1.探究点一 利用函数思想解决线段、面积问题(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学大小几何压轴题探究

探究点一利用函数思想解决线段、面积问题 方法探究++ 利用函数关系解决线段、面积问题的一般步骤： ①根据几何图形的相关性质及全等、相似、锐角三角函数等知识，确定线段间的数量关系； ②设其中一个量，利用数量关系表示出其他量； ③根据设问整理函数表达式； ④表示出线段或面积的函数解析式，利用函数的增减性可解决线段或面积的最值问题， 4+4 川几何练方法 1.一线三等角[2024西安铁一中五模]如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,点D,E分别是 AB,BC边上的动点，连接AE,DE.若cos∠AED-号，则AD的最小值为号 第1题图 第2题图 第3题图 2.勾股定理+等量代换[2024交大附中六模]如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4,D为边BC上一点， 过点B作BC的垂线并截取BE=CD,连接DE,则△BDE周长的最小值为4√2+4 3.周长+面积平分如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点D在AC上，点E在AB上，连 接DE.若DE同时平分△ABC的周长和面积，则AD的长为 6-w6 2 4.相似三角形的判定+性质[2024西工大附中九模节选]如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点P 在边BC上.连接AP,过点P作PQ⊥AP,连接AQ,则AQ的最小值为西 B M 第4题图 第5题图 第6题图 5.勾股定理+旋转变换[2024西工大附中九模]如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上运 动，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接AF,BF,当BF的长最小时， CE的长是3 6.勾股定理+隐形圆[2024西安铁一中滨河校区四模]如图，五边形ABMNE中，已知AE∥BM,AF= BM,AE=BF,AB=6,∠A=60°，∠N=45°，则当EF最小时，四边形EFMN面积的最大值 为 号3+92+9 大几何练综合 7.[2024宝鸡陈仓区期末【问题提出】 (1)如图①，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,点D是BC边上一点，若AD平分△ABC的 面积，则AD= 【问题拓展】 (2)如图②，在□ABCD中，AB=6,BC=8,∠ABC=60°，点E在AD边上，且AE=2,点F在 BC边上，若EF将□ABCD的面积平分，求线段EF的长度； 【问题应用】 (3)张伯伯有一块空地，如图③，四边形ABCD为空地的示意图，经测量，AB=2km,BC= 4km,∠A=∠BCD=90°，∠ABC=120°.张伯伯计划在空地内种植花卉，并且过点C修一条笔 直的小路(CG)将四边形ABCD的面积平分.请问是否存在这样的小路？若存在，请求出这条 小路的长度；若不存在，请说明理由 图① 图② 第7题图 解：(1)12 (2),EF将□ABCD的面积平分， ..CF=AE=2,.BF=BC-CF=6. 如答图①，过点A作AM⊥BC于点M,过点E作EN⊥BC于点N,则四边形AMNE为矩形， ∴.MN=AE=2,EN=AM.∠ABC=60°，∴.∠BAM=30° AB-6,:BM-7AB-3,AM-AB-BVF-33, ∴，EN=33,NF=BF-BM-MN=1 在R△ENF中，EF=√EN2+N=2√7. (3)存在。 如答图②，延长AB,DC交于点P. ∠ABC=120°，∠A=∠BCD=90°，∠D=60°，∠PBC=60°，∠P=30° .BC=4,..BP=2BC=8,.AP=AB+BP=10. 设AD=x,则PD=2AD=2x, 在R△ADP中，AP=√PD-AD,即10=√2xP-子，解得x=103 3 ∴AD=105,PD=203 3 3 在Rt△PBC中，∠P=30°，∠BCP=90°，PC=PB·csP=4w3,∴CD=PD-PC=8,3 3 六Saam=5m-5m-40·AP-Bc-265aam=89 3 过点C作CH LAD于点H,则∠DCH=30,DH=}CD=4 3 由勾股定理得CH=√CD2一DP=4 ,S△ae= 5 GDX4=解得GD=85 2 6 GH=GD-DH=5/3 由勾股定理得cG=VGF+C币=Y(km, 存在这样的小路将四边形ABCD的面积平分，这条小路的长度为6Ikm 6 P 图①D 图② 第7题答图 8.[2024西安铁一中八模]现有一块板材，如图①是由△ABC和弓形（以弦AC及其所对劣弧AC围 成)两部分组成的，工人师傅想用这块板材裁出一个△DEF型部件，要求∠EDF=90°，ED= FD,且△DEF的三个顶点分别落在AB,BC和AC上.已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6, BC=2√6，AC所在圆的圆心O恰好落在AB上，数学兴趣小组的同学们尝试利用所学知识帮工 人师傅设计出符合要求的方案。 (1)探究一：同学们首先从图形的特殊性出发进行尝试，先确定出圆心O,再以OA或OC为直角 边作出等腰直角三角形，此时得到的等腰直角三角形的面积为 (2)探究二：同学们进一步探究直角顶点D落在AC上，点E,F分别落在AB,BC上的情况，他 们准备计算出此时符合要求的等腰直角三角形DEF面积的最大值和最小值，以供工人师傅作 出选择。 同学们经过研究，设计出以下方案：如图②，i.在AB,BC上分别取点M,N,以MN为斜边在 MN上方作出△MNP,使得MP=NP,∠MPN=90°；i.作射线BP交AC于点D,作DE∥PM 交AB于点E,DF∥PN交BC于点F;ii连接EF,得到△DEF 请你帮同学们解决以下问题： ①求证：△DEF为等腰直角三角形； ②求△DEF的面积的最大值和最小值. D B B 图① 图② 第8题图 跨 【解析】如答图①，取AC的中点N,过点N作NO⊥AC,交AB于点O,过点O作OE⊥AB,交AC 于点E,连接AE.,AC所在圆的圆心O恰好落在AB上，NO⊥AC,AN=NC,∴·点O为AC所在 圆的圆心.：OE⊥AB,OA=OE,∴△OAE为等腰直角三角形.∠B=90°，AB=6,BC=2√6， AC=VAB+BC=2V5,∴AN=3AC=VE.“∠AN0=∠B=90,∠NA0=∠BAC, 0Q△ABC,8-C,即0，示六40=5，品得到的等腰直角三角形的 X5x5= （20证明：DE/N,△BNr△BED,0-品 m/DF,△BNO△BDE,-60-3PW=W,DE=DE 'DE∥PM,DF∥PN,∴.∠EDB=∠MPB,∠FDB=∠NPB. :∠MPB+∠NPB=90°，∴.∠EDB+∠FDB=90°，∴∠EDF=90°， ,∴△DEF为等腰直角三角形， ②解：如答图②，过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥BC于点H,同(1)可得点O位置，连接DO DG⊥AB,DH⊥BC,∠ABC=90°，.四边形DGBH为矩形，∠GDH=90° ,∠EDG+∠GDF=90°，∠FDH+∠GDF=90°，∴.∠EDG=∠FDH. ∠EGD=∠FHD, 在△EDG和△FDH中，∠EDG=∠FDH,.△EDG≌△FDH(AAS),.DG=DH DE=DF, ,四边形DGBH为正方形，.BG=BH=DG 由(1)得0A=0D=5,.0B=1. 设BG=DG=a,.OG=a-1. 在Rt△GD0中，0G+DG=0D,即(a-1)2+a2=5 ∴a=-3(不合题意，舍去)或a=4,DG=4,.BE十BF=BG+EG+BH一HF=2BG=8. 设BE=x,则BF=8-x.在R1△EBF中，EF2=BE2+BF2=x2+(8-x)2=2x2-16x十64. :△DEF为等腰直角三角形，∴.EF=√2DE=√2DF, SAY= 2DEDF=DE=EF=22-4+16=(x-4+8 由题意得 8-x<26,8-26<x<6, x≤6 :0,∴当X=4时，△DF的面积取得最小值为8，当=6时，△DEF的面积取得最大值为10 ∴△DEF的面积的最大值为10，最小值为8. D B 图① 图② 第8题答图 9.作差法求面积[2021陕西，26]【问题提出】 (1)如图①，在□ABCD中，∠A=45°，AB=8,AD=6,E是AD的中点，点F在DC上，且DF=5, 求四边形ABFE的面积（结果保留根号）； 【问题解决】 (2)某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图②所示，现规划在河畔的一处滩地上建一 个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工 湖OPMN,使点O,P,M,N分别在边BC,CD,AE,AB上，且满足BO=2AN=2CP,AM=OC 已知五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m,BC=1200m,CD=600m,AE= 900m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存 在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN?若存在，求四边形OPMN面积的最小值 及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由， ME 图① 图② 图① 图② 第9题图 第9题答图 解：(1)如答图①，过点A作AH CD交CD的延长线于点H,过点E作EG⊥DH于点G, 则∠H=90°，AH∥EG 四边形ABCD是平行四边形，∴.CD=AB=8,AB∥CD,.∠ADH=∠BAD=45. 在R△ADH中，AD=6,,AH=AD·sin∠ADH=3V2. :E是AD的中点，DE=AD=3 叉AH/EG,BG=AH=3渠 2 DF=5,..FC=CD-DF=3, Sam=5am-5m-5m=8X32-}X5X32-}X3X3v2=63 22 4 (2)存在.如答图②，延长AE与CD交于点K,则四边形ABCK是矩形， .'.AK=BC=1 200 m,CK=AB=800 m. AN=x m,PC=x m,BO=2x m,BN=(800-x)m,AM=OC=(1 200-2x)m, .'.MK=AK-AM=2x m,PK=CK-PC=(800-x)m, ,∴.S网边形N=S矩卷K一S△AMN一S△w一S△0P一S△K =800X120-2x120-2x1-3×2x(80--2120-2x-2×2x(00- =4(x-350)2+470000. 4>0,∴S四边形aN存在最小值，当x=350时，四边形OPMN的面积取得最小值，S形nN的 最小值为470000m2,.AM=1200-2x=1200一2×350=500900，AN=x=350600, ∴，存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN,四边形OPMN面积的最小值为 470000m2,此时点N到点A的距离为350m.