精品解析：江西省南昌市第三中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

南昌三中教育集团2024−2025学年上学期九年级数学期中测试 一、选择题：本题共6小题，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（ ） A. x＝5 B. x1＝5，x2＝2 C. x1＝1，x2＝2 D. x＝2 【答案】B 【解析】 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（x﹣2）2＝3（x﹣2）， 移项得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣2﹣3＝0， ∴x1＝5，x2＝2，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，将原方程进行因式分解，是解题的关键． 3. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案. 【详解】A：a=3，所以开口向上，故A错误； B：对称轴=4，故B正确； C：顶点坐标为(4，-2)，故C错误； D：当x<4时，y随x的增大而减小，故D错误； 故答案选择D. 【点睛】本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质. 4. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的顶点都在格点上．若是由ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（ ） A. (0，0) B. (0，﹣1) C. (1，﹣1) D. (1，﹣2) 【答案】D 【解析】 【分析】根据两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论． 【详解】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为(1,-2)． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转．解题的关键是理解两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 5. 《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把三角形的三边长代入面积公式，得出三角形的面积为，然后设这个三角形内切圆的半径为，再根据三角形的内切圆的半径垂直于三角形的三边，结合三角形的面积公式，得出，即，再把三角形的三边长代入面积公式，计算即可得出答案． 【详解】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3， ∴ ， 如图， 设这个三角形内切圆的半径为， 则， 即， ∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3， ∴， 解得：， ∴这个三角形内切圆的半径为． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆、求代数式的值、二次根式的运算，解本题的关键在正确求出代数式的值． 6. 如图，函数经过点，对称轴为直线：；；；；若点、在抛物线上，则；（为任意实数），其中结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象与轴有两个交点，即可判断； 根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； 根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，即可判断； 根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，推出，再代入，即可判断； 根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断； 对称轴为，，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， ， 正确； 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， 与异号，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ， 错误； 抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， ， 错误； 抛物线与轴的一个交点为， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， 正确； ， ， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ， 错误； 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ，有最小值， 为任意实数， 为任意实数， 正确； 综上所述，正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 请写出一个开口向上且经过原点的二次函数的解析式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质及二次函数的图象与系数的关系直接写出一个符合要求的函数解析式即可． 【详解】解：开口向上且经过原点的二次函数的解析式可为， 故答案为：（答案不唯一）． 8. 若一元二次方程有两个不相同的实数根，则实数的取值范围________. 【答案】且 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=（-2）2-4m＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得m≠0且△=（-2）2-4m＞0， 解得m＜1且m≠0． 故答案为m＜1且m≠0． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 9. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 【答案】（－1，－2） 【解析】 【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可． 【详解】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示： 在CB的垂直平分线上找到一点D， CD═DB=DA=， 所以D是过A，B，C三点的圆的圆心， 即D的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为（﹣1，﹣2）， 【点睛】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置． 10. 一种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列出方程____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑． 根据题意，得：， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解题的关键． 11. 若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为______． 【答案】﹣4 【解析】 【分析】与x轴的交点的家横坐标就是求y=0时根，再根据求根公式或根与系数的关系，求出两根之和与两根之积．把要求的式子通分代入即可． 【详解】设y=0，则，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即，，∴， ∴ ，故答案为． 【点睛】根据求根公式可得，若，是方程的两个实数根，则 12. 如图，在中，斜边，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，的长为_____________． 【答案】3或6或 【解析】 【分析】进行分类讨论①当点P在上方时，，易得点P在上，，通过证明是等边三角形，即可求解；②当点P在下方时，延长交于点P，此时，通过证明是等边三角形，即可求解；③当时，先证明当为等边三角形，得出为中点，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，斜边，， ∴， ①当点P在上方时，， ∵，， ∴点P在上，， ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ②当点P在下方时，延长交于点P，此时， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ③当时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴为中点， ∴， 根据勾股定理可得：， 综上：的长为3或6或． 故答案为：3或6或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的特征，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等；等边三角形三个角都是60度，三条边相等；含30度角的直角三角形，30度所对的边是斜边的一半． 三、简答题：本题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 即或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键． 14. 如图，为的直径，弦于点E，若，，求半径的长． 【答案】的半径为5． 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理．连接，设的半径为，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ∵，为的直径， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 则的半径为5． 15. 已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）；（2）证明：∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值； （2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 【详解】解：（1）根据题意，将x=1代入方程， 得：， 解得：m=． （2）略 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，点的坐标为． 【解析】 【分析】此题考查了中心对称和旋转的作图，以及写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）找到关于原点成中心对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到绕点顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到，然后写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设这个菜园垂直于墙的一边长为，菜园的面积为S（单位：）． （1）求S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）填空：垂直于墙的一边长为_________时，这个菜园的面积最大？最大面积为_________． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）根据长方形的面积公式即可求得S与x的函数关系式； （2）根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值． 【小问1详解】 解：若垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴矩形的面积， 由题意得，解得 自变量x的取值范围为：． ∴S与x的函数解析式． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，面积最大，最大面积为； 即垂直于墙的一边长为时，这个菜园的面积最大，最大面积为． 故答案为：，． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　． 【答案】（1），；； （2） 如图： ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象； （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是，， 令，解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是； ∵， ∴该二次函数图象顶点坐标为； 故答案为：，；；． 【小问2详解】 解：列表： 描点，连线可得图象； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，． 故答案为：． 19. 如图，已知为的直径，D是上的一点，且点C是的中点，过点C作直线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）连接，过点O作于F，延长交于M，若B为的中点，半径为4，求的长． 【答案】（1）证明：连接，交于点S， ∵为的直径， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点S，证明四边形是矩形，从而可得结论； （2）证明，，结合三角形的外角的性质可得：，再求解，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点O作于F，延长交于M， ∵B为的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵半径为， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，圆的切线的判定，熟练的运用圆的基本性质与圆中基本定理是解本题的关键． 20. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． （1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【小问1详解】 解：设每次上涨的百分率为，列方程为： ， 解得：，（舍去）， 答：每次上涨的百分率为； 【小问2详解】 解：设销售单价降低元，销售利润为元， ， ∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元． 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）． … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 6 3 2 3 3 6 … （2）描点并在图中画出函数的大致图象； （3）根据函数图象，完成以下问题： ①当函数的图象向下平移______个单位时，图象与轴有三个公共点； ②结合图象探究发现，当满足______时，方程有四个解． 【答案】（1），2； （2）描点确定函数图象如下： （3）①3，②2＜p＜3． 【解析】 【分析】（1）把x＝，1分别代入函数表达式即可求解； （2）描点确定函数图象； （3）根据函数图象性质即可求解． 【详解】解：（1）把x＝，1分别代入得， m＝，n=2； 故答案为，2； （2）略 （3）①观察图象可知，当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点； 故答案为：3 ②从图象看，2＜p＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝p有四个解； 故答案为：2＜p＜3． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，主要通过函数作图，确定函数的性质，依据函数的性质，确定函数与直线的位置关系，通过图象求解问题． 22. 如图，在中，，，过点作的垂线，垂足为，为线段上一动点（不与点重合），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与直线交于点． （1）依题意补全图形；并求出与的位置关系； （2）求证：点为的中点． 【答案】（1） 如图，连接，       ．过程如下： 将线段逆时针旋转得到线段， ，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：，， ， ，，    ， ，， ，  ，  ，  ， ； ∴点为的中点． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转性质，相三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，根据将线段逆时针旋转得到线段，得出，，可证，得出，即可解答； （2）根据，，可得，可证，可得，得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为，此时 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设，则，， ∵轴， ∴轴，即， ∴是以、为顶点的菱形的边； 如图3-1所示，当为对角线时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，即轴， ∴点C与点N关于抛物线对称轴对称， ∴点N的坐标为， ∴， ∴； 如图3-2所示，当为边时，则， ∵，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-3所示，当为边时，则， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-4所示，当为边时，则， 同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图3-5所示，当为对角线时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6所示，当为对角线时，设交于S， ∵轴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和为180度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌三中教育集团2024−2025学年上学期九年级数学期中测试 一、选择题：本题共6小题，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（ ） A. x＝5 B. x1＝5，x2＝2 C. x1＝1，x2＝2 D. x＝2 3. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 4. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的顶点都在格点上．若是由ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（ ） A. (0，0) B. (0，﹣1) C. (1，﹣1) D. (1，﹣2) 5. 《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，函数经过点，对称轴为直线：；；；；若点、在抛物线上，则；（为任意实数），其中结论正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 请写出一个开口向上且经过原点的二次函数的解析式：_______． 8. 若一元二次方程有两个不相同的实数根，则实数的取值范围________. 9. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 10. 一种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列出方程____________． 11. 若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为______． 12. 如图，在中，斜边，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，的长为_____________． 三、简答题：本题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 解下列方程： （1）； （2）． 14. 如图，为的直径，弦于点E，若，，求半径的长． 15. 已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 17. 如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设这个菜园垂直于墙的一边长为，菜园的面积为S（单位：）． （1）求S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）填空：垂直于墙的一边长为_________时，这个菜园的面积最大？最大面积为_________． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　． 19. 如图，已知为的直径，D是上的一点，且点C是的中点，过点C作直线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）连接，过点O作于F，延长交于M，若B为的中点，半径为4，求的长． 20. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）． … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 6 3 2 3 3 6 … （2）描点并在图中画出函数的大致图象； （3）根据函数图象，完成以下问题： ①当函数的图象向下平移______个单位时，图象与轴有三个公共点； ②结合图象探究发现，当满足______时，方程有四个解． 22. 如图，在中，，，过点作的垂线，垂足为，为线段上一动点（不与点重合），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与直线交于点． （1）依题意补全图形；并求出与的位置关系； （2）求证：点为的中点． 23. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $