4.第四章 三角形（(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学课堂讲练本

本章知识结构导图 性质 对应边、角、周长、面积 两点确定一条直线 全等三角形 判定] SSS,SAS,ASA,AAS,HL 雨点之间，线段最短 直线与 常见类型 平移型、对称型、旋转型、 两，点间的距离 绒积 一线三等角 角的分类 线段的中点 比例的性质 性质、逆定理 余角、补角 角及角 相似三角形 角平分线 平分线 线段、角 (含位似) 黄金分割 判定 三线八角 相文线与 平行线分线段成比例 垂线段最短 平行线 磨钱 相似三角 性质 对应边、角、周长、面积 点到直线的距离 相交线与 形的性质 性质 平行线 判定 与判定 性质、到定垂直平分线 常见类型 A字型、8字型、旋转型、 誉 荆定 三角形 一线三等角 平行线 相似比 平行线间 真命题、假命题、逆命题 命题 图形的位似 的距 隐定性 作图：位似变换 三边关系 分类 锐角三角面数的定义 正孩、余弦、正切 一般三 内角和定理、内外角关系 甚本性质 角形及 特味前的三角函数值 30°，45°，60° 油 边角关系 其质 锐角 面积 三 角 三边关系（勾股定理） 崽 高线、中线、角平分线、中位线 重要线段 及 解直角三角形 角的关系（两锐角互余） 应用 锐角三角彩函 边角关系（锐角三角菡数） 等边对等角、三线合门 等腰三角形 数的实际应用 等选三角形 特 三角形 勾胶定理： 常见数据类型 常见图形类型 数学文化 赵爽弦图 直角三角形 御角 坡度 等腰直角三角形 俯角 坡角 方向角 个直角三角 背背型 拥抱型 形 第15节线段、角、相交线与平行线 [3分] 【教材链接】北师：七（上）第四章P106~P121,七（下）第二章P38P54,八（上）第七章P162~P177, 八（下）第一章P22~P32: 人教：七（上）第四章P125~P141,七（下）第五章P2~P27,八（上）第十二章P48~P52. 季一题多练过基础 沪教七下P64改编如图，直线1,2被直线la,l,所(3)若FH=3,则点F到直线l的距离为3； 截，交点分别为A,B,C,D,BD是∠ABC的平分线，F (4)连接AC.若AC是∠BCD的平分线.请回答下 为BD上一点，FH⊥BC于点H,G为BC的中点. 列问题： ①下列条件中，能够证明4∥12的是a,c,d; AD a.∠1=∠2：b.∠2=∠3：c.∠4=180°-∠3- ∠2：d∠5=2∠2. B H G ②若直线4∥1，∠4=56°.∠1=39°，则∠3=85°， (1)若H为BG的中点，GH=2,则BC=8: ∠5=78， (2)若∠ABC=58°24'，则∠ABC余角的度数为 ③若点A到2的距离为5，点F到12的距离为1， 3136,∠ABC补角的度数为12136， 则点F到1的距离为4 ∠ABD=29.2; 冬教材知识构体系 (1)经过两点有一条直线，并且只有①一条直线（两点确定一条直线） 两个基本事实 (2)两点之间，②线段最短 线段的和与差：如图①，在线段AC上取一点B,则有③AB十BC=AC:AB=AC一④BC: BC=③AC-AB 线与线 B 图① 图② 线段、角、 线段的中点：如图②，点B把线段AC分成相等的两条线段AB,BC,则点B叫做线段AC 相交线与 的中点，即AB=⑥BC=2AC 平行线 两点之间的距离：连接两点之间的线段的长度 (6年5次) 度、分、秒的换算：1°=60'，1'=60”，度、分、秒之间是60进制 余角：如果两个角的和为⑦90°，那么这两个角互为余角 角及角 余角、补角补角：如果两个角的和为⑧180°，那么这两个角互为补角 平分线 性质：同角（等角）的余角⑨相等，同角（等角）的补角⑩相等 性质：①角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线 逆定理：角的内部到角的两边距离②相等的点在角的平分线上 50 三线八角：对顶角：邻补角：同位角；内错角：同旁内角 (1)在同一平面内，过一点有且只有⑧一条直线与已知直线垂直 相交线 垂线的性质 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，@垂线段最短 线段垂直性质：⑤线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的G垂直平分线上 段、角、 公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相⑦平行 及推论 (注：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行) 交 (1)同位角⑧相等 判定两直线平行 性质 平 平行线的性 (2)内错角©相等 质和判定 器两直线平行 线 (3)同旁内角@互补 警两直线平行 定义：过一条平行线上任意一点作另一条平行线的垂线，④垂线段的长度叫做两 平行线间 条平行线间的距离 的距离 性质：两条平行线间的距离处处@相等 云真题摸拟明考向 命题平行线的性质与判定 4.跨学科·物理)[2024陕师大附中六模]如图，在 1.[2024陕西，3]如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B 水中平行的光线(AB∥CD),经过折射，在空气 145°，则∠D的度数为 (B) 中也是平行的(BE∥DF).若杯底与水面平行 A.25 B.35 C.45 D.55 (AC∥BD),∠1=44°，∠2=72°，则∠ABE的 度数为 (B) EE D 第1题图 第2题图 2.[2023陕西，3]如图，1∥AB,∠A=2∠B.若∠1 108°，则∠2的度数为 (A) C A.36° B.46 C.72 D.829 第4题图 2一1.变图形一改变线段位置如图，1∥AB,BA= A.172 B.152 C.142 D.116 BC.若∠1=108°，则∠2的度数为 (B)5.[2024交大附中二模]如图②为商场某品牌椅子 A.18 B.36 C.54° D.72 (图①)的侧面图，∠DEF=121°，DE与地面平 行，∠ABD=48°，则∠DCE= (B) F 第2一1题图 第3题图 3.[2022陕西，2]如图，AB∥CD,BC∥EF.若∠1= 图 图2 58°，则∠2的大小为 (B) 第5题图 A.120° B.122 C.132° D.148 A.78° B.73° C.69° D.61° 第16节三角形及其性质（含特殊三角形） [3-6分] 【教材链接】北师：七（下）第四章P80~P91,八（上）第一章P1~P19、第七章P178~P183,八（下）P2~ P21、第一章P28P29、第六章P150~P152: 人教：八（上）第十一章P1~P18,第十三章P75~P93,八（下）第十七章P21~P39. 季一题多练过基础 苏科七下P25改编已知，在△ABC中，D为BC边2.冀教八上P143改编已知△ABC中，AB=BC 上一点，连接AD. 图1 图② 第2题图 图① (1)若△ABC的两边分别为6和3，则△ABC的 第1题图 周长为15； (1)如图①，E为AB边上一点·连接DE (2)如图①，点D在BC的延长线上，CD=AC ①若AB=9,AC=6,则BC边长度的取值范围 ①若∠D=35°，则∠B=40°： 为3<BC<15: ②若∠CAD=30°，S△m=43,则△ABD的周 ②若∠BAC=2∠B=号∠C.则∠BAC= 80: 长为62+2,6，Sxm=23: ③若AD是BC边上的中线，△ABD的周长比 (3)如图②，点D在AC边上，E是AB边上的中 △ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则 点.若AB=13,AC=24,DE⊥AB于点E,则 AB=8: AC边上的高为5，DE= 65 (2)如图②，E,F分别为AD,AC上一点，连接 24 BF,CE,DF. 3.醒教八上P161改编如图，在△ABC ①若D是BC边的中点，且ADBC,CD=2,BD= 中，∠ACB=90°，D为AC上一 AD,则△ABC的面积为4： 点，DE⊥AB,垂足为E,且BE ②若D为BC的中点，E为AD的中点，△ABC的 BC,BD与CE相交于点F. 面积为24，则△CDE的面积为6： (1)若∠ABC=68°，则 第3题图 ③若D为BC的中点，F为AC边的中点，AB=6, ∠A=22°； 则DF=3:设△CDF的周长为C1,△ABC的 (2)若∠A=45°，AC=4,则AB=42, 周长为C,则C,与C2之间的数量关系为C △ABC的周长为8十42，S△=8： 2C: (3)当CD=1时，请回答下列问题： ④若AD平分∠BAC,∠BAD=40°，∠ABC= ①若∠A=30°，则ED=1,∠DCF=30°， 45°，则∠ADC=85°·∠ACB=55°： SAAD=3 ⑤若DF为△ADC的高线，∠CAD=43°，∠BDA= 2 95°，则∠CDF=38. ②若AC=v2BC,则tanA= 2 ,AC=3+1 52 教材知识构体系 三边都不相等的三角形 按边分 底边和腰不相等的等腰三角形 三角形的分类 等腰三角形 ①等边三角形 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 三边关系：若一个三角形的三边分别为a,b,c,则②a一b<c<a十b 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180° 三角形的边、角关系角的关系任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角 中线 高线 角平分线 中位线 图示 B D D B D AD是△ABC AD是△ABC AD是△ABC DE是△ABC 三角形及 的中线 的高线 的角平分线 的中位线 其性质 (含特殊 AD BC,即∠ADB ∠BAD=∠CAD= DE∥BC,DE= 三角形) 性质 BD-LDC-③ BC ∠ADC=90 (6年9次) 4BAC 1 0号 BC 三 面积 S△uD=S2e S:m=⑤ BD 重要线段 关系 ④ SANC DC SME=⑦ (1)三角形的三条角 平分线的交点是三 角形的内心： 三角形三条中线的 三角形三条高所在 (2)内心到三角形三 延伸交点是三角形的 直线的交点是三角 边的距离相等 重心 形的垂心 注：外心是三角形三 条边的垂直平分线 的交点，即三角形外 接圆的圆心 3 续表 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形 图示 三角形及其性 1.两直角边互相垂直 1.两直角边互相垂直 边 两腰相等 三边相等 2.勾股定理：若直角三角形的两直角边 2.三边长的比为1： 分别为a,b,斜边为c,则有十？=己 1:2 含特 1.两锐角均为45 每一个角都等 角 两底角相等 两锐角和等于90 2.两锐角和等于90° 三角形 于60 3.两底角相等 1,30°角所对的直角边是斜边的一半 边角 等边对等角，等 直角三角形斜边上的 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边 关系 角对等边 中线等于斜边的一半 的一半 是轴对称图形， 是轴对称图形， 是轴对称图形，有1条 对称性 有1条对称轴 有3条对称轴 对称轴 季真题模拟明考向 命题点刀三角形的内外角关系 的长是 (A) 1.[2024西安爱知中学三模]如图，在△ABC中，AD B.1 C.2 D.2 平分∠BAC交BC于点D,∠C=30°，∠ADB 80°，则∠B的度数是 (A)》 A.50° B.60 C.70 D.80 D D E 第3题图 第4题图 4.[2024西安铁一中期中]如图，在△ABC中，AB D AE,且AD⊥BC交BC于点D,EF垂直平分 第1题图 第2题图 AC,分别交边AC,BC于点F,E.若△ABC的 2.[2021陕西，4]如图，点D,E分别在线段BC,AC 周长为16，AC=6,则DC为 (A) 上，连接AD,BE.若∠A=35°，∠B=25°， A.5 B.8 C.9 D.10 ∠C=50°，则∠1的大小为 (B) 5.[2024榆林榆阳区期末]如 A.60° B.70 C.75 D.85 图，在△ABC中，AD是 命题点2三角形中的重要线段 BC边上的中线，CE是B 3.[2024西安铁一中月考]如图，在Rt△ABC中，AC= △ACD的高.若AD= 第5题图 3,BC=4,∠C=90°，D,E分别为BC,AC的 CD,∠DCE=30°，则∠B的度数为 (C) 中点，BF平分∠ABC,交DE于点F,则EF A.20 B.25 C.30 D.35 51 6.[2024西安逸翠园中学模拟]如图，在△ABC中，11.[2024西安曲江校级模拟]2024年5月24日一26 M是BC边上的中点，AN平分∠BAC,BN⊥ 日，中国图象图形大会(CCIG2024)在陕西省西 AN于点N.若AB=7,MN=3,则AC的长 安市曲江国际会议中心 为 (B) 召开，大会的主题为“图 聚智生，象合慧成”.在 第11题图 “自动化立体库”中有许 多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意 图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12m,则 第6题图 腰上的高是 (A) A.14 B.13 C.12 D.11 A.63 m B.6 m C.4√/3mD.4m 命题点3特殊三角形的性质 12.[2024西安铁一中期中]如图， 7.[2024陕西，5]如图，在△ABC中，∠BAC=90°， △ABC和△DEF均为等边 AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接 三角形，点D,E,F分别在 AE,则图中的直角三角形共有 (C】 边AB,BC,AC上.若 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 △ABC的周长为15，AF= 第12题图 2,则BE的长为 (B) A.2 B.3 C.4 D.5 13.[2024交大附中期未]已知等边三角形的边长为 第7题图 第8题图 3,P为等边三角形内任意一点，则点P到三边 8.[2024西安爱知中学月考]如图，在Rt△ABC中， 的距离之和为 (B) ∠ACB=90°，D为AB的中点，连接CD.若 2 B3号 c D.不能确定 CD=5,AC=6,则BC的长为 (B) 14.2024西安高新-中五摸]如图，在△ABC中， A.52 B.8 C53 D.10 AD⊥BC交BC于点D,∠ACD的平分线交 9.[2024宝鸡金台区二模]如图，在△ABC中，AB AD于点E,DE=3,∠B=45°，∠ACB=60°， AC,∠ACD=50°，D是BC的中点，点E在AC 则AB的长为 (C) 上，且AE=AD,则∠AED的度数为 (C) A.32 B.3w3 C.36 D.43 A.40 B.60 C.70 D.80 第9题图 第10题图 第14题图 第15题图 10.[2024西安铁一中滨河校区四模]在等腰三角形15.[2024西安逸翠园中学模拟]如图，在Rt△ABC ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，一含30°角的 中，∠BCA=90°，AC=BC,CD为AB边上的 三角板如图放置（一直角边与BC边重合，斜边 中线，AE为CD边上的中线.若BC=4,则AE 经过△ABC的顶点A),则∠a的度数为(B) 的长为 (C) A.15°B.20 C.30 D.40 A.v6 B./7 C.√10 D.3 5 第17节全等、相似三角形的性质与判定 [6年8次，3~8分] 【教材链接】北师：七（下）第四章P92~P104、P108~P113:九（上）第四章P75~P123: 人教：八（上）第十二章P30~P56;九（下）第二十七章P23~P59. 季一题多练过基础 1.人教八上P44改编如图，在△ABC和△DEF (1)若AC=4,E为AC 中，FC=3,∠A=∠D,AC=DF,FE和AC在 边上靠近点A的黄金分 同一条直线上 割点，则AE=6二 25: 第2题图 (2)若EF∥AB,CE=3,AE=1,BC=8,则 CF-_6AB- EF ,图中的相似三角形有 第1题图 △ABO△EFC,△EFO△BAO; (1)要使△ABC≌△DEF,可添加条件AB (3)在(2)的条件下，连接AF,BE,AF与BE交于 DE(写出一个即可)，判定依据为SAS: 点0.则OE与OB的数量关系为OE=0B: (2)若△ABC≌△DEF,则： (4)将△CEF沿EF翻折，点C的对应点D恰好 ①若BC=6,DF=11,则AC=11,EF 落在AB上，△CEF与△ABC相似.则 6,AE=14: ①当EF∥AB,且AC=BC=2√2时，DE的长 ②若∠A=30°，∠ACB=110°，则∠E=40 2.北师九上P79改编如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 为2； 点E,F分别在边AC,BC上 ②当AC=6,BC=8时，AD的长为 18或5 奇教材知识构体系 1.全等、相似三角形的性质 对应关系 全等三角形 相似三角形 角 ②相等 边 中位线 中线 ①相等 比值等于③相似比 高线 角平分线 周长 面积 面积比等于④相似比的平方 56 2.全等、相似三角形的判定 三角形相似 三角形全等 已知条件 示意图 增加条件 示意图 的判定方法 的判定方法 两角对应 两角及其⑥夹边 两角 ⑤相等 对应相等(ASA) 两角及其一角所对边 两边对应边成比 组对应 对应相等(AAS) 两边一角 例，且夹角相等 边相等 两边及其⑦夹角 相等(SAS) 三边对应 三边 ⑧成比例 三边对应相等(SSS) 直角边和斜边对 条直角边 条直角边和斜边分 直角 应成比例（应用 和斜边分别 别相等的两个直角三 三角形 时需证明) 相等 角形(HI) 3.图形的位似 性质 位似变化与坐标的关系 (1)位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质： 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画 (2)对应点的连线经过同一点： 出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似 (3)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之 比为飞，那么与原图形上的点(x.y)对应的位似图形 比等于相似比： 上的点的坐标为（一x,一y)或(kx,y)(注：有两 (4)位似图形中的对应边平行（或在同一条直线上） 种情况) 4.常见全等、相似类型 类型 模型解读 对称型全等 D △ABC≌△ABD △ABC≌△DBE 平移型全等 △ABC≌△DEF E B 8字型相似 D D △AOB∽△DC △AOBP△COD 续表 类型 模型解读 A字型相似 B C(E)BA △ADE∽△ABC △ADEP△ACB,△BMD∽△EMC D 旋转型 绕A点旋转△ADE,连接BD,CE,则△ADE∽△ABC,△ABD∽△ACE. 特别地，当AB=AC或AD=AE时，△ABD≌△ACE 真题模拟明考向 命题点刀全等三角形的相关证明与计算 证明：DE∥AD, 1.[2021陕西，7]如图，AB.BC.CD,DE是四根长度 ∠EIDC-∠B. 均为5cm的火柴棒，点A,C,E共线.若AC= 在△CDE和△ABC中 6cm,CD⊥BC,则线段CE的长度是 (D) ∠EDC=∠B, CD=AB, ∠IDCE=∠A 第1题图 .△CDE≌△ABC(ASA), A.6 cm B.7 cm C.62 cm D.8 cm .DE=BC. 2.解题策略开放[2024陕西，13]如图，在△ABC中，4.2023陕西，18]如图，在△ABC中，∠B=50°， AB=AC,E是边AB上一点，连接CE,在BC的 ∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长 右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC EA至点D,使AD=AC,在边AC上截取AF= 13,BC=10,则四边形EBFC的面积为60. AB,连接DF,求证：DF=CB. D 第2题图 B E 3.[2022陕西，18]如图，在△ABC 第4题图 中，点D在边BC上，CD AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.BD 证明：在△ABC中，∠B-50°，∠C=20°， 求证：DE=BC .∠CAB=180°-∠B-∠C=110° 第3题图 :AE⊥BC 58