2.探究点二 利用中线解决面积等分问题(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学大小几何压轴题探究

探究点二利用中线解决面积等分问题 喜方法探究 i如图①，在△ABC中，D为BC边的中点，则BD=CD,S△n=SAD=2S△xC, ii.如图②，在△ABC中，D为AB边上一点，作AP∥DC交BC的延长线于点P,则S△x S△P.取BP的中点E,连接DE,则DE平分△ABC的面积. i.如图③，作DP∥AC交BC的延长线于点P,则S△Dc=S△PC.取BP的中点E,则AE平 分四边形ABCD的面积. iv.如图④，P为四边形ABCD中AD边上一，点，作AM∥PB交CB的延长线于点M,DN∥ PC交BC的延长线于点N,取MN的中点Q,连接PQ,则PQ平分四边形ABCD的面积. B 图① 图② 图③ 图④ 用福蔬方法 1.中点的定义[2024咸阳秦都区一模]如图，在△ABC中，AB=3,BC=6,∠B=90°，BC边上有一点 P,AP平分△ABC的面积，则AP的长为32 第1题图 2.按要求尺规作图： (1)中点的定义如图①，过点A作一条直线，使其平分△ABC的面积： (2)等面积法如图②，在BC上求作一点E,使△ACE与△ACD面积相等； (3)中点的定义+等面积法如图③，过点D作一条直线，使其平分△ABC的面积. 图 图 图 第2题图 解：(1)如答图①，直线AT即为所求. (2)如答图②，点E即为所求. 6 (3)如答图③，直线DF即为所求. 图①D 图② 图③ 第2题答图 大几何练综合 3.对称性+中点的定义[2024陕西，26]问题提出 (1)如图①，在△ABC中，AB=15,∠C=30°，作△ABC的外接圆⊙O,则ACB的长为 (结 果保留π)： 问题解决 (2)如图②，道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段AD,AC 和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口.已知点E在AC上，且AE=EC, ∠DAB=60°，∠ABC=120°，AB=1200m,AD=BC=900m,现要在湿地上修建一个新观测 点P,使∠DPC=6O°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F,并修通三条新步道PF, PD,PC,使新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分 请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时PF的长：若不存在，请说明理由（点 A,B,C,P,D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结 果保留根号)。 图① 图2 B 第3题图 第3题答图 解：(1)25π 【解法提示J连接OA,OB,则∠AOB=60,∴ACB的长为圆周长的 (2)存在满足要求的点P和点F.如答图，连接DC,取DC的中点M :∠DAB+∠ABC=180°，.AD∥BC 又：AD=BC,,四边形ABCD为平行四边形， ,过对角线AC的中点E的直线始终平分四边形ABCD的面积. 又，PF平分五边形ABCPD的面积，∴，PF平分△PIDC的面积，∴PF过DC的中点M, ,F为AB的中点，.DM=AF=600,,四边形AFMD为平行四边形， ∴，∠DMF=∠DAB=∠PFB=60°，MF=AD,∴.∠PMC=∠DMF=60° ∠a=∠m,△0r心m,g-8T=0am=mw0,=02 作CH⊥PF于点H,则HM=CM·cos60°=300，CH=CM·sin60°=3003， .PH=/PC2-CH=3005,.PF=PH+HM+MF=1200+3005(m. 答：存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为1200十300v5m.