2.第二章 方程与不等式（组）（14元）(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学课堂讲练本

第二章方程（组）与不等式（组） 第6节一次方程（组）及其应用 【教材链接】七（上）第三章P77~P112:七（下）第八章P87~P112. 令一题多练过基础 北师七上P133改编观察下列等式并填空。 (4)下面是小芳解关于x,y的二元一次方程组 ①2x-3=5:@1-背=2：832=y+3: 2.x-3y=5, 的过程 x+3y=1 ④x+3y=1:⑤x+a=-1;⑥3(x-1)=2x. 2x-3y=5,① (1)以上方程是一元一次方程的是②③⑥（填 解： x+3y=1,② 序号)： ①+②得2x十x=5+1, (2)方程1-号=2的解是x=-3,方程2 2 解得x=2, y十3的解是y=一1； 将x=2代人①，解得y=★， (3)若方程.x十a=-1与方程1- =2的解相同， 则小芳在解方程的过程中所用的方法为加减 消元法，★代表的数为 则a=2； 1 3· 李教材知识构体系 性质1：如果a=b,那么a士c=①b士c 等式的性质 性质2：如果a=b,那么ac=②b 性质3：如果a=b,那么“=③ (c≠0) 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是④1的整式方程 般形式：ax十b=0(a,b是常数，且a≠0) 一元一次 (1)去分母：方程两边同乘各分母的⑤最小公倍数，注意不要漏乘不含分母 一次方 方程及其 的项 程（组】 解法 (2)⑥去括号：注意括号前系数的符号 解 及其 (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，注 应用 骤 意移项时一定要改变符号 (4)合并同类项：把方程化成.x=一b(a≠0)的形式 (⑤)系数化为1：方程两边都除以未知数的系数α，得到方程的解为x=⑦一 代入消元法：适用于方程组中某一个未知数的系数是1或一1，或者一 个方程的常数项为0 二元一次方程组的解法 加减消元法：适用于方程组中相同未知数的系数相同或互为相反数或 成整数倍 12 三元一 概念：一个方程组含有⑧三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是⑨1，并 次方程 且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组 消元 组及其解三元一次方程组的基本思路：三元一次方程组 消元 (代人或加减) 二元一次方程组 (代入或加减) 方 解法 一元一次方程 利润问题：利润=售价一⑩进价：利润率=① 利润 进价 ×100% 一次方程（组） 工程（工效）问题：工作量一工作效率×工作时间 应 实际应用的常 用 路程=速度×时间 见问题及关系式 行程问题 水中航行问题：顺水速度=静水速度②十水速： 逆水速度=静水速度⑧一水速 情境试题分阶练 情境夯基础 打牢根基学姐被心知识 5.[2024新疆]解方程：2(x一1)一3=x. 1.[2023海南]若代数式x十2的值为7，则x的值 解：去括号，得2x一2一3=x 为 (C 移项，得2x一x=2十3， A.9 B.-9 C.5 D.-5 合并同类项，得x一5， 2.[2023眉山]已知关于x,y的二元一次方程组 [x+2y=3, 6.[2024广西]解方程组： x-2y=1. 3.x-y=4+1, 的解满足x一y=4,则m的值 x+y=2m一5 x+2y=3,① 解 为 (B) x-2y=1.② A.0 B.1 C.2 D.3 ①+②得2x=4,解得x=2 3.[2023衡州]下列各组数满足方程2x十3y=8的 将x=2代入①，解得y= 是 (A x=2, A.f=1 x=2 方程组的解为 y=2 2 x=-1 t=2 7.[2024威海节选]定义：我们把数轴上表示数a的 C. D. y=2 y=4 点与原点的距离叫做数a的绝对值.数轴上表 4.[2023德阳]在初中数学文化节游园活动中，被称 示数a,b的点A,B之间的距离AB=a一b(a≥ 为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格” b).特别地，当a≥0时，表示数a的点与原点的 游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经 距离等于a一0.当a<0时，表示数a的点与原 填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个 点的距离等于0一a. 数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 应用：如图，在数轴上，动点A从表示一3的点 3个数之和分别相等，且均为m.王小明抽取到 出发，以1个单位长度/秒的速度沿着数轴的正 的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识， 方向运动.同时，动点B从表示12的点出发，以 很快就完成了这个游戏，则m=39· 2个单位长度/秒的速度沿着数轴的负方向运 动.经过多长时间，点A,B之间的距离等于3个 单位长度？ 4 A 12 第4题图 第7题图 13 解：设经过x秒，点A,B之间的距离等于3个单 解：设坡路的长度为xkm,则平路的长度为 位长度。 (得)km, 由题意得引(-3+x)-(12-2x)=3, 解得x=4或x=6. 根据题意得一-号-号，解得一 答：经过4秒或6秒，点A,B之间的距离等于3 个单位长度 4品-)= x2-3xy-4y2=0,① 8.[2024上海]解方程组： 甲地到乙地全程是引+号-(km), 5 x+2y=6.② 解：由①得(x-4y)(x+y)=0, 答：甲地到乙地全程是km .x-4y=0或x十y=0 11.[2024泸州]某商场购进A,B两种商品，已知购 即x=4y或x=一y 进3件A商品比购进4件B商品费用多60 把x=4y代入②，得4y十2y=6, 元：购进5件A商品和2件B商品总费用为 解得y=1,即x=4: 620元. 把x=-y代入②，得-y+2y=6, (1)求A,B两种商品每件进价各为多少元： 解得y=6,即x=-6, (2)该商场计划购进A,B两种商品共60件，且 =4,2=一6， ∴，方程组的解是 购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍. y=1,=6 若A商品按每件150元销售，B商品按每件80 情境提思维 综含提升灵活远用知识 元销售，为满足销售完A,B两种商品后获得的 9.[湘教七（下）P19第7题改编]某校历史社团组织 总利润不低于1770元，则购进A商品的件数 学生外出参观博物馆，计划将学生分若干小组 最多为多少 管理，每个小组由一辆客车送达.若每辆客车运 解：(1)设A商品的进价是x元/件，B商品的 送12名学生，则剩余5名学生：若每辆客车运送 进价是y元/件.■■ 15名学生，则最后一辆客车只需运送8人.求此 3x一4y=60, 由题意得 次安排的客车数量. 5u+2y=620, 解：设此次安排的客车数量为x辆，学生为y名 x=100, 解得 12.x+5=y y=60. 由题意得 15(x-1)+8=y, 答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价 x=4, 是60元/件 解得 y=53. (2)设购进m件A商品，则购进(60一m)件B 答：此次安排的客车数量为4辆 商品 10.[人教七（下）P102第6题改编]从甲地到乙地有 由题意得 一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走 60-n≥21m, 3km,平路每小时走4km,下坡每小时走7km, (150-100)m+(80-60)(60-m)≥1770， 那么从甲地到乙地需品h,从乙地到甲地需 解得19≤m20, .m的最大值为20. 高人甲地到乙地全程是多少？ 答：购进A商品的件数最多为20件， 第7节一元二次方程及其应用 【教材链接】九（上）第二十一章P1~P26. 字一题多练过基础 华师九上P46改编已知关于x的方程(m一1)x2一 解得x=7,=一1 2(m+1)x+m-9=0. ③因式分解法 (1)若该方程为一元二次方程，则m的取值范围 解：当m=2时，原方程可化为x一6x一7=0， 为m≠1； 因式分解，得(x-7)(x十1)=0， (2)当m=2时，请分别用下列方法解方程. .x-7=0或x+1=0, ①公式法 解得x1=7,x2=一1. 解：当m=2时，原方程可化为x2一6x一7=0 ,6-4ac=(-6)8-4×1×(-7)=64>0, （(3)若x=昌是该一元二次方程的一个根，则m的 ,方程有两个不相等的实数根， 值为9，方程的另一个根是x=0: (4)当m=一1时，该一元二次方程根的个数为0： ,=6,6=7,-6-y6 2 2 (5)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ②配方法 m的取值范围是加>3且m≠1：若该一元二 解：当m=2时，原方程可化为x2一6一7一0 移项，得x”一6x=7, 次方程有两个相等的实数根，则m的值为 配方，得x2-6.x十9=7+9 若该一元二次方程没有实数根，则m的取值范围 整理，得(x-3)=16, 开方，得x一3=士4， 是m<号 季教材知识构体系 概念：只含有①一个未知数，并且未知数的最高次数是②2的整式方程 一般形式：a.zx2十bx十c一0(a,b,c为常数，a≠0) 直接开平方法 因式分解法 元 解法 公式法：求根公式为工=b士ac(6一4ac≥0) 2a 方 配方法 及其应 ③△>0台方程有两个不相等的实数根 根的判别式（△=b一4ac)④△=0台方程有两个相等的实数根 ⑤△<0台方程无实数根 根与系数的关系：若一元二次方程ax十bx十c=0(a≠0)的两个根为1m,则十=⑥一 x1x2=⑦ 15 平均增长率问题：增长率 增长量×100% 基础量 利润问题：利润=售价一进价：利润率=利×100% 进价 元 实际应用中 单循环问题：游戏次数=⑧ 2x(x-1) 循环问题（设参加游戏的人数为x) 次 的常见问题 双循环问题：游戏次数=⑨x(x一1】 及关系式 程 如图①，阴影区域的宽为x,则S自=0(a-2x)(b-2x】 其 如图②，阴影区域的宽为x,则S空白=①(a一x)(b一x) 如图③，阴影区域的宽为x,则S空=②(a一x(b-x) 用 图形面积问题 图① 图② 图 奇情境试题分阶练 位情境夯基础 打宋根基 学姐枝他识 x十a一4=0的一个根是x=0,则a的值为(A) 1.[2024自贡]关于x的方程x2+十mx一2=0根的 A.2 B.-2 情况是 C.2或-2 n号 A.有两个不相等的实数根 6.[2024河北]淇淇在计算正数a的平方时，误算成 B.有两个相等的实数根 a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则 C.只有一个实数根 (C) D.没有实数根 B.2-1 2.[2024贵州门一元二次方程x2-一2x=0的解是(B) C.w2+1 D.1或2+1 A.x1=3,x2=1 B.x1=2.x2=0 7.[2024牡丹江]一种药品原价每盒48元，经过两 C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同， 3.[2024广安若关于x的一元二次方程(m十1)x2 则每次降价的百分率为 (C) 2.x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值 A.20% B.22% C.25% D.28% 范围是 (A) 8.新定义[2024宿迁规定：对于任意实数a,b,c,有 A.m<0且m≠-1 B.m≥≥0 【a,b】★c=ac十b,其中等式右面是通常的乘法 C.m≤0且≠-1 D.m<0 和加法运算，如【2,3】★1=2×1十3=5.若关于 4.[2024乐山]若关于x的一元二次方程x2+2x十p=0 x的一元二次方程【x,x十1】★(m.x)=0有两个 的两根为m,且上+1=3，则力的值为(A) 不相等的实数根，则m的取值范围为 (D) A-号 B号 C.-6 An< B.m D.6 5.[2024凉山州们若关于x的一元二次方程(a十2).x2+ Cm>且m0 Dm<且m≠0 16 9.[2024巴中]已知方程x2一2x十k=0的一个根为 此时c=8±，厘=4士3，x不是整数根， 一2，则方程的另一个根为4· 2 10.[2024聊城]若关于x的方程4x2一2x十m=0 舍去 综上所述，k的值为2， 有两个相等的实数根，则m的值为}。 15.[2024遂宁]已知关于x的一元二次方程x2一 11.[2024烟台]若一元二次方程2x2-4.x-1=0的 (m十2)x十m-1=0. 两根为m,n,则3m2一4m十n的值为6 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等 12.[2024齐齐哈尔]解方程：x2-5x十6=0. 的实数根： 解：分解因式，得(x-2)(x3)=0, (2)如果方程的两个实数根为，，且十x .x-2=0或x-3=0, x1x2=9,求m的值. 解得x1=2,x2=3. (1)证明：x2-(m+2)x十m-1=0, 13.[2023无锡]解方程：2x2+x-2=0. .a=1,b=-(m十2)，c=m-1, 解：a=2,b=1,c=-2, .△=-4a0 .△=b-4aG =[-(m+2)]-4×1×(m-1) =1°-4×2×(-2) =7m+8. =17>0, m≥0，△0， ,方程有两个不相等的实数根 “,无论m取何值，方程都有两个不相等的实 “x=二b士/4ac=-1士7 数根 2a 4 (2)解：方程x2一(m十2)x十m一1=0的两 ∴x,=-1+1 ,=1 个实数根为1，， 14.[2024南充]已知，x是关于x的方程x2 .x十=+2,220=一1. 2k.x十k2一k十1=0的两个不相等的实数根. x什-x=9, (1)求k的取值范围： 即（十）3-9， (2)若k<5,且k,x,x2都是整数，求k的值. .(m+2)-3(m-1)=9, 解：(1)方程有两个不相等的实数根， 解得m=一2，=1，.m的值为一2或1. .△=(-2k)P-4×1×(k-k+1)=4k-4>0, 16.[2024西藏]某商场响应国家消费品以旧换新的 解得>1. 号召，开展了家电惠民补贴活动.四月份投人 (2)由(1)知1<k5且k为整数， 资金20万元，六月份投人资金24.2万元，现假 .的值可取2,3,4 定每月投入资金的增长率相同. 当k=2时，方程为x一4x+3=0, (1)求该商场投入资金的月平均增长率； 解得x1=1,=3. (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投人 当k=3时，方程为x2-6.x十7=0， 资金将达到多少万元？ 解：(1)设商场投入资金的月平均增长率为x, 此时x=6y8-3士2，x不是整数根，舍去 2 依题意得20(1十x)=24.2, 当k=4时，方程为x2-8x十13=0， 解得x=0.1=10%,x=一2.1（不符合题意， 17 舍去) 2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人 答：商场投入资金的月平均增长率为10%， 数最多是多少万人？ (2)24.2×(1十10%)=26.62（万元） 解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平 答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62 均增长率为x无 万元 由题意得1.6(1十x)=2.5, ②情境提思维 综合提升灵活运用知识 解得=25%，=一（不符合题意，舍去）. 17.[2024通辽]如图，小程的爸爸用一段10m长的 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长 铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m)的矩形 率为25%. 鸭舍，其面积为15m,在鸭舍侧面中间位置留 (2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人 一扇1m宽的门（由其它材料制成），则BC长 由题意得2.125十10u≤2.5(1十25%)，解得 为 (C a≤0.1. 0 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是 0.1万人 20.[北师九（上）P54例2改编]某商品的进价为每件 第17题图 20元，当售价为每件30元时，每月可卖出180 A.5m或6m B.2.5m或3m 件，该商品每件售价（元）与月销售量（件）满足 C.5 m D.3m 的函数关系式如表所示.已知该商品计划涨价 18.[2023伊春]如图，在长为100m,宽为50m的矩 销售，但每件售价不能高于35元.设每件商品 形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的 的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为 部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m, 元. 则小路的宽是 每件售价（元） 30 31 32 30+x 月销售量（件） 180 170 160 y (1)上述表格中，y (用含x的代 第18题图 数式表示)： A.5 m B.70m (2)若销售该商品每月所获利润为1920元，那 C.5m或70m D.10m 么每件商品的售价应上涨多少元？ 19.[2023郴州]随旅游旺季的到来，某景区游客人 解：(1)-10.x+180 数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月 (2)由题意得w=(30-20+x)(一10x+180) 份游客人数为2.5万人. =-10x2+80x+1800. (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增 令u=-10.x”+80x+1800=1920, 长率； 即x一8.x+12=0(0≤x≤5，且x为整数)， (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长， 解得x=2或x=6. 但增长率不会超过前两个月的月平均增长率。 0≤x5,.x=2 已知该景区5月1日至5月21日已接待游客 答：每件商品的售价应上涨2元 第8节 分式方程及其应用 【教材链接】八（上）第十五章P149~P159. 一题多练过基础 北师八下P131改编观察下列式子： B.去分母，得2(x一1)+3(x+1)=6 C.解整式方程，得x=1 3-x D.原方程的解为x=1 (④求方程，3的解。 (1)上述式子中，是分式方程的是①③①，其 解去分母，得3x=x一3， 中原分式方程有增根的是①（填序号）： 移项，得3r一x=一3， (2)解方程3一23十去分母时，方程两边要同 合并同类项，得2x=一3， 乘x一3，变形后的方程是1一2(23)=一1； 系数化为1，得=3 2 （③)解分式方程十，分以下四步 检验：当- 时，x(x-3)≠0， 其中错误的一步是 A.最简公分母是(x十1)(x一1)》 多是原分式方程的解 琴教材知识构体系 概念：①分母中含有未知数的方程 解整式 解法步骤：分式 上分母 整式方程 检验 最简公分世为0一a是方程的3增根 方乘2显简公分母方程 -x-d +xa是方程的解 最简公分母不为 分式方 增根：去分母后的整式方程的根，也是使得原分式方程分母为0的根 【抢分要点】分式方程无解有两种情况：(1)去分母后的整式方程无解：(2)去分母后的整式方程 程及其 有解，但解是增根，故分式方程无解 应用 购买（销售）问题：数量=总价 单价 常见类型行程问题：时间一速度 路程 分式方程的 实际应用 工程问题：工作时同-雅爱馨辈，有时可将工作总量记为单位 解题步骤：实际问题 找等量关系」 设未知数 列分式方程一→解方程一→双检验一→答 19 情境试题分阶练 女情境夯基础 打宋根基掌提核之知识 7.[2023凉山州]解方程：千1一2 1.[2024哈尔滨]方程1 4十2的解是 (C) 解：去分母，得x(x-1)=2, A.x=0 B.x=-5C.x=7 D.x=1 去括号，得x一x=2, 移项，得x2一x一2=0， 1 2.[2024济宁]解分式方程1 3x-1 2-6x时， 因式分解，得(x一2)(x十1)=0， 去分母变形正确的是 (A) 解得x=2或x=一1. A.2-6.x+2=-5 B.6x-2-2=-5 检验：当x=2时，x2一1≠0， C.2-6.x-1=5 D.6.x-2+1=5 ∴x=2是原分式方程的解 3.[2024齐齐哈尔]如果关于x的分式方程 当=1时，x一1=0， 1是原分式方程的增根， 71 =0的解是负数，那么实数m的取值范围 x+1 ,原分式方程的解为x=2. 是 8.[2024大庆为了健全分时电价机制，引导电动汽 (A 车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电 A.m<1且m≠0 B.m< 价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00一 C.m>1 D.m<1且m≠-1 4[2024达树们若关于x的方程，2号无 23:00,用电低谷时段（简称谷时）：23：00一次日 7:00,峰时电价比谷时电价高0.2元/度.市民小 解，则k的值为2或一1· 萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时 5.[2024广州]解方程：2x-5 3 电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电 量与谷时用电量相等，求该市谷时电价 解：去分母，得r=6.x一15 解：设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电 移项、合并同类项，得 -5 价为(+0.2)元/度， 系数化为1，得x=3 根据题意得x十0.2x 5030 检验：当x=3时，x(2x-5)≠0， .原分式方程的解为x=3. 解得x=0.3. 经检验，x=0.3是原方程的解，且符合题意。 6[2021福建]解方程：z2十1= x-2 答：该市谷时电价为0.3元/度 解：去分母，得3(x-2)+(x+2)(x-2)=.x(z 令情境提思维 综合提升员话透用知识 +2), 9.[2024聊城]为提高生产效率，某工厂将生产线进 去括号，得3xr一6十x-4=x+2.x, 行升级改造，改造后比改造前每天多生产100 移项，得3.x十x2-x2-2.x=4十6， 件，改造后生产600件的时间与改造前生产400 合并同类项，得x=10. 件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数 检验：当x=10时，(x十2)(x一2)≠0， 为 (B) ∴.原分式方程的解为x=10. A.200 B.300 C.400 D.500 20 10.[2024新腰改编]某校计划租赁甲、乙两辆大巴 相同数量的B型节能灯，一年用电9600kW·h 汽车组织九年级学生去科技馆研学，两车与科 一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节 技馆的距离x(km)与行驶时间t(min)之间的 能灯每年用电量的2倍少32kW·h.求一盏 关系如图所示.已知乙车的速度是甲车速度的 A型节能灯每年的用电量， l.2倍，设甲车的速度为xkm/min,根据题意 解：设一盏B型节能灯每年的用电量为xkW,h, 可列方程 (B) 则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x s/km 32)kW·h 根据题意得2-92，解得=96 经检验，x=96是原方程的解，且符合题意， 1/min 第10题图 .2x-32=160. A2,-5 B20 20 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160kW·h x1.2.x 5 14.[2024雅安]某市为治理污水，保护环境，需铺设 c2”品 1D.20201 ~段全长为3000m的污水排放管道，为了减 x1.2.x12 少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时 11.[2024东营]水是人类赖以生存的宝贵资源，为节 每天的工效比原计划增加25%，结果提前15 约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月 天完成铺设任务. 1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原 (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米： 价的25%，小丽家去年5月份的水费是28元， (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人 而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家 的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资 今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少 为300元，所有工人的工资总金额不超过18万 3m.设该市去年居民用水价格为x元m.则 元.该公司原计划最多应安排多少名工人 可列分式方程为 2824.5 0十2%x3 施工？ 12.[2024扬州]为了提高垃圾处理效率，某垃圾处 解：(1)设原计划每天铺设管道xm,则实际每 理厂购进A,B两种机器，A型机器比B型机器 天铺设管道(1+25%).x=1.25.xm. 每天多处理40t垃圾，A型机器处理500t垃 根据题意得22十16=30，解得=0 圾所用天数与B型机器处理300t垃圾所用天 经检验，x=40是分式方程的解，且符合题意， 数相等，则B型机器每天处理多少吨垃圾？ .1.25x=50. 解：设B型机器每天处理xt垃圾，则A型机 答：原计划与实际每天铺设管道各为40m, 器每天处理(x十40)t垃圾， 50m 根据题意得0一，解得=60 (2)设该公司原计划安排y名工人施工 经检验，x=60是分式方程的解，且符合题意， 根据题意得3000÷40=75（天）， 答：B型机器每天处理601垃圾 ∴.300×75y180000,解得y8, 13.[2024威海]某公司为节能环保，安装了一批A y的最大整数值为8. 型节能灯，一年用电16000kW·h后购进一批 答：该公司原计划最多应安排8名工人施工 21