专题12 圆的综合题(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学课堂讲练本

专题12 圆的综合题 类型1利用圆的基本性质进行证明与计算 (2)求tan∠BCD的值. 1.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的 ⊙O交BC于点D,交BA的延长线于点E,连 接AD,CE,DE. (1)求证：∠BAD=∠CED: H (2)若CD=20,an∠CDE=4,求AB的长. 第2题图 (1)证明：如答图，连接(OH,则∠BH=2∠BCH. ∠ADC=2∠ACD, ∴∠ADC+∠BOH=2∠ACD+2∠BCH 2(∠ACD+∠BCH)=2∠ACB. 第1题图 AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°， (1)证明：：AC为⊙O的直径， ∴.∠ADC+∠BOH=180R. ∠ADC=90,∴AD LBC. ∠ADC+∠ODH=180, ,'AB=AC,∴.∠BAD=∠CAD,BD=CD .∠BOH=∠ODH,.OH=DH. ∠CAD=∠CED,∴.∠BAD=ZCED. .AB-20H,..AB-2DH. (2)解：∠CDE=∠CAE, (2)解：如答图，过点H作HE⊥AB于点E,连 点ian∠cDE=iam∠CAE-头 接AH OH=DH,..OE-DE. AC为⊙O的直径，∴.∠AEC=90 ,D是OB的中点， ∴tan∠CAE- CE_24 ,.O月=OB=2OD=4OE AE 7 设OE=x,则)H=红，AE=5x. 设AE=7x,则CE-2x 在R△O月E中，EH=√OF-(OE=/15x, 在R△AEC中，AC=AECE区=25x ,∴.AB=AC=25.x ∴.1an∠BAH H_/5x-西 AE 5.x ∴.BE=AB+AE=32.x .BD=CD=20, '∠BCD=∠BAH,tan∠BCD=Y西 5 .BC=2CD=40. 在Rt△BEC中，BE+CE=BC, .(32.x)P+(24x)2=402, x=1(负值已舍)， .AB=25. 第2题答图 2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上一点，D是3.[2024苏州]如图，在△ABC中，AB=42,D为 OB的中点，∠AIDC=2∠ACD,延长CD交⊙O 于点H, AB中点∠BAC=∠BCD,coS∠ADC=2 (1)求证：AB=2DH: ⊙O是△ACD的外接圆： 128 (1)求BC的长： (1)求证：AC=BC: (2)求⊙O的半径. (2)若tanB=2,CD=3,求AB和DE的长. 2 第3题图 第4题图 第4题答图 解：(1)∠BAC=∠BCD,∠B=∠B, (1)证明：∠ADE=∠ACE,∠ADE=∠B, △BACn△BCD,S- .∠B=∠ACE. CE∥AB,.∠BAC=∠ACE, AB=4、2,D为AB中点， ∴.∠B=∠BAC,.AC=BC ..BD=AD=2V2,..BC=BA.BD=16, (2)解：如答图，连接AE ∴.BC=4 ∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB, (2)如答图，过点A作AE⊥CD于点E,连接CO a△E△AC,裙- 并延长交⊙O于点F,连接AF “AC为⊙O的直径，∴.∠ADB=∠ADC=90, 在R1△AED中，cOs∠CDA=A5 六nB部2AD=2BD 2,2, .CD=3,..AC=BC=BD+CD=BD++3. .DE=1,.AE=VAD-DE=7. AD+CD=AC, △BACACD,.S-2 .(2BD)+3=(BD+3)2, 解得BD=2或BD=0(舍去)， 设CD=x,则AC=2x,CE=r一1 .AD=2BD=4,AB-VAD+BD=25, 在R1△ACE中，AC=CE+A BC=BDCD-5. ∴.(2.x)=(x-1+(7) 解得=2，=一4（舍去）。 DDEDEDE-2V5. AB BC ∴.CD=2,AC=2/2 5.[2024包头]如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是 AC AE-14 sim∠AFC-=sin∠CDA-= ⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是 (OB上一点(OE>BE),连接OC,CE,且∠BOC= ∴CF= n26D-89,即00的半径为9 A 2∠BCE. (1)如图①，若BE=1,CE=√5，求⊙O的半径： (2)解题策略开放如图②，若BD=2OE,求证： BD∥OC(请用两种证法解答) 第3题答图 4.[2023成都]如图，以△ABC的边AC为直径作 ⊙O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交 图① 图② ⊙O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE. 第5题图 129 (1)解：如答图①，过点O作OH⊥BC于点H (2)若CD=,3,∠ABC=60°，求线段AF的长， ,OC=OB,OH⊥BC .∠COH=∠BOH,CH=BH. ∠BC=2∠BCE,∴.∠BOH=∠BCE. :∠CBE=∠(OBH, ∴△CBEc△OBH, 第6题图 ∴.∠CEB=∠OHB=90°， (1)证明：如答图，连接(OC, ∴.BC=EC+EB=6, C是BE的中点，∴BC=CE, ∴.∠BAC=∠CAE CH=明=9 0C=(OA,∠CA=∠OAC, ∠(OCA=∠CAD,.OC∥AD, :cos∠OBH=B盟-EB·2 AELCD,.(OC⊥DF OC是⊙O的半径， .(0B=3,∴.⊙0的半径为3 ,CD是⊙)的切线 (2)证明：证法1：如答图@，过点O作OKBD (2)解：AB是⊙O的直径，∠ACB=90°. 于点K,则BK=DK ∠ABC=60°，∠BAC=30, BD=2OE,∴.(OE=BK ∴.∠CAD=∠BAC=309 ∠CEO=∠OKB=90°，O=0 ∠D=90,CD=3,∴.AD=3CD=3. .Rt△OEC≌Rt△BKO(HI), ∠F=180°-∠D-∠BAD=30°， ∴.∠COE=∠OBK,∴.BD∥(C 1F=21D=6 证法2：如答图②，过点O作OK⊥BD于点K 则BK=DK .BD=20E,..OE-BK. os∠c0E-9票os∠0k80,(C-0B, 第书题答图 .cos∠CCO)E=co∠()BK 7.[2024通辽]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点 ∴.∠COE=∠OBK,.BD∥C O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径 作圆与AB相切于点D,连接CD, (1)求证：∠ABC=2∠ACD: (2)若AC=8,BC=6,求⊙O的半径. 图1 图② 第5题答图 类型2与切线相关的证明与计算 6.[2024东营]如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O 第7题图 第7题答图 的直径，点E在⊙O上，C是BE的中点，AE⊥ (1)证明：如答图，连接OD, CD,垂足为D,DC的延长线交AB的延长线于 ,AB为⊙O的切线，∴OD⊥AB, 点F ∴.∠ODA=∠ODB=90 (1)求证：CD是⊙O的切线： ,∠ACB=90°，∴.∠ABC+∠COD=180. 130 :∠AOD+∠COD=180, ∴.∠BOE=60,∠EFO=30, .∠ABC=∠AOD .EF=OE·tan60°=2、3， :∠AOD=2∠ACD, ∴.S明影=S△B0一Sm彩E ∴.∠ABC=2∠ACD. -×2x2后 60π×2 (2)解：设⊙O的半径为r,则OD=(C=r, 360 (0A=8-r =23-警 在R1△ACB中，AB=AC+BC=10. 9.[2024准安]如图，在△ABC中，BA=BC,以AB ∠OAD=∠BAC,∠ADO=∠ACB, 为直径作⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥ △M0△Mic,820 BC,垂足为E,延长DE交AB的延长线于点F. (1)求证：DF为⊙O的切线： 即背-86，解得=3，即⊙0的半径为3 (2)若BE=1,BF=3,求sinC的值. 8.[2024宁夏]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB 为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延 长交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AB的 延长线于点F 第9题图 第9题答图 (1)求证：BC∥EF: (1)证明：如答图，连接OD,BD (2)连接CE,若⊙O的半径为2.sin∠AEC2: AB为⊙O的直径， 求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）， ∠ADB=90,.BD⊥AC AB=CB,点D为AC的中点 :点O为AB的中点， D ,OD为△ABC的中位线， .ODBC,∴.∠ODE=∠DEC E DE⊥BC,.∠DEC=0, 第8题图 第8题答图 ∠ODE=909,.DFL(0D. (1)证明：如答图，连接OE交BC于点G ,OD为⊙O的半径，.DF为⊙O的切线 OA=(OE,.∠0AE=∠OEA D为△ABC的内心 (2)解：由勾股定理得EF=/BF一BE=2、2 .∠OAE=∠CAE, 由(1)知BE∥OD,∴.△(ODFC∽△BEF, ∠(OEA=∠CAE,.(OE∥AC 邵跳膘 又，AB为⊙)的直径，∴.∠ACB=90°， .BE=1,BF=3,OB=OD, .∠BG0=90° 又，EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径， :3+0B_0B_22+DE 2√2 ∴.∠FEO=90°，∴.∠BGO=∠FEO, .BC∥EF. 解得OB=,DE=2,AB=3 (2)解：如答图，连接BE 在R1△BDE中，BD=/BE+DE=/. :sim∠ABC-2∠AEC=30, ,BA=BC,∴∠C=∠A, ∴.∠ABC=∠AEC=30°， ∴sinC=sinA BD3 AB 3 131 10.[2024贵州节选]如图，AB为半圆O的直径，点11.[2023孝感]如图，在△ABC中，以AB为直径 F在半圆上，点P在AB的延长线上，直线PC 的⊙O交BC于点D,DE是⊙O的切线，且 与半圆相切于点C,与OF的延长线相交于点 DE⊥AC,垂足为E,延长CA交⊙O于点F. D,AC与OF相交于点E,DC=DE. (1)求证：AB=AC: (1)求证：OD⊥AB; (2)若AE=3,DE=6,求AF的长 (2)若OA=2OE,DF=2,求PB的长. 第11题图 第10题图 (1)证明：如答图，连接OD. (1)证明：如答图，连接OC DE是⊙O的切线， :PC与半圆相切于点C,∴∠OCD=90, ..OD DE ∴.∠DCE+∠AC)=90 DE⊥AC,∴.OD∥AC, OA=OC,.∠A=∠AC) .∠C=∠ODB .DE=DC, OD=OB,∴∠B=∠ODB, .∠DCE=∠DEC=∠ABO内 ∠B=∠C,∴AB=AC ∴.∠A+∠AE)=90°， (2)解：如答图，连接DF,DA. .∠AOE=90°，.(OD⊥AB ∠F=∠B,∠B=∠C (2)解：设OE=x ∠F=∠C,DF=DC 0A=20E,∴.A0=2.x DE⊥CF,.FE=EC ∴.EF=OF-(OE=E ,AB是⊙O的直径， .DE=DC=+2,OD=2H2 ∠4DB=90, .OC+CD=OD ∴∠AIDC=90,∠1DE+∠CDE=90 ∴.(2x)2+(x+2)=(22) DE⊥AC,.∠C+∠CDE=90, x=4或x=0(不符合题意，舍去) ∠C=∠ADE .OD=10,(0C=0B=8,CD=6 ∠AED=∠CED=90°， ,∠DOP=∠OCD=90, ∴.△DAE∽△CDE, ∴.∠D+∠DOC=∠TDC+∠COP=90, 器提 .∠D=∠COP,.△CDO∽△COP, 63 0需…品8 AE=3,DE-6,六CE-G ∴.CE=12,.EF=EC=12, P0-号PB=P0-0B= 3 ..AF=EF-AE=9. B 第11题答图 第10题答图 132