专题13 二次函数的综合应用(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学课堂讲练本

专题13 二次函数的综合应用 类型1二次函数的实际应用 2.王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园 1.[2024兰州]在校园科技节期间，科普员为同学们 装饰景观灯，提供了两个素材 进行了水火箭的发射表演，图①是某型号水火 素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观 箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看 灯，灯柱OA高为4m,抛物线型灯杆的最高点 作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同 距离地面4.5m,且到灯柱OA的水平距离为 学们进一步展开研究.如图②建立平面直角坐 1m,灯泡到地面的距离为2.5m(灯泡大小忽略 标系，水火箭发射后落在水平地面A处.科普员 不计). 提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从 素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对 发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直 称安装此抛物线型灯杆，灯泡C,D关于OA对 高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的儿 称(C,D分别在这两个抛物线上)，并在两个灯 组关系数据如下： 泡之间修建一个支架CD, 小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系， 水平距离 0 3 4 101520 22 27 请你帮他完成以下两个任务： x/m (1)求第-一象限抛物线的函数表达式（不要求写 竖直高度 0 3.244.168987.043.24 自变量x的取值范围)： y/m (2)小张同学设计的支架CD长为6m,请你结 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式： 合已学知识，判断他设计的景观灯支架CD的长 (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平 度是否符合要求，并说明理由。 距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度 m D 4.5m 5 m x/I 阁② 第2题图 第1题图 解：(1)由题意得y轴右侧的抛物线顶点坐标为 解：(1)由题意得抛物线的对称轴为直线x一 (1,4.5) 10+20=15, 设第一象限抛物线的函数表达式为y=4(x 2 1)+4.5,把A(0,4)代入y=a(x-1)2+4.5, ∴.抛物线的顶点为(15,9) 设抛物线的表达式为y=u(x一15)P+9。 得a0-1)十45=4，解得a=一 抛物线过点(10,8)， ∴，第一象限抛物线的函数表达式为y=一 (-1y+ .(10-15)u+9=8, 解得a= 4.5 25 (2)他设计的景观灯支架CD的长度符合要求， 抛物线的表达式为y=一 x-15)+8 理由：令y=-2(x-1+4.5=2.5, (2)令x=5,得y=5, 解得x=3或x=一1（舍去），D(3,2.5) ∴水火箭距离地面的竖直高度为5m. 灯泡C,D关于(OA对称， 133 C-3,2.5),∴.CD=6(m) 多》处，小球在空中所经过的路线是抛物线) ∴.他设计的景观灯支架CD的长度符合要求 3.如图①，描绘的是宋词《乌夜啼》中“绣香熏被梅 一x2十bx的一部分 烟润，枕簟碧纱厨”的场景：就寝前，被子要放在 (1)求抛物线的表达式： 熏炉和熏笼上加以熏烘，一来可以让被子气味 (2)求抛物线最高点的坐标： 宜人，二来还可以让炉中炭火把被子烘暖（熏笼 (3)斜坡上的B处有一棵树，点B是OA的三等 是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖 分点，小球恰好越过树的顶端C求这棵树的 的用具，可熏香、熏衣、熏被).如图②，将熏笼开 高度 口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线型.小 明测得熏笼的跨度为80cm,高度为32cm,小明 以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平 面直角坐标系 (1)求抛物线的表达式： 第4题图 第4题答图 (2)现有一批直径10cm,高8cm的熏炉，要使 解：A3, 是抛物线y=一x十x上的 熏笼紧贴水平桌面，请通过计算说明熏笼内 一点 排最多能放置几个熏炉(3≈1.73) 抛物线的表达式为y=一x+ 80产 图0 陶② -+号=-+8 第3题图 抛物线最高点的坐标为保， 解：(1)，熏笼的跨度为80um,高度为32cm, ∴抛物线的顶点为(0,32) ()如答图，过点A,B分别作x轴的垂线，垂足 分别为E,D 设抛物线的表达式为y=a(x一40)十32， '∠BOD=∠AOE,∠BLDO=∠AEO, 根据图象可知抛物线经过原点， .△OBD∽△OAE,OE=AEOA .OD BD OB .a(0-40)2+32=0,解得a= 50 ,抛物线的表达式为y= 0r-40)+32 :A3,2)AE=号，0E=8 当点B在靠近点O的位置时， (2)令y= 动r-40r+32=8, OD BD OB 1 OE AE OA 3 解得.x1=40+20、3,x=40-20v3. ∴.BD=号AE=2,0D=0E=L (40+203)-(40-20、3)=40V3(cm), 405÷10=4v3≈6.92. 将x=1代入y=一x+ 得 ,6.92取整最大为6，最多能放6个熏炉 ..CD= :CB-CD-BD=2. 5 答：熏笼内一排最多能放置6个熏炉 4.[2024青海]在如图所示的平面直角坐标系中，有 当点B在靠近点A的位置时， OD BD OB 2 斜坡OA,从O处抛出一个小球，落到A(3, OE AE OA =3品BD-号AE=1, 131 0-号0E-2 6.[2023卓新节选]如图，在平面直角坐标系中，二 次函数y=一x2十bx一c的图象与x轴交于点 将=2代入y=-+号，得y=3 A(一3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C. ..CD=3,.CB=CD-BD=2. (1)求该二次函数的表达式： 答：这棵树的高度是2 (2)二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x十3 类型2二次函数与儿何综合题 交于点D,若点M是直线AC上方抛物线上的 考向1线段、面积问题 一个动点，求△MCD面积的最大值. 5.[2024通辽]如图，在平面直角坐标系中，直线y 3 十3与x轴，y轴分别交于点C,D,抛物线 y=- (x一2)+k为常数)经过点D且交 轴于A,B两点 (1)求抛物线的函数表达式： 第6题图 第6题答图 (2)若点P为抛物线的顶点，连接AD,DP,CP, 解：(1)y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3. 求四边形ACPD的面积 (2)如答图，作MQ⊥AC于点Q,作ME⊥AB于 点F,交AC于点E (0A=(0C=3,∠A0C=90° “∠CA0=∠AG0=45 .∠MEQ=∠AEF=90°-∠CAO=45°. 第5题图 第5题答图 :抛物线的对称轴是直线x=一3)十1=一1， 2 解：(1)在y= 21+3中，令x=0,得y=3 .b=-1+3=2,∴.D(-1,2) .D(0,3. C(0,3),.CD②(3-ym=2, 抛物线y=一 (一2)十经过点D(0,3 “,当△MCD的边CD上的高最大时，△MCD ·-寻×(0-2)+为一3，解得=4， 的面积最大。 设过点M与AC平行的直线的表达式为y ∴y=- 1(-2)+ 2十2十3 x十， (2)如答图，连接OP 当直线y=x十m与抛物线相切时，△MCD的 面积最大， 令y= 3 x十3=0，解得x=2, 令x+m=-x-2.x十3， .C(2,0),0C=2. 整理得x2+3.x十(-3)=0， 令y= }女十叶3=0，解得=6=-2， 令△=0，则3-4(m-一3)=0， ∴.A(-2,0),0A=2. 整理得m一3=》 由y=一(x一2)+4得点P的坐标为(2，， +3x+9=0,== 3 .S四边瓶w=S△和十S△0十S =号×23+号×3×2+号×2X4 w=-(一)-2×(-)+3=5 =10. =一+3= 135 ∴ME= 153_9 8.[2024汉中汉台区一模]如图，抛物线：y=a.x2+ 424 bx+6与x轴分别交于点A(一3,0)，点B(-2, MQ=ME·sin∠MEQ-9.2 8 0),与y轴交于点C,连接AC (1)求抛物线11的表达式； ∴SAD= 号×2×9v2-9 881 (2)若抛物线2与抛物线1关于原点O对称，P 考向2三角形全等、相似问题 是第四象限抛物线L?上的点，过点P作PD⊥y 7.如图，二次函数y=a.x2十bx十3的图象与x轴 轴于点D,连接PO.若△AOC与△POD相似， 交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. 求点P的坐标. (1)求二次函数的表达式： (2)连接AC,P为第一象限 内抛物线上一点，过点P作 PD⊥x轴于点D,连接PA, 是否存在一点P,使得4OD △PDA与△COA相似？若 第7题图 第8题图 存在，请求出满足条件的点P的坐标：若不存 解：(1)设抛物线l的表达式为y=a(x十3)(z 在，请说明理由。 +2)=a(x2+5x+6) 解：(1)，二次函数y=x十十3的图象经过 y =ax"+5ax+6ia=ar2+bx+6, 点A(-1,0),B(3,0) ∴.6a=6,解得a—1 0-6+3=0, ,抛物线1的表达式为y=x2十5.x十6. 解得 19a+3b+3=0, b=2, (2)“抛物线：与抛物线（关于原点O对称， ,该二次函数的表达式为=一x十2x十 l的表达式为y=一十5x-6. (2)存在.理由如下 令1中x=0,得y=6,∴(0C=6, 设P(m,-m2+2m+3). 设P(m,-一m+56. 二次函数y=a.2+bx+3的图象与y轴交于 在R1△C0A中，n2∠0CA=9- C02 点C, ∴.C0,3) ￥∠AC=∠PD0)=90 ∴.当△A(OC与△POD相似时，∠DOP ,PDLx轴，P为第一象限内抛物线上一点， ..m>0,OD=m,PD=-m+2m+3, ∠ACO或∠DOP=∠CAO,即tam∠DOP= ..AD=0A+OD=m+1. 或2， ,△PD4与△C)M相似，∠PDA=∠CA=90°， 哭聯或器邢 -（-m+516】 2或2， 即号 m十1 解得m=1或6或4或。 一m2m+3或 -m+2m+3 m十1 在y=一x+5x一6中，当x=1时，y=-2:r=6时， 解得m=0,m:=一，m=一1，m= Jy= 12=4时0=-2，=时，=一， ,m>0,.m= 3 ,一m+2m+3= 点P的坐标为(1，一2)，(6，一12)，(4，-2)或 ∴满足条件的点P的坐标为，号》， 3- 136