专题7和8 简单的几何证明 方程（组）与不等式（组）的实际应用(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学课堂讲练本

专题7简单的几何证明 类型一以三角形为背景 4.如图，△ADC与△EDG均为等腰直角三角形， 1.[2024乐山]如图，AB是∠CAD的平分线，AC 连接AG,分别与CE,CD相交于点H,B.求 AD.求证：∠C=∠D, ∠AHE的大小. 证明：，AB是∠CAD的平分 线，.∠CAB=∠DAB 在△ABC和△ABD中， AC=AD, ∠CAB=∠DAB, 第1题图 第4题图 AB=AB, 解：△AIDC与△EIDG均为等腰直角三角形， ∴.△ABC≌△ABD(SAS),∴.∠C=∠D .AD=(D,DG=DE,∠ADC=∠GDE=90°， 2.如图，在Rt△ABE中， ∴.∠AIDC+∠CLDG=∠GDE+∠CIDG, ∠AEB=90°，DF⊥AB于 点F.C为AE延长线上的 即∠ADG=∠CDE 一点，CD⊥AD且延长线 .△ADG≌△CDE(SAS), 第2题国 交AB于点G.若FD= ∴.∠DAG=∠IDE ED.求证：∠BAC=2∠CDE. 又∠ABD=∠CBH, 证明：DF⊥AB,∠AED=90 ∴∠CHB=∠ADB=90', ·∠AFD=∠AED=90 .∠AHE=180°-∠CHB=90 AD-AD, 5.如图，AB∥CD,BE平分∠ABC,E为AD的中 在R△ADF和R△ADE中，D=ED. 点，连接CE.求证：BC=AB十CD, .Rt△ADF≌R△ADE(HL) .∠DAF=∠DAE ,CD⊥AD, ·∠CDE+∠ADE∠DAE+∠ADE, ∴.∠CDE=∠DAE=∠DAF, 第5题图 第5题答图 .∠BAC=∠DAE+∠DAF=2∠CDE 证明：如答图，延长CD,BE交于点F 3.如图，在△ABC中，D是边AB上一点，BD= ,AB∥CD, AC,作∠ABE,使∠ABE=∠C,且BE=BC,连 ·∠A=∠EDF,∠ABE=∠F 接DE.求证：DE∥AC 点E为AD中点，AE=DE 证明：在△ABC和△DEB中， 又'∠BEA=∠FED, AC=DB, .△ABE≌△DFE(ASA),∴.AB=DF ∠C=∠DBE, BE平分∠ABC, BC=EB, ∠ABE=∠CBE, ∴.△ABC≌△DEB(SAS), 第3题图 ∠CBE=∠F, ∴∠A=∠BDE,∴.DE∥AC ..BC=FC=DF+CD=AB+CD. 117 类型二以四边形为背景 9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,点A到 6.如图，菱形ABCD中，E,F分别为BC,CD上的 CB,CD的距离相等.求证：AB⊥AD 点，且CE=CF.求证：AE=AF D 第9题图 第9题答图 第6题图 证明：如答图，作AM⊥CD于点M,AN⊥CB交 证明：，四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD=AD,∠B=∠D. CB的延长线于点N, .CE=CF,'.BE=DF. 由题意得AM=AN. AB=AD, AD=AB, 在△ABE和△ADF中，∠B=∠D, 在R△AMD和R△ANB中，AM=AN, BE-DF, .Rt△AMD≌R△ANB(HI.) .△ABE≌△ADF(SAS),.AE=AF .∠MAD=∠NAB 7.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,CD ∠N=∠C=∠AMC=90°， 边上，且AE=AF,∠CEF=45°.求证：四边形 ,四边形ANCM为矩形， ABCD是正方形. ∴.∠NAB+∠BAM=90, 证明：，四边形ABD是矩形，D ∴.∠MAD+∠BAM=90,即AB⊥AD, ∴.∠B=∠D=∠C=909 10.如图，已知四边形ABCD是矩形，BE⊥AC于 .AE=AF, 点E,DF⊥AC于点F,连接DE,BF,求证：四 ∠AFE=∠AEF 边形BEDF是平行四边形 ,∠CEF=45°，∠C=90 第7题图 ∴.∠CFE=45,∴.∠AEB=∠AFD ∠B=∠D. 在△ABE和△ADF中，∠AEB=∠AFD, AE-AF 第10题图 ∴.△ABE≌△ADF(AAS),∴MB=AD 证明：，四边形ABCD是矩形， ,四边形ABCD是正方形 .AB=CD,AB∥CD, 8.[2024哈尔滨节选]四边形ABCD的对角线AC, .∠BAE=∠DCF BD相交于点O,AD∥BC,OA=OC,AB=BC 又：BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F, 求证：四边形ABCD是菱形 .BE∥DF 证明：：AD∥BC, ∠BEA=∠DFC, ∴.∠ADO=∠CBO 在△ABE和△CDF中， 在△ADO和△CBO中， ∠BAE=∠DCF, |∠ADO=∠CBO, AB=CD, ∠AOD=∠COB, 第8題图 ∴.△ABE≌△CDF(AAS), OA=OC, .BE=DF. ∴.△ADO≌△CBO(AAS),∴.OD=OB, 又：BE∥DF, ,四边形ABCD是平行四边形 ,四边形BEDF是平行四边形 ,AB=BC,.四边形ABCD是菱形 118 专题8方程（组）与不等式（组）的实际应用 1.[2024山西（有改动）门当下电子产品更新换代速 绩的增长率均相同.若小明中考数学成绩为108 度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理 分，求小明后两次考试成绩的平均增长率， 废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其 解：设后两次考试成绩的平均增长率是x 中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机 由题意得75(1十x)=108, 中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意， 吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨 舍去) 废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从 答：小明后两次考试成绩的平均增长率是20%. 每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多 4.一个人从县城骑车去乡村.他从县城骑车出发， 少克 用30min行完了一半路程，这时，他加快了速 解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克 度，每分钟比原来多行50m.又骑了20min后， 白银y克 他从路旁的里程标志牌上知道，需要再骑2km y=x+760, 才能赶到乡村，求县城到乡村的总路程 由题意得 0.6y=2.5.x 解：设原来的速度是xm/min r=240, 根据题意得30x一(xr+50)×20十2000， 解得 y=1000 解得x=300 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克， 300×30×2=18000(m)=18(km). 白银1000克 答：县城到乡村的总路程是18km 2.[2024达州节选]为拓宽销售渠道，助力乡村振5.[2024山西（有改动）门为加强校园消防安全，学校 兴，某乡镇帮助农户将A,B两个品种的柑橘加 计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器 工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼 共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个， 盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25 干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这 件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的 两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可 总价共3500元.求A,B两种柑橘礼盒每件的 购买这种型号的水基灭火器多少个？ 售价分别为多少元？ 解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购 解：设A品种柑橘礼盒每件的售价为r元，则B 买干粉灭火器(50一x)个 品种柑橘礼盒每件的售价为(x十20)元 由题意得540.x十380(50-，x)≤21000， 由题意得25.x+15(x+20)=3500, 解得x≤12.5 解得x=80, ,x为整数，∴x取最大值为12 x+20=100. 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个 答：A品种柑橘礼盒每件的售价为80元，B品种6.[2024大庆]为了健全分时电价机制，引导电动汽 柑橘礼盒每件的售价为100元 车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价 3.某校九年级学生小明一模考试的数学成绩是75 制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00一23：00， 分，经过不断努力，小明二模、中考两次考试成 用电低谷时段（简称谷时）：23：00一次日7：00， 119 峰时电价比谷时电价高0.2元/度.市民小萌的 1亩乙作物需要y名学生 电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费 3x+2y=27, x=5, 由题意得 解得 为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与 2.x+2y=22, y=6. 谷时用电量相等，求该市谷时电价 答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙 解：设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电 作物需要6名学生 价为(x十0.2)元/度 (2)设种植甲作物m亩，则种植乙作物(10一 由题意得02 2,解得x=0.3, m)亩 由题意得5十6(10一m)≤55， 经检验，x=0.3是所列方程的解，且符合题意。 解得m≥5， 答：该市谷时电价为0.3元/度 ∴m的最小值为5. 7.[2024徐州]中国古代数学著作《张邱建算经》中 答：至少种植甲作物5亩」 有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲 9.如图，足球的表面是由若干块黑色五边形和白 得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问 色六边形皮块围成的，黑、白皮块的数目比为 甲、乙怀钱各几何？”间题大意：甲、乙两人各有 3:5,一个足球的表面一共有32块皮块，白色 钱币若干枚.若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币 皮块占球面的表面积约是黑色皮块所占球面表 数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙 面积的1.5倍，已知球体的表面积计算公式是 钱币数的6倍：若甲给乙10枚钱，此时两人的钱 S=4πR(R为球的半径). 币数相等.问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用 (1)黑色和白色皮块各有多少块？ 二元一次方程组解答上述问题 (2)若一个足球的半径R为10cm,黑色皮块所 解：设甲有x枚钱币，乙有y枚钱币 占的面积约为多少？（π取3.14） x+10=6(y-10) 由题意得 x-10=y+10 x=38, 解得 y=18. 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 第9题图 8.[2024贵州门]为增强学生的劳动意识，养成劳动的 解：(1)设黑色皮块有3.x块，则白色皮块有5x块 习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学 根据题意得3.x十5.x=32, 校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、 解得x=4 乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物 .黑色皮块有3×4=12（块）， 需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物 白色皮块有5×4=20（块）： 需要22名学生. 答：黑色皮块有12块，白色皮块有20块 (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少 (2)设黑色皮块所占的面积为S©m,则白色皮 名学生？ 块所占的面积为1.5Scm' (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数 根据题意得S十1.5S=4π×102， 不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 解得S=160π502.4(cm). 解：(1)设种植1亩甲作物需要x名学生，种植 答：黑色皮块所占的面积约502.4m 120