8.探究点八 线段最值问题(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学大小几何压轴题探究

探究点八线段最值问题 类型1利用“垂线段最短”解决的线段最值问题 喜方法探究 i.如图①，已知A,B为直线1上两点，P为直线l外 点，PB⊥l,则PA≥PB. ii.如图②，A,P为直线l上两点，B为直线l外一点，求 kAP十BP的最小值.考虑以AP为斜边构造Rt△PAC, 图① 图② 使得sin∠PAC=k,则PC=kAP.作BD⊥AC于，点D,则kAP十BP=PC+BP≥BD. 川几何练方法 1.基本模型如图，在矩形ABCD中，AD=6√3，AB=6,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段 AC上，且AE=4,点F为线段BD上的一个动点，则EF+BF的最小值为4： 第1题图 第2题图 第3题图 2.基本模型如图，在△ABC中，AB=AC=10,tanA=3,CD⊥AB于点D,点E是线段CD的一个 动点，则BE+四CE的最小值是310 10 3.确定定角十垂线段最短[2024西安高新一中八模]如图，在正方形ABCD中，AB=8√3，E为边AD 上一点，连接BE,点G在BE上，以GE为边作等边三角形EFG,点F落在CD上，M为GF的 中点，连接CM,则CM的最小值为43. 4.构造旋转型全等[2024西工大附中一模]如图，线段AB=6,点C在AB上，且AC=4.以C为顶点 作等边三角形CPQ,连接AP,BQ.当AP+BQ最小时，△CPQ的边长最小是 2 /21 第4题图 第5题图 5.利用垂直平分线的性质确定点的轨迹[2024交大附中三模]如图，在四边形ABCD中，E为BC的中 点，AB=BE=AE=4,AD=DE.则当CD最小时，四边形ABED的面积为8√3 25 类型2利用对称解决的线段（和）最值问题 方法探究 i.如图①，A,B为直线1同侧的两个定点，P为直线L上的一动点.作点A关于直线1的对称 点A',则AP+BP=A'P十BP>≥A'B,当点P在线段A'B上时，AP十BP取得最小值 i.如图②，P为∠AOB内部一点，C,D分别为射线OA,OB上的动点，分别作点P关于OA, OB的对称，点P',P,则PC+PD十CD=P'C+PD十CD≥P'P",当点C,D在线段PP"上 时，△PCD的周长最小 iii,如图③，已知A,B为定点，直线l1,l2的间距为定长(d),将点A向下平移距离d得到点 A',则四边形AA'NM为平行四边形，AM+BN=A'N+BN≥>A'B,当点N在A'B上时， AM+BN取得最小值， 图① 图② 图③ 川几何练方法 1.“两定一动"基本模型如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,EF垂直平分AB,点P为直 线EF上一动点，则△APC周长的最小值为14 第1题图 2."-定两动"基本模型如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=√3，若点M,N分别是 射线OA,OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是3· B M A 第2题图 3.构造全等+转化如图，已知正方形ABCD的边长是4，E是BC边上一动点，△AEF是以点E为 直角顶点的等腰直角三角形，则AF十DF的最小值为45· D E 第3题图 26 4.对称+点圆最值[2024陕师大附中九模]如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E为AD的中点， 点F在直线CD上，点G在线段EF上，且∠GDF=∠DEF,P为BC边上一动点，则PA十PG 的最小值为35-1 第4题图 5.点圆最值+对称[2024西安铁一中陆港校区七模]如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3,⊙A, ⊙B的半径分别为2和1，P,E,F分别是边CD,⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值 是3 第5题图 大几何练综合 6.[2024西安高新一中五模](1)构造旋转全等如图①，点O是等边三角形ABC的内心，∠DOE的两 边分别交AB,BC于点D,E,且∠DOE=120°，若等边三角形ABC的边长为6，求四边形OD BE周长的最小值： (2)”一定两动”+作差法为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校园东南角开辟出一块形状为 平行四边形的劳动实践基地.如图②所示，劳动实践基地为口ABCD,点O为其对称中心，且OB= 20m,点E,F分别在边AB,BC上.四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年 级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF和△EFO区域种植不同的 果蔬.在O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF=60°，并修建OE,EF,OF三条小路. 现要求规划的三条小路OE,EF,FO总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最 大.求满足规划要求的三条小路OE,EF,FO总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面 积最大时学校应开辟的劳动实践基地口ABCD的面积. 图① 图② 第6题图 解：(1)如答图①，连接OB,OC '点O是等边三角形ABC的内心， ∴.∠AB0=∠OBC=∠OCB=∠AC0=30°， ∴.0B=0C,∠B0C=120° 27 :∠D0E=120°，.∠B0D=∠C0E. ∠BOD=∠COE, 在△BOD和△COE中 OB=OC, ∴.△BOD≌△COE(ASA), ∠OBD=∠OCE, ∴.BD=CE,OD=OE,'.四边形ODBE的周长为BD+BE+EO十OD=BC+2OE. BC=6,∴.当OE⊥BC时，OE最小，四边形ODBE的周长最小，此时OE=√3， ,,四边形ODBE周长的最小值为6+2W3 (2)如答图②，分别以AB,BC所在直线为对称轴，作点O关于AB的对称点M,点O关于BC的 对称点N,连接MN,交AB于点E1,交BC于点F1,连接BM,BN,EM,FN,OE,OF,则ME= OE,OF=FN. :△OEF的周长为OE+EF+OF=ME+EF+FN≥MN, ∴△OEF周长的最小值是MN的长，此时点E在E,处，点F在F,处（如答图③）， ,.∠BMN+∠BNM=∠BOE+∠BOF=∠EOF=6O°， ∠MBN=120°，∴.∠BMN=∠BNM=30 ∠EBF=∠EBO+∠FBO=∠MBE+∠NBF=2∠MBN=6O° 过点B作BH⊥MN于点H,.BH=10,MH=NH=10N3, ∴.MN=20v3,即OE,EF,F0和的最小值为203 此时Sg边琴30=S△E十S△N=S△nN一S△EF. Sa=N·BH=10,3,当△BEF的面积最小时，四边形EBF0的面积最大. 如答图④，作△BEF的外接圆⊙P,连接BP,PF,过点P作POLEF于点Q,则∠FPQ=∠FBE= 60,BP+PO=BP≥10，∴BP>9,EF=3BP≥205 3 △BEF面积的最小值为}×20×10=1003， 3 31 ∴四边形EBF0面积的最大值为100√3-100v3-2003 3 3 当△BEF取得最小值时，点H与点Q重合，此时BF=BE,∴·△BEF为等边三角形， ∴.∠BEM=∠BFN=∠BE0=∠BF0=180°-60°=120°， 四边形EBFO为平行四边形，此时SD=4S阳边器o= 93m 图① 图② 图③ 函④ 第6题答图 28