7.探究点七 隐形圆问题(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学大小几何压轴题探究

探究点七 隐形圆问题 类型1点圆最值 喜方法探究 如图①，P为⊙O外一点，A为⊙O上一动点，连接PA,AO,PO,其中AO为半径长，PO为定 长，PA的长随着点A位置的变化而变化. i.如图②，当点A在PO上时，点P到，点A的距离最短，最短距离为POAO ⅱ.如图③，当点A在PO的延长线上时，点P到点A的距离最大，最大距离为PO十AO 图① 图② 图③ 川再醇练方 1.点与圆的位置关系已知⊙O的半径为3，若OP=4,则点P与⊙O的位置关系是 (B) A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O外 C.点P在⊙O上 D.无法判断 2.圆周角定理的推论如图，正方形ABCD的边长为6，E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥ AE交AE于点G,连接CG,则CG的最小值为35一3 第2题图 第3题图 第4题图 3.定点定长确定隐形圆如图，在等边三角形ABC和等边三角形ADE中，N,M分别为BC,DE的 中点，AB=6,AD=4.在△ADE绕点A旋转的过程中，MN的最大值为53 4.构造中位线如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(4,0)，(0,4)，C为坐标系平面内 一点，BC=2,M为线段AC的中点，连接OM,则OM的最大值为22+1_ 六门珂练综合 5.[2024陕师大附中四模](1)基本模型如图①，已知⊙O的半径是4，A是⊙O上一动点，OP=9,则 PA的最大值是 (2)确定隐形圆+三边关系如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,D是边AC上一动 点，连接DB,过点A作AF⊥BD于点F,连接CF,求CF的最小值； (3)构造中位线+点圆最值如图③，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半 圆两部分构成，已知BC=60m,∠ABC=90°，∠ACB=60°.为了方便游客游览，该景区计划对 20 油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E,沿AE修建小路，并在AE中点F处 修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊.由于仿古长廊造价高达1100元/m,为了控制成本，景区 要求仿古长廊C℉的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造仿古长廊的最低 费用. 图 图② 图3 第5题图 解：(1)13 (2)AF⊥BD,∠AFB=90°，点F在以AB为直径的半圆上运动. 如答图①，记AB的中点为E,连接CE,与点F的运动轨迹交于点F',则当点F运动到F处时 CF取得最小值。 AB=6,E为AB的中点，EB=号AB=3 又，∠ABC=90°，BC=8,CE=VEB+BC=、73 ∴，CF=CE一EF=V73-3,即CF的最小值为/733 (3),BC=60,∠ABC=90,∠ACB=60°，·∠A=30° ..AC=2BC=120,.AB=AC-BC=603. 如答图②，连接EC,EB,记AC中点为I,AB的中点为N,连接MN,MF,FN ,'点E在以BC为直径的半圆上，∴∠CEB=90 :AC的中点为M,AE的中点为F,AB的中点为N .MF为△ACE的中位线，F为△ABE的中位线，N为△ABC的中位线， ∴.MF∥EC,NF∥EB,MN∥BC,MN=,BC=30,∴∠MFA=∠CEA,∠NFA=∠BEA, .∴∠MFA+∠NFA=∠CEA+∠BEA=∠CEB=90°， .点F在以MN为直径的左侧半圆上 取MN中点为O,作OK⊥BC于点K,得矩形ONB队， 连接CO,与点F的运动轨迹交于点F',则CF的长 度即为CF的最小值， 图 图2 ,MN=30,MN的中点为O,AB=603,AB的中点 第5题答图 为N,∴0N=2MN=15,BN=2AB=30V3,kB=0N=15,0K=BN=303, ∴，CK=BC-KB=45 在R1△Ck0中，0C=√Ck+Ok2=15、21. 又：OF=0N=15,.CF=0C-0F=15、21-15,∴.CF的最小值为15√21-15. 1100CF=16500wW21-16500(元). 答：建造仿古长廊的最低费用为(16500√2一16500)元. 21 类型2线圆最值 壹方法探究 A为⊙O上一点. i.如图①，l为不与⊙O相交的一条直线，作AH⊥l于点H,OH1⊥I于点H1,则OA+AH≥ OH1,当点A在线段OH,上时，点A到直线l的距离最小 iⅱ，如图②，当点A在线段H1O的延长线上时，点A到直线1的距离最大， HH H,(H)1 图① 图② 川可可练万话 1.切线的性质[人教九上P101第6题改编]如图，P为⊙O外一点，⊙O的半径为6，Q为⊙O上一动 点，过点P作⊙O的切线，切点分别为A,B,连接AB.若AB=AP,则点Q到AB的最大距离 为9，点Q到PA的最大距离为12 第1题图 第2题图 第3题图 2.确定隐形圆十垂直线段最短[2024西安高新一中五模]如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB= 2AC,D为BC边上的个动点，连接AD,过点D作DE⊥AD,交边AB于点E.若AC=2,则线 段BE的最大值为6一25 3.确定隐形圆+垂直线段最短[2024西工大附中七模]如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4、3,M 是直线CD上的一个动点，以CM为直径作半圆O,连接BM与半圆O交于点F,E为AB的中 点，连接EF,ED,DF,则S△ED的最小值为43· 4.确定隐形圆及其边界点已知，在半圆O中，直径AB=10,点C,D在半圆O上运动，弦CD=5.M 为CD的中点，点C从点A开始运动，到点D与点B重合时结束.在整个运动过程中，点M到 AB距离的最小值是 53 D M 第4题图 第5题图 5.直角三角形中线的性质[2024西安高新一中九模节选]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M,N分别 是BC,AC上的动点，且MN=2,P是MN的中点.若AC=3,BC=4,则点P到AB距离的最 7 小值为 22 类型3定边定角 章方法探究 如图，已知在△ABC中，∠ACB的度数为定值，AB的长为定值.作△ABC的 外接圆⊙O,过，点O作OH⊥AB于点H,连接OA,OC,过点C作CG⊥AB于 点G,则OC十OH≥CG,当点C在线段HO的延长线上时，△ABC的面积 最大 川门阿练方诺 1.基本模型如图，在△ABC中，BC=2,A为动点，在点A运动的过程中始终有∠A=45°，则 △ABC面积的最大值为/2+1· 第1题图 第2题图 2.确定定角，构造隐形圆如图，C是线段AB上的动点，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等边三角 形ACD和等边三角形BCE,BD与AE交于点P,连接CP.若AB=6,则PC的最大值为3· 六具每练缘合 3.基本模型+和差法求面积[2024西工大附中六模节选【问题解决】 某市着力打造宜居宜业现代化生态城市，为了呈现出“园在城中秀，湖在园中美”的迷人画卷，如 图所示，现在一处空地上规划一个五边形湖景公园ABCDE.按设计要求，要在五边形湖景公园 ABCDE内挖一个四边形人工湖EFGH,使点F,G分别在边CD,BC上，且 ED=EF=FG=100√10m,∠EFG=90,∠EHG=60°.已知五边形ABC DE中，∠A=∠B=∠C=90°，BC=600m,DC=500m.为满足人工湖的造 景需要，想让人工湖面积尽可能大.请问，是否存在符合设计要求的面积最 B G 大的四边形人工湖EGH?若存在，求四边形EFGH面积的最大值：若不 第3题图 存在，请说明理由（结果保留根号）. 解：存在符合设计要求的面积最大的四边形人工湖EFGH, 如答图，作△EHG的外接圆⊙O,作ON⊥EG于点N,HM⊥EG于点M,连接HO,则HO十ON≥ HM,当点M与点N重合时，HM取得最大值，此时△HEG为等边三角形，且△EHG的面积最大. :EF=FG=100、10,∠EFG=90°， ∴.△EFG为等腰直角三角形， ∴.EG=2EF=200、5, EN=NG=EG=100,5,HN=EN·an60=100、15, 第3题答图 Se=EG·N=500003,Sm=3EF:FG=5000, ∴.Sw边形G1=S2G+S△c=50000+50000/3(m2), ,∴，四边形EFGH面积的最大值为50000+50000,3m2. 23 4.[2024西工大附中三模【问题提出】 (1)勾股定理如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4,以 BC为边在△ABC外作等边三角形BCD,过点D作DE⊥AB 于点E,连接CE,则tan∠AEC=; 图1D 图2 【问题解决】 第4题图 (2)确定定角，构造隐形圆2024年国际沙滩排球世界锦标赛在陕西商洛举行，为促进全民健身，某 地计划修建一个四边形运动公园（如图②）.运动公园（即四边形ABDC)需建在公路AC的一 边，现场测量AC=200m.根据有关设计要求，运动公园还要满足∠ABD=135°，∠D=90°，且 BD=CD,那么是否存在面积最大的运动公园？若存在，请求出运动公园面积的最大值：若不存 在，请说明理由。 解：2 【解析】如答图①，作等边三角形BCD,DE⊥AB于点E,:∠ABC=90°，·∠EBC=90 :△BCD是等边三角形，∴∠DC=60°，BC=BD=4,∴∠EBD=30°，在Rt△BED中，∠BED= 0,∠EBD=30,DE=BD=2,BE=2点在R△BhC中，am∠AEC= BC_2v3 BE 3 (2)存在。 如答图②，连接BC,过点D作DL⊥AB,交AB的延长线于点E BD⊥CD,BD=CD,.△BDC是等腰直角三角形， ∴∠DBC=45°，∴.∠EBD+∠CBD=∠EBC=∠ABD ∠CBD=∠ABC=90°，即△ABC是直角三角形 ,∠ABC=∠BED=90,.BC∥DE. SAB=S△0w,SEm形mx=SAa 图① 图② ∠DBC=45,.∠EBD=45,BE=DE 。第4题答图 设BE=a,则BD=2a.在等腰直角三角形BDC中，BC=,2BD=2a. 在△CE中，=十a=5a,mBC--2BFc是定角 :在△ACE中，∠AC是定角，AC=200,∴点E在以AC为弦的圆弧上运动. 设∠AEC=B,以AC为底作顶角为2B的等腰三角形AOC, 以点O为圆心，OA为半径画圆，则点E在AEC上运动 过点O作直线OH⊥AC于点H,延长HO交⊙O于点E',过点E作EF⊥AC于点F,连接OE, 则OE+OH=OE+OH>EF, ∴.当O,E,H三点共线，即当点E与E重合时，△ACE的高取得最大值，最大值是EH的长，即 E为AEC的中点 ZEC=∠EC=∠A0H=B,sn∠EC=25,∴i∠A0H=0-2g5 :AH=CH=100,.OA= sinZAOn=505,.OH-V0A-AF=50, AH EH=0E'+0H=505+50,∴Samx=S.x=AC·EH=5005+50(m), ,∴，运动公园（即四边形ABDC)的面积的最大值是5000W5+5000m2. 24