9.探究点九 利用角度关系构造几何图形解决问题(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学大小几何压轴题探究

探究点九利用角度关系构造几何图形解决问题 雪方法探究 情形1构造2倍角度 i.如图①，在R1△ABC中，∠B=90°，作斜边AC的垂直平分线交BC边于点D,连接AD,则 ∠ADB=2∠C. ii.如图②，作Rt△ABC的外接圆⊙O,连接OB,则∠AOB=2∠C D 图① 图② 情形2 构造}倍角度 i如图③，作∠ACB的平分线交AB边于点D,则∠BCD=∠ACD=号∠ACB. i.如图④，在BC的延长线上作一点E,使得CE=CA.连接AE,则∠E=∠CAE=2∠ACB. iii.如图⑤，在△ABC中，若AB=AC,以A为圆心，AB为半径作⊙A,则以BC为弦的BC上 方的圆周角∠D=2∠BAC.(更多与圆相关的最值问题见探究点七) 图③ 图④ 图 图⑥ 情形3 正切值为2和；的角之间的数量关系 如图⑥，在3X3的网格内，tan∠ABC= 2tan∠DBC=},则∠ABC+∠DBC=45时 情形4结合已知信息补全图形 在分析具体图形时，若图中存在角平分线、相等邻边、平行线等特殊线段关系时，可结合题中 已知数据将对应图形补全为特殊三角形或特殊四边形，再进行下一步的推理 班厅每练方法 1.构造30角如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°，BC=4,D为BC边上中点，连接AD,则AD= 4+23. D 26 C-2 第1题图 第2题图 第3题图 2.构造45角如图，已知Rt△ABC,其中∠B=90°，BA=BC,∠ACB的平分线交AB边于点D,则 tan∠ACD=√/2-1 3.转化角的位置如图，在1×3的网格内，∠1与∠2的顶点均为格点，则∠1十∠2=45 29 4.垂直平分线的性质如图，已知△ABC,∠C=70°，请用尺规作图法，在△ABC所在平面内作一点 D,使得∠ADC=35(保留作图痕迹，不写作法). 第4题图 第4题答图 解：如答图，∠ADC即为所求 木具每练综合 5.补全正方形或在特殊三角形内解决解题策略开放[2022陕西，26(3)]如图，现有一块△ABC型板材， ∠ACB为钝角，∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP= 15°，AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D,连接CD: ②作CD的垂直平分线l,与CD交于点E: ③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线1于点P,连接AP,BP, 得△ABP. 请问，按上述作法裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论 第5题图 解：裁得的△ABP型部件符合要求，证明如下： 由作法得AP=AC.,CD=CA,∠C4B=45,∴.∠ACD=90 证法1：如答图①，以AC,CD为边，作正方形ACDF,连接PF,则AF=AC=AP ,1是CD的垂直平分线，I是AF的垂直平分线，PF=PA,△AFP为等边三角形， '∠FAP=60°，.∠PAC=30°，.∠BAP=15°，裁得的△ABP型部件符合要求. 证法2：如答图②，过点P作PG⊥AC于点G,则四边形EPGC为矩形. yPE是CD的垂直平分线，A(=DC=,BC=DE=PG=P∠PAC=30. ,∠BAC=45°，.∠B4P=45°-30°=15°，∴.裁得的△ABP型部件符合要求. 证法3：如答图③，过点C作CGLAP于点G,连接CP,则∠GCP=90°一∠GP℃，∠PCE=90°一∠ACP ,AP=AC,∠GPC=∠ACP,·∠GCP=∠ECP ∠PGC=∠PEC,CP=CP,△GPC≌△EC(AAS),GC=EBC-iAC 由GC=FC=AC可得∠C4C=30,∴∠BAP=45-30°=15，∴裁得的△ABD型部件符合要求. 证法4：如答图④，过点A作AG⊥EP交EP的延长线于点G,GP交AD于点M. 易证△AMG≌△DME,则∠MAG=∠MDE=∠CAB=45°. I是CD的垂直平分线，∴AP=AC=CD=2ED=2AG,∴.∠GPA=30° ∴∠GAP=60°，∠BAP=60°-45=15，∴.裁得的△ABP型部件符合要求. 图 图② 图别 阁4 第5题答图 30