4.第四章 三角形(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学教学辅助手册

第四章 三角形 子思维导图 直线与线段 角及角平分线 线段、角、相交线 相交线 全等三角形的性质 与平行线（含命题） 全等三角形 平行线 全等三角形的判定 命题 线段的比与成比例线段 三角形的分类 一般三角形 相似三角形 相似三角形的性质 三角形边和角的性质 及其性质 及其应用 相似三角形的判定 三角形中的重要线段 三角形 相似多边形的性质 等腰三角形 特殊三角形 等边三角形 锐角三角函数 锐角三角函数 及其性质 及其应用 直角三角形的边角关系 直角三角形 锐角三角函数的实际应用 课标解读 “相交线与平行线”只介绍了直线的相交和平行两种位置关系，并未将两直线重合纳入考虑范 围；两直线互相垂直是特殊的相交关系，这里要关注的是直线的位置与数量之间的关系，即两直线 所成角度为90时，两直线就互相垂直：对于同位角、内错角、同旁内角，主要是利用它们研究两直 线是否平行。 同时，第四学段要求能够证明三角形内角和定理，比第三学段“知道三角形内角和是180°”有 了更高要求：角平分线、线段垂直平分线以及等腰三角形的性质定理，除了可以利用全等三角形证 明外，也可以引导学生从轴对称的角度进行探究，让学生感受研究图形性质方法的多样性；在探索 和证明三角形中位线定理时，要让学生经历“合情推理一提出猜想—证明”的过程，体会合情推理 与演绎推理的不同功能。 “三角形”的教学，要注意组织学生经历对图形的分析与比较过程，引导学生学会关注事物的 共性，分辨事物的差异，形成合适的类，用准确的语言描述研究对象的概念，提升抽象能力，会用数 学的眼光观察现实世界；要创设生活情境或数学情境，引导学生感悟基本事实的意义，经历几何命 题发现和证明的过程，感悟合情推理和演绎推理的功能与作用，增强推理能力，会用数学的思维思 考现实世界。 在教学中，还要引导学生理解平面几何的基本思想，感悟几何体系的基本框架：通过定义确定 论证的对象，通过基本事实确定论证的起点，通过证明确定论证的逻辑，通过命题确定论证的 结果。 实际教学中，教师要结合学生的认知特点和不同水平学生的基础设计有针对性的教学活动， 在帮助学生理解基础知识、掌握基本技能的基础上，引导学生感悟数学的准确性和严谨性，发展学 生的抽象能力、几何直观、空间观念和推理能力。 第15节线段、角、相交线与平行线 一、课标要求 1.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义： 1 2.掌握基本事实：两点确定一条直线； 3.掌握基本事实：两点之间线段最短； 4.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离： 5.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等 角)的补角相等的性质； 6.理解垂线、垂线段等概念； 7.掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 8.掌握平行线基本事实I:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行： 9.掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行： 10.探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互 补)，那么这两条直线平行. 二、近6年真题考点分析及考情总结 考点线段、角、相交线与平行线(P50第15节) 年份 题号 题型 分值 考查内容 解题方法 两组平行线背绿求 2024 3 角度（涉及同旁内 两直线平行，同旁内角互补、内错角相等 角、内错角) 方法1：结合两直线平行得出内错角相等，再 平行线背景求角度 依据对顶角、补角的特征及四边形的内角和 (涉及内错角、对顶 等于360构造等式（方程思想）计算∠2； 2023 3 角、四边形内角和、 方法2：结合平行线性质，构造三角形，通过 补角) 对顶角、补角特征或通过三角形的内角和等 于180°作差计算∠2 具体 考查 两组平行线背景计 方法1：结合两组平行线得出内错角、同位角 内容 选择题 3分 算角度（涉及内错 相等，再根据补角特征计算∠2； 2022 2 角、同位角、同旁内 方法2：结合两组平行线得出内错角相等、同 角、对顶角、补角) 旁内角互补，再根据对顶角特征得出∠2 直接计算已知角的 根据余角特征直接计算（两个互余的角相加 2020 2 余角 等于90) 结合平行线性质和 角平分线性质计算 依据两直线平行，同旁内角互补得出 2019 3 角度（涉及同位角、 内错角、同旁内角、 ∠AOB,则∠2=∠AOB 2 补角) 考情 近6年在选择题考查5次与线段、角、相交线、平行线相关知识点，其中2019年、2022一2024年 总结 考查与平行线有关的知识点，2020年考查计算已知角的余角 15 第16节三角形及其性质（含特殊三角形） 一、课标要求 1.探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角 的和； 2.证明三角形的任意两边之和大于第三边： 3.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性： 4.理解角平分线的概念(2022年版课标新增)，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点 到角两边的距离相等：反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上； 5.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上： 6.了解三角形重心的概念； 7.探索并证明三角形的中位线定理： 8.理解等腰三角形的概念：(2022年版课标将“了解”改为“理解”) 9.探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等：底边上的高线、中线及顶角平 分线重合； 10.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形： 11.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°： 12.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边 三角形： 13.理解直角三角形的概念：(2022年版课标将“了解"改为“理解”) 14.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半： 15.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形： 16.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题 二、近6年真题考点分析及考情总结 考点三角形及其性质P2第16节) 年份 题号 题型 分值 考查内容 教材链接 2024 5 直角三角形的定义 2021 4 结合三角形内外角和计算角度 具体考 查内容 在3×3的网格中，求格点三角形的高线（涉及勾股 2020 选择题 3分 定理、三角形的面积公式及割补法求三角形面积) 已知三角形和角平分线、高线，解含45°和30°角的 人教八上 2019 6 两个直角三角形，求线段长 P56T12 考情 近6年在选择题考查4次，考查点涉及高线、角平分线、三角形的内外角关系、勾股定理及割 总结 补法计算三角形面积 三、负面清单 1.需要添加多条辅助线进行证明的问题. 16 示例：求证：三角形内角平分线分对边的比等于这个角两条邻边的比， 2.证明三角形的三条中线（角平分线、高线）相交于一点， 第17节全等、相似三角形的性质与判定 一、课标要求 1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角； 2.掌握基本事实：①两边及其夹角分别相等的两个三角形全等：②两角及其夹边分别相等的两个 三角形全等：③三边分别相等的两个三角形全等： 3.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等： 4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 5.通过具体实例认识图形的相似：了解相似多边形和相似比： 6.掌握基本事实：两条直线被一组直线所截，所得的对应线段成比例： 7.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比：面积比等于相似比的平方， 二、近6年真题考点分析及考情总结 考点刀全等三角形的相关证明与计算(P58命题，点1) 年份 题号 题型 分值 图形背景及设问 解题方法 全等类型 【背景】四边形，有相等 通过证明三角形全等，得到线 填 2024 13 3分 线段和平行线段 段相等，利用转化思想将问题 AAS 题 【设问】求四边形面积 变为求三角形面积 【背景】三角形、垂线段 通过证明三角形全等，进而证 2023 18 SAS 【设问】证线段相等 明线段相等 解答题 5分 通过平行线性质得一组等角判 具体 【背绿】三角形、平行线 2022 18 定三角形全等，进而证明线段 ASA 考查 【设问】证线段相等 相等 内容 【背景】火柴棒构造两个 选 构造一线三垂直型的全等三角 7 3分 等腰三角形 AAS 形，进而由勾股定理求线段长 2021 【设问】求线段长 【背景】三角形、平行线 通过证明三角形全等，进而证 18 SAS 解答题 【设问】证角相等 明角相等 5分 【背景】三角形、平行线 通过证明三角形全等，进而证 2019 18 SAS 【设问】证线段相等 明角相等 1.与全等三角形有关的证明与计算近6年考查7次，其中2024年第18题结合矩形考查，其余 年份图形背景以三角形为主，设问包含：①证明线段相等：②证明角相等：③求线段长：④求面积 考情 2.解题过程均涉及证明两个三角形全等，且证明方法多样，主要包含：①根据已知垂线段，通过 总结 角度的和差计算得出相等的角：②根据已知平行线的性质得相等的角：③根据线段相等，由线段 和差，得到线段相等 考点2相似三角形的相关证明与计算(P59命题2) 年份 题号 题型 分值 考查内容 相似类型 教材链接 结合三角形中位线定理和相似比 具体 选 2023 6 3分 计算线段长度（涉及中位线定理、 8字型 考查 相似三角形的判定与性质) 内容 填 2022 11 3分 黄金分割 北师九上P96想一想 考情 利用几何图形背景进行线段求解近6年考查2次，涉及知识点均为基础知识点 总结 三、负面清单 相似三角形中，射影定理的证明和应用. 第18节一锐角三角函数 一、课标要求 1.探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30°，45,60角的三角函数值： 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角； 3.能用锐角三角函数解直角三角形：能用相关知识解决一些简单的实际问题 二、近6年真题考点分析及考情总结 考点解直角三角形(P62第18节) 年份 题号 题型 分值 考查内容 教材链接 具体 已知三角形和高线，借助锐角三角函数和 考查 2022 5 选择题 3分 勾股定理连续解两次直角三角形，求线 人教九下P58T11 内容 段长 考情 近6年在选择题中仅考查1次，设问为三角形中求线段长，涉及高线的概念和性质，关键在于借 总结 助三角形的边角关系解直角三角形，常与其他知识点结合考查 三、负面清单 研究同角三角函数之间的关系 示例：在Rt△ABC中，求证：sinA+cos2A=1. 第19节几何测量问题 一、课标要求 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 18 二、近6年真题考点分析及考情总结 考点刀全等三角形在几何测量中的应用(P64命题点1) 年份 题号 题型 分值 考查内容 教材链接 具体考 以测量商业大厦的高为背景，考 北师九下P15T4: 查内容 2020 20 解答题 7分 查全等三角形的判定与性质 人教九下P57T7 考情总结近6年解答题中常考的几何测量问题在2020年以考查全等三角形的应用设问出现一次 考点2相似三角形在几何测量中的应用(P65命题点2) 年份 题号 题型 分值 考查内容 相似类型 教材链接 以测量旗杆高度为背景，考查 北师九上P103 具体 2022 21 6分 A字型 相似三角形的判定与性质 活动课题 考查 解答题 北师九上P103、 内容 以测量古树高度为背景，考查 2019 20 7分 镜面反射 P104:人教九下 相似三角形的判定与性质 P54活动 考情 与相似有关的几何测量问题近6年考查3次(2023年相似与锐角三角函数同时考查)，均为测 总结 高题，且贴近实际生活的背景 考点③锐角三角函数的实际应用(P66命题，点3) 年份 题号 题型 分值 考查背景 教材链接 具体 2024 测量山顶海拔高度 考查 2023 21 解答题6分 测量景观灯的高度 内容 2021 测量吊桥的斜拉钢索长度 考情 近6年在解答题考查3次，通过解直角三角形，解决实际问题，设题背景简洁明了，重视情境设 总结 计和问题提出 【教学补充】 19