5.探究点五 旋转背景下的全等、相似问题(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学大小几何压轴题探究

探究点五 旋转背景下的全等、相似问题 方法探究一+++++一+++++一 如图①，在△ABC中，D,E分别为AB边和AC边上的点，∠ADE=∠ABC,则△ADEn △ABC,如图②③④，将△ADE绕，点A逆时针旋转，则△ABD∽△ACE.特别地，当AB=AC 或AD=AE时，△ABD≌△ACE. 图① 小几何练方法 1.旋转的性质如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转60得到△A'BC', 连接AC',AA',则∠CAC'=15 第1题图 第2题图 第3题图 2.利用全等解决如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,B,D,E三点共线，∠1=25°，∠2 30°，则∠3=55°. 3.全等+勾股定理[2024陕师大附中八模节选]如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，D为 边BC上一点，以AD为边作等腰直角三角形ADE,其中∠DAE=90°，连接CE.若BD=2, AB=4√2，则△CDE的面积为6. 4.利用边角关系或全等解决解题策略开放如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形 ABED,过点D作DF⊥CB的延长线，垂足为F,则DF=3+1. 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.相似+垂线段最短如图，已知△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°，AB=3,AC=4,点D在 线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是2· 6.相似的性质如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E,过点E作BE的垂 线，交边AD于点E.如果AB=3,BC=5,那么DF的长是号 7.相似的性质如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=32°，D是线段AB上一动点，作△CDE∽ △CAB,连接BE.若△BCE是等腰三角形，则∠CDB=64°或106° 14 8.构造全等+点圆最值如图，AB⊥BC,AB=BC=4,以AB为直径作半圆O,D是半圆O上一个动点， 连接CD,将CD绕点C逆时针旋转90得到CE,连接AC,AE,则AE的最小值是2√17一2 第8题图 9国夏题如图，矩形ABCD中，AD-6,DC-8,E为对角线AC上一动点，BELBF,距-号， BG⊥EF于点G,连接CG,当CG最小时，CE的长为 32 第9题图 10.中位线+勾股定理解题策略开放[2024交大附中一模]如图，四边形ABCD是边长为6的正方形， 点E在CB的延长线上，当BE=2时，连接AE,过点A作AF⊥AE,交CD于点F,连接EF, H是EF的中点，连接BH,则BH=22 D G H E B 第10题图 大几何练综合 11.全等的性质旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题. (1)【尝试解决】如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,M是BC上的一点， BM=1cm,CM=2cm,将△ABM绕点A旋转后得到△ACN,连接MN,则AM= cm; (2)【类比探究】如图②，在四边形ABCD中，AB=AD=a,CB=CD,AB⊥BC于点B,AD⊥ CD于点D,P,Q分别是AB,AD上的点，且∠PCB+∠QCD=∠PCQ,求△APQ的周长（结 果用含a的代数式表示) (3)【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD,AD=CD,∠ADC=60°，∠ABC=75°，AB=2√2，BC=2, 直接写出四边形ABCD的面积， 图① 图② 图③ 第11题图 15 解：山 (2)如答图①，延长AB到点E,使BE=DQ,连接CE. ,AB⊥BC,AD⊥CD,.∠ADC=∠ABC=90°， ∴.∠CBE=∠CD0=90° CD=CB, 在△CDO和△CBE中，∠CDO=∠CBE, DO=BE, ∴.△CDQ≌△CBE(SAS), ∴.∠DCO=∠BCE,CO=CE. '∠PCB+∠OCD=∠PCQ, ∴.∠PCB+∠BCE=∠PCO=∠PCE. CO=CE, 在△OCP和△ECP中，∠OCP=∠ECP CP=CP, .△OCP≌△ECP(SAS),'.PQ=PE ,△APQ的周长为A0+PQ+AP=AQ+PE+AP=A0+BE+PB+AP=A0+DQ+AB= AD+AB=2AB=2a. (3)如答图②，连接BD 由于AD=CD,可将△BCD绕点D按顺时针方向旋转60°，得到△BAD, 连接BB,延长BA,作BE⊥BA交BA的延长线于点E. 由旋转得△BCD≌△BAD,.BD=BD,∠BDB'=60°，∠CBD=∠ABD, ,.S四边形D=S四边形gA,△BDB是等边三角形 ∠ABC=75°，∠ADC=60°， .∠BAB=∠BDB+∠AB'D+∠ABD=135,∴·∠BAE=45 BA=BC=2,∴.BE=AE=√2， .BE=AB+AE=3√2， ∴.BB=√BE2+BE2=2√5 设等边三角形BB'D的高为h,则h=BB·sin60°=√/15， Sa造D=S0地mwA=SAw-Sm=子BB·h-AB·BE=53-2. 图① 图② 第1山题答图 16