6.探究点六 半角问题(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学大小几何压轴题探究

探究点六 半角问题 子方法探究+ i,如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠DAE=45°，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到 △ACF,则△AFE≌△ADE,△CEF为直角三角形，BD十CE=DE. ii.如图②，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG, 则△AGE≌△AFE,EF=DF+BE iii.如图③，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，BD=CD,∠EDF=60°，将△DBE绕，点D 顺时针旋转120°得到△DCG,则△DGF≌△DEF 图① 图② 图③ 出具每丝方法 1.构造全等如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D 为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长 是6 D 第1题图 第2题图 2.全等+勾股定理如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点M,N在边BC上，且 ∠MAN=45°.若BM=1,CV=3,则MN的长为V10 3.全等+勾股定理已知正方形ABCD的边长为5，点M,N分别在边BC,CD上，连接AM,MN, AN,若∠MAN=45°，BM=2,则线段CN的长为 20 B M 第3题图 第4题图 4.构造全等[2024西安高新一中九模]如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB.DC的延 长线于点E,F,且∠EAF=45°.连接EF,如果BE=1,DF=7,那么EF=6· 17 5.全等+勾股定理如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠D=90°，BC=4,AB=AC, ∠CBD=30°，M,N分别在BD,CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为23+2· M 第5题图 6.全等+勾股定理[2024宜宾]如图，正方形ABCD的边长为1，M,N是边BC,CD上的动点.若 ∠MAN=45°，则MN的最小值为22-2 第6题图 7.全等+旋转的性质已知在△ABC中，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得 到△ACD',连接D'E.如图，当∠BAC=120°，∠DAE=60时，求证：DE=D'E. 第7题图 证明：由旋转的性质得AD=AD,∠CAD=∠BAD. ,∠BAC=120°，∠DAE=60, ∴.∠DAE=∠CAD'+∠CAE=∠BAD+∠CAE=BAC-∠DAE=60 ,.∠DAE=∠DAE AD=AD 在△ADE和△ADE中，∠DAE=∠DAE AE=AE, ,∴.△ADE≌△ADE(SAS), .DE=DE. 六口铜蕴综合 8.全等+勾股定理如图①，点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上，∠MAV=45°，连 接MN. (1)求证：MN=BM十DN.下面提供解题思路，请填空： 如图②，把△ADN绕点A顺时针旋转得到△ABE,可使AD与AB重合： 由∠EBC=∠ABE+∠ABC=180得E,B,C三点共线，从而可证△AEM≌ ,从而得到 MN=BM+DN: (2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，并证明： 18 (3)如图④，四边形ABCD不是正方形，但满足AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°，∠MAN= 45°，且BC=7,DC=13,CN=5,求BM的长. M E B M 图① 图② 图③ 图④ 第8题图 解：(1)90△ANM (2)MN=DN-BM.证明如下： 如答图①，在DC上取一点G,使DG=BM,连接AG. ,四边形ABCD是正方形，.AD=AB,∠ADG=∠ABM=90. 又BM=DG,.△ABM≌△ADG(SAS),.AM=AG,∠MAB=∠GAD. ∠MAN=∠BAI+∠BAN=45,∠GAD+∠BAN=45, ∴.∠GAN=45°，即∠MAN=∠GAN. 又，AN=AN,.△MAN≌△GAN(SAS), ∴，MN=GN=DN-DG=DN-BM,即MN=DN-BM (3)如答图②，在DC上取一点G,使DG=BM,连接AG :∠BAD=∠BCD=90°，∴.∠D+∠ABC=180 :∠ABM+∠ABC=I80°，∴.∠D=ZABM. 又：AB=AD,BM=DG,'.△ABM≌△ADG(SAS) ∴AM=AG,∠MAB=∠GAD. ∠MAN=∠BAM+∠BAN=45,ZGAD+∠BAN=45,T ∴.∠GAN=45,即∠MAN=∠GAN■ 又：'AN=AN,.△MANe2△GAN(SAS),.MN=GN BM=DG=x,..GC=DC-DG=13-x,MN=NG=CN+CG=18-x,MC=BM+BC= 7+x 在Rt△MCN中，NC+MC2=MN2,.52+(7+x)=(18-x)2, 解得x=5,,BM的长为5. 图① 图② 第8题答图 19