3.探究点三 利用对称性解决面积等分问题(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学大小几何压轴题探究

探究点三 利用对称性解决面积等分问题 李方法探究 i过特殊四边形对称中心的直线平分四边形的面积.如图①，EF过矩形ABCD的对称中心， 则EF平分矩形ABCD的面积. ⅱ.若一个组合图形由两个中心对称图形组成，则过这两个图形对称中心的直线平分这个组合图 形的面积.如图②，直线l分别过矩形和正方形的对称中心，则直线【平分该组合图形的面积. 图① 图② 州厅同练方法 1.对称性如图，在平面直角坐标系中，□ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(5,0),B(8, 4),直线y=2x十1以每秒1个单位长度的速度向下平移，经过7s,该直线平分□ABCO的 面积 23 第1题图 第2题图 第3题图 2.对称性[2024西安高新一中九模节选]如图，在边长为10的菱形ABCD中，点E为AB上一点， AE=3,在CD边上有一点F,连接EF,若EF平分菱形ABCD的面积，则DF的长为7· 3.勾股定理2024陕师大附中三模]如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,点P在BA的延长线 上，且AP=2,过点P作直线l分别交边AD,BC于点E,F.若直线l平分矩形ABCD的面积， 则EF的长为 189 4.解题策路开放如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°.请用尺规作图法，在AD边上作点 E,在BC边上作点F,使得直线EF平分该四边形的面积（保留作图痕迹，不写作法）. 图① 图2 第4题图 第4题答图 解：如答图①②，直线E1F1,E2F即为所求. 8 六几同练综合 5.[2024西安铁一中滨河校区八模【问题探究】 (1)请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等D 的两部分： (2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直 图①) 图② 线（要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面 积四等分，并说明理由： 【问题解决】 (3)如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹 图③ 建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD 第5题图 BC=4,开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在P(4,2)处.为了方便出行，驻区单 位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线！将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线（是否存在？若存在，求出直线1的表达式：若不存在，请说 明理由. 解：(1)作出直线如答图①. (答案不唯一，过对角线交点的直线均符合要求 (2)如答图②，连接AC,BD交于点P,过点P,M的直线分别交 AB,CD于点G,H,此时直线PM分正方形为面积相等的两部分 过点P作MP的垂线分别交AD,BC于点E,F,则直线P,EF将 图 图2 正方形ABCD的面积四等分，理由如下： ,四边形ABCD是正方形，∴.PA=PB=PC=PD,ACBD ∠PAD=∠PBA=∠PCB=∠PDC=45,SW=Sm=Sm= S△W4,∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=90 图③ ,EF⊥GH,.∠EPG=∠GPF=∠FPH=∠HPE=90°， 第5题答图 ∴·∠APE=∠BPG=∠CPF=∠DPH,∴.△APE≌△BPG≌△CP2△DPH(ASA), ∴.S么性=S△=Sm=S,.S四边形：=S四边时游=S四边H=S四边形w陛， ,∴，直线MP,EF将正方形ABCD的面积四等分. (3)直线1存在.如答图③，过点P作直线PH交OD于点H,过点D作DAOB于点A,记线段 AD与PH的交点为F, BC=CD=4,OB=6,.A(2,0),B(6,0),C(6,4),D(2,4),∴点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心， ,过点P的直线只要平分△DOA的面积即可. 易知在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分，从而使直线PH平分直角梯形OBCD 的面积，直线PH即为所求直线， 设直线PH的表达式为y=kx十b且点P(4,2),∴.4k十b=2,即b=2-4k,∴.y=kx十2-4k. D(2,4),.直线OD的表达式为y=2x, 2-4k [y=kx+2-4k, x=2-k' 联立 解得 2一4k4一8k y=2x, 4一8k “点H的坐标为(2-K2-k y=2-k OB=6,AB=CD=4,.OA=2.把x=2代入直线PH的表达式y=kx十2-4k,得y=2-2k, 9 .PH与线段AD的交点F的坐标为(2,2-2k),.02一2k<4,一1<k<1, Sm=号DF,-w=4-2+202-二装)=m=}×号×2X4,解得= 3,6=少-3舍去，b=8-2B,直线1的表达式为y=+8-2B 2 2 6.对称性+线圆最值[2024西安高新一中九模节选]如图，某公园计划建一个形状为口ABCD的游乐 场，其中CD=90m,BC=150m,连接AC,AC⊥AB.为方便工作人员通过，要留出一条快速通 道EF,E,F是□ABCD边上的动点（可与顶点重合）.根据设计要求，线段EF平分□ABCD的 面积，过点C作CP⊥EF于点P,要将△ADP区域修建为家长休息等待区，为使游乐场容纳更 多的游乐设施，要求家长休息等待区（即△ADP)的面积尽可能得小，问△ADP的面积是否存 在最小值？若存在，请求出△ADP的面积最小值及此时快速通道EF的长度；若不存在，请说 明理由. Q 第6题图 第6题答图 解：△ADP的面积存在最小值， 如答图，取AC的中点O和OC的中点M,作直线MP交AD于点N,交BC于点Q. ,线段EF平分□ABCD的面积，，线段EF经过点O ,'在E,F两点的运动过程中，∠OPC=90°，.点P是在以M为圆心，OC为直径的⊙M上. 当MN⊥AD时，NP最小，此时△ADP的面积最小 ,四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD=9 在R△ABC中，AC=VBC-AB=120,0C=2AC=60, .PM=CM=30,∴.AM=AC-CM=90.■ :'∠ANM=∠ACD=90,∠N4M=∠CAD,△4MV△4DC, 小-=没，脚微-0N=5,P=N-=4aN=7不-MN=2, “△ADP的最小面积为)AD·NP=180(m), S=AB·AC=BC,N0,÷NQ=AB:AC=72,M0=Q-MN=18 BC AD/c,△ANM△cON0-别即8-i话0=24 在Rt△POC中，由勾股定理得CP=、CQ+(PM+MQ)P=24v5. :∠CPF=∠COP=90°，∴.∠CPM=90°-∠FCP=∠CFP 又∠00P=∠0r=0,△0cn△0p,8器-即。-n=格，s w/c么E△0r部-即路E=24 ∴，EF=EP+FP=725(m. 综上所述，△ADP的面积存在最小值，最小值为1800m,此时EF的长度为725m. 10