分别从A地、B地同时 O1234x/ 出发前往C地.甲车速度 第7题图 440P/W 图① 图② 图③ 始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行 第11题图 驶.如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时 A.当P=440W时，I=2A 间x(h)的函数关系.下列结论正确的是(A) B.Q随I的增大而增大 A.甲车行驶h与乙车相遇 C.I每增加1A,Q的增加量相同 D,P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 B.A,C两地相距220km 12.[2024聊城任取一个正整数，若是奇数，就将该 C.甲车的速度是70km/h 数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2.反 D.乙车中途休息36min 复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必 8.[2024甘孜州门如图，在一个平面区域内，一台雷 进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”. 达探测器测得在点A,B,C处有日标出现.按某 在平面直角坐标系xOy中，将点(x,y)中的x, 种规则，点A,B的位置可以分别表示为(1,90)， y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的 (2,240),则点C的位置可以表示为(3,30) 点的横、纵坐标，其中xy均为正整数.例如， 909 120° 60° 点(6,3)经过第1次运算得到点(3,10)，经过第 1509 C30 2次运算得到点(10,5)，以此类推.则点(1,4) A 180 0 经过2024次运算后得到点(2,1) 210 330 240 300 270° 第8题图 28 第11节 一次函数 【教材链接】八（下）第十九章P86~P109, 字一题多练过基础 北师八上P86改组在探究一次函数y=kx十b的图象与 “=”):若x≥6，则y的取值范围为y≤一11： 性质的过程中，x与y的几组对应值列出表格如下： (7)一次函数y,的图象与该一次函数的图象关于 -2 -1 0 1 2 3 x轴对称，则y的表达式为y=2.x一1；一次 5 31-1 -3 函数的图象与该一次函数的图象关于y轴对 称，则y2的函数表达式为2=2x+1,其图象 观察表格中的数据，请回答以下问题： (1)当x每增加1时，y的变化情况是y减小2： 经过第一、二、三象限； (2)该一次函数的表达式为y=一2x十1， (8)若该一次函数的图象沿x轴向左平移a个单 m的值为一5： 位长度得到正比例函数y的图象，则a=立· (3)该一次函数的图象与x轴的交点坐标为 函数为的表达式为y=一2x; (侵，0)，与y轴的交点坐标为@山 (9)若该一次函数的图象与正比例函数y=.x图 (4)根据表格中的数据，该一次函数的图象经过 象的交点为(3，p),则n的值为 第一二、四象限： (5)该一次函数的图象与坐标轴围成的图形的面 (10)设一次函数y=kx十b的图象与x轴，y轴的 交点分别为A,B,C为x轴上一动点.若△ABC是 积为 以AB为腰的等腰三角形，则点C的坐标 (6)A(xy),B(x2,y2)是该一次函数图象上的两 点，且x>x2,则y< (填“>”“<”或 为（20减25，o或25,0 南教材知识构体系 表达式 y=kx十(k,b为常数，且≠0.特别地，当=0时，y=x为正比例函数) >0,从左向右看，图象呈上升趋势，y k<0,从左向右看，图象呈下降趋势，y 增减性 随x的增大而①增大 随x的增大而②减小 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 -次 图象 一次 函数 名头 的图 函数 经过象限③一、二、三 一、三 二、四 象与 一、三、四④一、二、四 ⑤二、三、四 性质 令⑥y=0,求对应的x值，交点坐标为（一名，0）：令⑦工=0，求对应的 与坐标轴 的交点 y值，交点坐标为图(0，b),正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过坐标系的 ⑨原点 【知识拓展】在同一平面直角坐标系中，对于直线l:y=k1x十b与直线l2:y2=k2x十 b2(b1≠b2),若l1∥l2,则k1=k2;若l1⊥2，则k1·k=一1 29 平移前的表达式 平移方式(m>0) 平移后的表达式 规律 一次函 向左平移m个单位长度 y=k(x十m)+b 左加 数图象 y=kx+b 向右平移m个单位长度 y=k(z-m)+b 右减 的平移 (k≠0) 向上平移m个单位长度 y=k.x十b+m 上加 向下平移m个单位长度 y=kr十b-m 下减 方法：待定系数法 (1)设出一次函数的表达式y=k.x十b(k≠0) 一次函数 (2)找到满足一次函数表达式的两个点，并将两点坐标代人函数表达式中，得到 表达式的 步骤 关于，b的二元一次方程组 确定 (3)解二元一次方程组，得到k,b的值 (4)确定一次函数的表达式 (1)与一元一次方程的关系：方程kx十b=0的解台一次函数y=kx十b的图象与 x轴交点的横坐标 次与一次方程（组）(2)一次函数与二元一次方程组的关系（如图①）：二元一次方程组 数 的关系 (y=kix+b. 的解=一次函数=kx+b1与y2=kx十2图象的交点坐 2=k2x十b2 标，即A(m,n) y y=k+b yi=k x+b (m,0) Y=kx+b 图① 图② (1)如图①，不等式k1x+b1>kx十b的解集一函数y1=k1x十b1的图象在函数 3y一k2x十b的图象上方部分所对应的x的取值范围，即x>m (2)如图①，不等式k1x十b<kex十b的解集白函数y=k1x十b1的图象在函数 与一元一次 y2=k2.x十b2的图象下方部分所对应的x的取值范围，即x<m 不等式的关系(3)如图②，不等式kx十b>0的解集台函数y=k.x十b的图象位于x轴上方部分 (y>O)所对应的x的取值范围，即x>m (4)如图②，不等式kx十b0的解集台函数y=k.x+b的图象位于x轴下方部分 (y<O)所对应的x的取值范围，即x<m 李情境试题分阶练 会情境夯基础 打牢根基学报被心知识 A.-2 B.-1 C.0 D.1 1.[2024新疆]若一次函数y=k.x十3的函数值y随 2.[2024德阳]正比例函数y=k.x(k≠0)的图象如 x的增大而增大，则k的值可以是 (D) 图所示，则k的值可能是 (A) 30 A号 C.-1 D-3 经过A(3,6),B(0,3)两点，交x轴于点C,则 △AOC的面积为9· y=2r-3 第2题图 第4题图 第9题图 3.[2024山西]已知点A(x1,y),B(x2,y2)都在正10.[2024苏州]直线(：y=x一1与x轴交于点A, 比例函数y=3x的图象上，若<，则y与 将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线， y的大小关系是 (B) 则直线对应的函数表达式是y=/3.x一3， A.yy B.y1<2 11.[2024扬州]如图，已知一次函数y=k.x十b(k≠ C.y=y2 D.y1≥y2 O)的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点，若 4.[2024青海]如图，一次函数y=2x一3的图象与x OA=2,OB=1,则关于x的方程kx十b=0的 轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点是(A 解为 x=一2 A20) B侵o C.(0,3) D.(0,-3) 0 5.[2024长沙]对于一次函数y=2x一1.下列结论 第11题图 正确的是 (A】 12.[2024眉山]眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚. A.它的图象与y轴交于点(0.一1) 近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创 B.y随x的增大而减小 产品的销售，某商店用960元购进的A款文创 C当x>2时y<0 产品和用780元购进的B款文创产品数量相 D.它的图象经过第一、二、三象限 同每件A款文创产品进价比B款文创产品进 6.[2024呼伦贝尔]点P(x,y)在直线y= 价多15元 (1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多 上，坐标(x,y)是二元一次方程5x一6y=33的 少元： 解，则点P的位置在 (D) (2)已知A款文创产品每件售价为100元，B A.第一象限 B.第二象限 款文创产品每件售价为80元，根据市场需求， C.第三象限 D.第四象限 商店计划再用不超过7400元的总费用购进这 7.结论开效[2024自贡]一次函数y=(3m十1)x一2 两款文创产品共100件进行销售.问：怎样进 的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件 货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润 的m的值：1 是多少元？ 8.结论开救[2024宁夏]在平面直角坐标系中，一条 解：(1)设A款文创产品每件的进价是a元，则 直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形， B款文创产品每件的进价是(a一15)元 则该直线的解析式可能为y=x+1(写出一 个即可) 根据题意得960-780 aa-15' 9.[2024凉山州]如图，一次函数y=kx十b的图象 解得a=80. 31 经检验，4=80是原分式方程的解，且符合 脚长x(cm)…2324 25262728 题意， 身高y(cm)…156163170177184191… .a-15=65. (1)在图①中描出表中数据对应的点(x,y): 答：A款文创产品每件的进价是80元，B款文 (2)根据表中数据，从y=a,x十b(a≠0)和y 创产品每件的进价是65元 (2)设购进A款文创产品x件，则购进B款文 (k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地 创产品(100一x)件，总利润为W元 反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数 根据题意得80.x十65(100一x)≤7400， 的解析式（不要求写出x的取值范围）： 解得x≤60 (3)如图②，某场所发现了一个人的脚印，脚长 W=(100-80).x+(80-65)(100-x)=5.x+ 约25.8cm,请根据(2)中求出的函数解析式， 1500. 估计这个人的身高 ,k=5>0,W随x的增大而增大， y/cm 195 .当x=60时，利润最大，最大利润为5×60出 190 185 1500=1800. 180 答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产 175 170 品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最 16S 160 大利润是1800元 15 150 情境提思维 综合找升灵活运用知识 02223242526272829x/cm 13.琴学科·生物争[2024山西]生物学研究表明，某种 图① 图② 第15题图 蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长 解：(1)描出对应的点如答图， x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y y/em 与x之间的关系式为 (A 195 190 尾长x(cm) 6 8 185 180 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 115 170 A.y=7.5.x+0.5 B.y=7.5x-0.5 165 160 C.y=15. D.y=15.x+45.5 155 150 14.芩学科·物理[2024东营]在弹性限度内，弹簧的 02223242526272829x/cm 长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函 第15题答图 数.一根弹簧不挂物体时长12.5cm,当所挂物 (2)由答图可知脚长.x(cm)与身高y(cm)近似存 体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm,当所挂物 在一次函数关系，设函数解析式为y=ax十b 体的质量为5kg时，弹簧的长度为15_cm 将点(23,156)，(24,163)分别代入，得 15.[2024广州们一个人的脚印信息往往对应着这个 23a+b=156, a=7, 解得 人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集 24a+b=163, 6=-5, 了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数 ,这个函数的解析式为y=7x一5. 据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近 (3)当x=25.8时，y=175.6 似存在一个函数关系，部分数据如表： 答：估计这个人的身高为175.6cm. 32 第12节 反比例函数 【教材链接】九（下）第二十六章P1~P22 子一题多练过基础 霞教九上P37改缓已知反比例函数y=(k<O),则： 的图象交于点P(-2,1),则方程一x十m=的解 (1)该反比例函数的图象在第二、四象限，在 为x=一2或x=1:不等式-x十m>的解 每个象限内，y随x的增大而增大： (2)若该反比例函数的图象经过点A(3,一2) 集为x<-2或0<x<1； B(-1,a),则k=-6,a=6; (7)如图，在(2)的条件下，第四象限内反比例函数 图象的上方有一个正方形MNCD,其中N(4,0), (3)若点(a,b)在该反比例函数图象上，则（一a,一b) 点F在y轴上.连接CF,NF,则△CNF的面积 在（填“在”或“不在”）该反比例函数图象上： (4)(1,y),(一1，y2),(一3，y)是该反比例函数图为3 ,正方形MNCD的边长为 2 象上的三个点，则y,y2,y的大小关系为 ≤2（用“<”连接）： (5)(x1,一2)，(x2,4),(x3,3)是该反比例函数图象 上的三个点，则x1,x2,x3的大小关系为 x(用“>”连接)： (6)若一次函数y=一x十m的图象与该反比例函数 是教材知识构体系 定义：一般地，形如①3y一 (k为常数，k≠O)的函数叫做反比例函数.反比例函数的自变量 x不能为② 表达式 二(k为常数，k≠0) k>>0 k<0 反比例 图象 图 函数 象与 所在象限 第一、三象限(xy>0) 第二，四象限(xy<0) 质 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而③减小 在每一个象限内，y随x的增大而④增大 对称性 关于直线y=x或y=一x成轴对称，关于原点成中心对称 【抢分要点】因为正比例函数和反比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一平面直角 坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象若有交点，必有两个，且这两个交 点关于原点对称 33 如图，过反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点P(x,y)分别作x 轴，y轴的垂线PM,PN,垂足为M,N,所得矩形PMON的面积S ⑤PN·PM=|xy=⑥k k的几 常见的四种面积类型（点P,P关于原点对称）： 何意义 X.V 比例函 SAP=⑦ SAPB=⑧ SAPP=⑨k S△AwPp=⑩2k (1)设出反比例函数表达式y= E(k≠0) (2)找出反比例函数图象上一点P(a,b) 待定系数法 (3)将点P(a,b)代入反比例函数表达式得k=ab 表达式 (4)确定反比例函数的表达式y=吗 的确定 利用k的几何意义：题中已知面积时，考虑利用反比例函数比例系数k的几何意义，由面积 得到，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得到表的值，代入反 比例函数表达式即可 客情境试题分阶练 今情境夯基础 打牢根基家圾被心和识 5.[2024滨州]点M(,y)和点N(x2,y)在反比 1L[2021重庆B老]反比例函数y=一9的图象 例函数y一2+3(k为常数)的图象上，若 定经过的点是 (B) x1<0<x,则y1,y,0的大小关系为 (C) A.(1,10)B.(-2,5)C.(2,5) D.(2,8) A.y<y<0 ■B.y>2>0 2.[2024天津]若点A(x1,一1)，B(x,1),C(x,5) C.<0y D.y>0>y 都在反比例函数y=5 6.[2024泸州已知关于x的一元二次方程.x2+2x十 的图象上，则x1,x,x 的大小关系是 b=0无实数根，则函数y=kx与函数y=名 (B A.I<2< B.I<3< 的图象交点个数为 (A) C.<x< D.I<n< A.0 B.1 C.2 D.3 3.[2021安徽]已知反比例函数y=(k≠0)与一 7.[2024长春]如图，在平面直 角坐标系中，O是坐标原 次函数y=2一x的图象的一个交点的横坐标为 3,则k的值为 (A) 点，点A(4,2)在函数y= x A.-3 B.-1 C.1 D.3 (k>0,x>0)的图象上.将 第7题图 4.[2024大庆]在同一平面直角坐标系中，函数y一 直线OA沿y轴向上平移， k.x一k(k≠0)与y= 的大致图象为(C 平移后的直线与y轴交于点B,与函数y= x (k>0,x>0)的图象交于点C.若BC=5,则点 产平 B的坐标是 (B) A.(0,5) B.(0,3) C.(0,4) D.(0,2V5) 31 8.[2024苏州]如图，A为反比例函数y=一1(.x< 10.[2024德阳]如图，一次函数y=一2x+2与反比 0)图象上的一点，连接AO,过点O作OA的垂 例函数y=(x<0)的图象交于点A(-1,m). 线与反比例函数y=4(x>O)的图象交于点B, (1)求m的值和反比例函数y=的表达式： 则哈品的值为 (2)将直线y=一2.x十2向下平移h个单位长 (A) 度(h>0)后得直线y=a.x十b,若直线y=a.x十 6与反比例函数y=(<0)的图象的交点为 B(n,2),求A的值，并结合图象求不等式< 第8题图 ax十b的解集. c 9.[2024湖北]如图，一次函数y=x+1的图象经 第10题图 过点A(-3,0),交反比例函数y=的图象于 解：(1)：点A(一1，m)在直线y=一2x+2上， 点B(n,4). .m--2×(-1）+2=4,.A(-1,4) (1)求m,n,k: 反比例函数的图象经过点A,,k=一4， (2)点C在反比例函数y=第一象限内的图象 反比例函数的表达式为y=一4 上，若S△x<S△w,直接写出点C的横坐标a (2点B,2)在反比例函数y=一的图 的取值范围. 象上， 4=2,解得n=2,∴B(-2,2), 将直线y=一2x十2向下平移h个单位长度得 到新直线的表达式为y=一2.x十2一h. 第9题图 ,点B(-2,2)在直线y=-2x十2-h上， 解：(1)由题意得点A在一次函数图象上，点B .-2×(-2)+2-h=2,解得h=4. 为一次函数图象与反比例函数图象的交点， 根据图象可知，不等式<ar十6的解集为 .-3十m=0,n十m=4,k=4n, x<-2 解得m=3,n=1,k=4. 11.[2024江西]如图，△AOB是等腰直角三角形， (2)SY<SL8, ∴，点B到x轴的距离大于点C到x轴的距离， ∠ABO=90°，反比例函数y=(k>0,.x>0) ∴点C位于点B的右侧： 的图象经过点B,过点A(4,0)作x轴的垂线交 点B的横坐标n=1, 双曲线于点C,连接BC. ∴a>l. (1)点B的坐标为 35