精品解析：河南省洛阳市伊滨区2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷

2024-2025学年河南省洛阳市伊滨区八年级（上） 期中数学试卷及解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. “一片甲骨惊天下”，甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形； 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列各组图形中，表示线段是中边上的高的图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：线段是中边上的高的图是选项C． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 5，5，5 B. 5，5，10 C. 5，6，12 D. 3，4，7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边，据此逐一判断即可找到正确选项． 【详解】解：A、5，5，5满足三角形三边关系，符合题意； B、5，5，10因为，不满足三角形三边关系，不符合题意； C、5，6，12因为，不满足三角形三边关系，不符合题意； D、3，4，7因为不满足三角形三边关系，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握“任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边”是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 5. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形的内角和定理，角的和差关系求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选C． 6. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：B． 7. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定理或定理即可得． 【详解】解：在和中，已有， 要使，只需增加一组对应边相等或对应角即可， 即需增加的条件是， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选择：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 8. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，先分别求出顶角的大小，从而即可求出其底角的大小． 【详解】①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题意可知， ∴； ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题意可知， ∴． 综上可知这个等腰三角形的顶角度数为或， 故选：D． 9. 如图，，平分，D是上一点，过点D作交于点A，交于点F，已知，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，等角对等边，含角的直角三角形的性质，过点作，由角平分线的性质得，，结合，可知，，则，即可求解，根据角平分线的性质做辅助线得是解决问题的关键． 【详解】解：过点作， ∵平分，D是上一点，，，，， ∴，， 又∵， ∴，则 ∴，， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，，D为中点，E，F分别是，两边上的动点，且，下列结论：①；②的长度不变；③的度数不变；④四边形的面积为．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．证明即可判断得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 是等腰直角三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的， 故②错误； ， ， ， 故③正确； ， ， ， 故④正确． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 12. 如图是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是___________． 【答案】7点20分． 【解析】 【详解】试题分析：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象. 试题解析：实际时间时针位置为7与8之间，分针指向4，故此时的实际时刻是：7点20分． 考点：镜面对称． 13. 如图，小明从A点出发，前进6m到点B处后向右转，再前进6m到点C处后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 _____m． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 由于正多边形的外角和是，且每一个外角为， ， 所以它是一个正十八边形， 因此所走的路程为（m）， 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理以及正多边形的判定是解决问题的前提． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为_____． 【答案】2a+b=﹣1 【解析】 【详解】分析：根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得 再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系． 详解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上， 则P点横纵坐标的和为0， 故2a+b+1=0， 整理得：2a+b=−1， 故答案为 点睛：考查了角平分线的作法，掌握每个象限内点的坐标特征是解题的关键. 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点在的垂直平分线上，且，则点的坐标为________． 【答案】或 ##或 【解析】 【分析】分两种情况，结合全等三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 分两种情况： 如图所示，过点作于，于，则， ∴四边形是矩形，， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 在与中， ， ，， ，四边形是正方形， ，， ， ∴点坐标为． 如图所示，过点作于，于，则， ∴四边形是矩形，， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 在与中， ， ，， ，四边形是正方形， ，， ∴点坐标为． 综上可知点坐标为：或 ． 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的判定和性质，注意分类思想的运用，有一定的难度． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，． （1）请画出与关于y 轴对称的； （2）请写出点的坐标； （3）在x 轴上找出点P，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． (1 )利用轴对称变换的性质分别作出A，B， C的对应点即可； (2)根据图形可得三点的坐标； (3)作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图所示 【小问3详解】 如图，点P为所作． 17. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中， ，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法，进行作图即可； （2）连接，易得，根据等边对等角，推出，，进而得到，利用含度角的直角三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查尺规作垂线，中垂线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 19. 如图，、分别是的角平分线，过点O作交、于点、，的周长为16，长为8，求的周长． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义及等腰三角形的判定；利用已知给出的平行线及角平分线的性质可得到角相等，根据等角对等边的性质可得线段相等，进行等量代换周长可得． 【详解】解：如图所示： ， ． 又是的平分线， ． ． 于是． 同理，． 的周长为： ; ∵长为8， ∴的周长为：． 20. 如图，已知．试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】解：结论：， 理由：如图，设与交于点O，Q， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度为，已知，于点D，于点E． （1）求证：； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【答案】（1） 证明：根据题意得， ∵于点D，于点E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点B到水平距离，于点D， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴小丽所在公园的秋千高度设置合理． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由同角的余角相等得到，根据即可证明； （2）由得到，据此计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 执“规”“矩”等分已知角 《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序，我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角． 要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？ 办法1 ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线． 射线即为的平分线． 办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重合于，一边重合于直线； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③使点在射线上，点在射线上，调整“矩”直至直线经过点． 射线即为的平分线． 经过测量，上述两种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： （1）嘉淇的“办法1”可由作法判断，因为全等三角形的对应角相等，所以，即平分．请直接写出判断的依据是________； （2）请说明嘉淇的办法2的合理性． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想． （1）利用证明即可得解； （2）证明，得出，即可得解． 【小问1详解】 解：在和中， ， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 解：由题意，得，， ∴ ∴， 即平分． 23. 【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①选择小强同学，过点作于，于，证明，可得结论；②选择小颖同学，过点作，交于点，则，可证，可得； （2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）取中点，连接，根据证，得，即可得证； 【详解】（1）①选择小强同学， 证明：如图2，过点作于，于， 平分， ，， ， ， ， 在与中 ， ， ； ②选择小颖同学， 证明：如图3，过点作，交于点，则， ，平分， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ， 又平分，， ，， 在四边形中，， 又， ， 又， ，且，， ， ； （3）取中点，连接， 点、分别是、边上的中点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省洛阳市伊滨区八年级（上） 期中数学试卷及解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. “一片甲骨惊天下”，甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组图形中，表示线段是中边上的高的图形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 5，5，5 B. 5，5，10 C. 5，6，12 D. 3，4，7 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 9. 如图，，平分，D是上一点，过点D作交于点A，交于点F，已知，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，，，D为中点，E，F分别是，两边上的动点，且，下列结论：①；②的长度不变；③的度数不变；④四边形的面积为．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 12. 如图是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是___________． 13. 如图，小明从A点出发，前进6m到点B处后向右转，再前进6m到点C处后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 _____m． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点在的垂直平分线上，且，则点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，． （1）请画出与关于y 轴对称的； （2）请写出点的坐标； （3）在x 轴上找出点P，使得的值最小．（保留作图痕迹） 17. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 19. 如图，、分别是的角平分线，过点O作交、于点、，的周长为16，长为8，求的周长． 20. 如图，已知．试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 21. 小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度为，已知，于点D，于点E． （1）求证：； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？ 22. 下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 执“规”“矩”等分已知角 《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序，我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角． 要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？ 办法1 ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线． 射线即为的平分线． 办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重合于，一边重合于直线； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③使点在射线上，点在射线上，调整“矩”直至直线经过点． 射线即为的平分线． 经过测量，上述两种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： （1）嘉淇的“办法1”可由作法判断，因为全等三角形的对应角相等，所以，即平分．请直接写出判断的依据是________； （2）请说明嘉淇的办法2的合理性． 23. 【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $