4.探究点四 一线三等角问题(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学大小几何压轴题探究

探究点四 一线三等角问题 喜方法探究 i.在图①~图③中，若∠1=∠2=∠3，则△APC∽△BDP ii.在图④中，若∠1=∠2，则△ABC△CED. ⅱ.在相似的基础上添加任一组对应边相等可得到全等. 图① 图② 图③ 图④ 4 川几何练方法 1.构造含直角的一线三等角[2024重庆A卷]如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把 AE绕点E逆时针旋转90，得到PE,连接CF并延长与AB的延长线交于点G,则受的值为（A) A.√2 B.3 C32 2 D33 第1题图 第2题图 第3题图 2.用型=线三第如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=9,BP=专BC=2,点D在AC上，且 ∠APD=∠B,则CD= 8 3.构造含直角的一线三等角[2024西工大附中六模节选]如图，在△ABC中，AC=AB,BC=4,作DB⊥ AB于点B,BD=AB,连接CD,则△BCD的面积为4· 4.相似型一线三等角如图，在正方形ABCD中，G为BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A且 FG交AB于点H.连接EH,若AH=3,GC=2,则△EFH的面积为3· B G 第4题图 第5题图 5.全等型一线三等角[2024北京]如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F,CG⊥ DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为 2 8 6.阻以型-线三等如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=a,点P在AD上，且AP=a,连接 BP,将△ABP沿BP翻折得到△BPQ,若点A的对应点落在矩形的边上，则a=8或4v2 D 第6题图 第7题图 第8题图 7.相似型一线三等角如图，将等边三角形ABC折叠，折痕为MN,点A的对应点为D,点D恰好在 BC边上.若BD-号BC.则微 3 8.过顶点构造一线三等角[2024西工大附中八模]如图，在△ABC中，AB=6,∠ABC=30°，BC=8, △ABD和△ACE都是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为24· 大几何练综合 9.全等型一线三等角[2024甘肃]【模型建立】 (1)如图①，已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段 AE,DE,CD的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 (2)如图②，在正方形ABCD中，点E,F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF,AE=EF.用 等式写出线段BE,AD,DF的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 (3)如图③，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF, AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系，并说明理由. 第9题图 解：(1)DE十CD=AE.理由如下： 'CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC,.∠ABC=∠D=∠AEB=90°， ∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°，∴.∠ABE=∠C ,AB=BC,∴.△ABE≌△BCD(AAS), ..BE=CD,AE=BD,..DE=BD-BE=AE-CD, ∴，DE+CD=AE. (2)AD=√2BE+DF.理由如下： 如答图①，过点E分别作EM⊥AD于点M,作EN⊥CD于点N. 四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线， 12 ∠ADB=∠CDB=45°，BD平分∠ADC,∠ADC=90°， ∴w2AD=√2CD=BD,EM=EN, .'.DE=BD-BE=V2AD-BE. 'AE=EF,∴.RL△AEM≌Rt△FEN(HL),∴.AM=FN. ,'EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°， '.四边形EMDN是正方形， .MD-ND-DE.NF-ND-DF-MD-DF. ÷NF=AM=AD-MD=AD-号DE,NF=DE-DE, AD-号DE=号DE-DF,AD=2DE-DE 2 DE=√2AD一BE,∴.AD=√2(W2AD一BE)一DF,整理得AD=√2BE+DF. (3)AD=√2BE-DF.理由如下： 如答图②，过点A作AH⊥BD于点H,过点F作FG⊥BD,交BD的延长线于点G, ,AH⊥BD,FG⊥BD,AE⊥EF, ∴，∠AHE=∠G=∠AEF=90°， ∴.∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°，·∠HAE=∠FEG. 又AE=EF,.△HAE≌△GEF(AAS),.HE=GF 在正方形ABCD中，∠BDC=45°， ∴∠FDG=∠BDC=45,∠DFG=45, △DFG是等腰直角三角形，FG=号DP,HE=FG=号DF ?∠ADB=4S,AH L HD,.∴△ADH是等腰直角三角形，∴HD=号AD, ∴DE=HD-HE=号AD-号DF,∴BD-BE=DE=号AD-DF :BD=2AD,∴2AD-BE=号AD-DF,整理得AD=2BE-DF H E/D G 图① 图② 第9题答图 13