精品解析： 安徽省合肥市包河区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，都在反比例函数的图像上则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点E在的边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在由小正方形构成的网格中，连接小正方形中两个顶点A、D，线段与网格线的其中两个交点为B、C，若，那么长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 航航同学参加滑雪运动，航航的爸爸帮助他测得某一次滑雪的数据，已知在某个时间段内，滑行的距离与滑行时间成二次函数关系，请你能根据表中的数据，帮助航航同学计算出他滑行10秒时，滑行的距离是（ ） 滑行时间t 0 1 2 3 … 滑行距离s 0 4.5 14 28.5 … A. 240m B. 270m C. 300m D. 288.5m 9. 二次函数的图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号为（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②③ 10. 如图，矩形中，，E为边上一点，且，过A点作于点M，连接并延长交于N，交于点F．下列结论：①；②M为的中点；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 某市地图的比例尺为，若该市地图上甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为______． 12. 请你写出一个函数，使得当自变量时，函数y随x的增大而减小，这个函数的解析式可以是___________． 13. 如图，在中，，，动点P从点A出发到B点停止，动点Q从点C出发到A点停止，点P运动的速度为，点Q运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动的时间是______． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为． （1）若该抛物线与x轴交于点，则______； （2）已知点，，若该抛物线与线段始终有两个不同的交点，则n的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知线段满足，且．求线段的值． 16. 已知二次函数的图象顶点是，且过点，求这个二次函数的解析式． 17. 如图是由边长为1的小正方形组成的的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上． （1）猜想：的度数为______； （2）请在网格中只用无刻度直尺作一个格点（各顶点均在格点上），使，且相似比不为1．（按要求作图，不要求写画法） 18. 已知二次函数． （1）用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； （2）画出此函数的图象（不用列表），并直接写出当时x的取值范围． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出满足时x的取值范围． （3）连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 20. 如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高． 21. 已知抛物线与x轴交于两点，其中一点坐标为． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若抛物线，当时，有最大值为8，求m的值； 22. 如图，正方形中，对角线相交于点O，E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F，交于点M，连接交于点N，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 23. 某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． （1）求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； （2）求最小档位时小球射出的最大射程； （3）要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，掌握比例的基本性质是解题的关键． 根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：由已知可得， A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，故本选项不符合题意； C、由得，，故本选项不符合题意； D、由得，，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数（，，为常数）的性质，解题的关键是的顶点是． 【详解】解：由题意，二次函数为， 其顶点为． 故选：C ． 3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，熟练掌握其基本知识是解题的关键． 利用待定系数法即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ， 故选：A． 4. 抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移．根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位， 所得到的抛物线是， 故选：A． 5. 已知点，，都在反比例函数的图像上则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．已知三个点的横坐标，需比较其对应的纵坐标大小。由于反比例函数中，当时，函数在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．通过代入各点横坐标计算对应的值，即可比较大小． 【详解】解：由题意代入点：； 代入点：； 代入点：； ， ． 故选：B． 6. 如图，的顶点E在的边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，能判定，故A不符合要求； ∵，， ∴，能判定，故B不符合要求； ∵，， ∴，能判定，故C不符合要求； ，，不能判定，故D符合要求； 故选：D． 7. 如图，在由小正方形构成的网格中，连接小正方形中两个顶点A、D，线段与网格线的其中两个交点为B、C，若，那么长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，证明三角形相似是解此题的关键． 证明，得出即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 航航同学参加滑雪运动，航航的爸爸帮助他测得某一次滑雪的数据，已知在某个时间段内，滑行的距离与滑行时间成二次函数关系，请你能根据表中的数据，帮助航航同学计算出他滑行10秒时，滑行的距离是（ ） 滑行时间t 0 1 2 3 … 滑行距离s 0 4.5 14 28.5 … A. 240m B. 270m C. 300m D. 288.5m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解表格信息反应的函数关系是解本题的关键．依据题意，设关于的函数关系式为：，再利用待定系数法求解二次函数的解析式，再把代入计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：与的关系可近似看成二次函数， 该函数图象经过点， 设关于的函数关系式为：， 该函数图象经过点和， 根据题意，得：， ． 关于的函数关系式可以近似地表示为． 经检验：点在该二次函数的图象上， 时，． 故选：B． 9. 二次函数的图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号为（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知，开口向下，交轴于正半轴即对称轴为直线，可判断①②是否正确，由抛物线与轴有两个交点，可得，据此可判断③是否正确；由图象可知，当时，函数值，则可判断④是否正确． 【详解】解：由图象可知，开口向下，交轴于正半轴， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即 ∴，故①正确； ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故③正确； 由图象可知，当时， ∴，故④错误； 综上，正确的有①③． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，E为边上一点，且，过A点作于点M，连接并延长交于N，交于点F．下列结论：①；②M为的中点；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干易得为等腰直角三角形，先证，再通过三角形内角和和外交的性质倒角得到，即可判断①正确； 要判断M是中点，则证明，很容易联想到全等，结合图形易证，即可判断②正确； 要判断是否正确，根据结构可联想到相似母子型，但是这三条线段不在同一个三角形，所以要转化，由前面证明可得，，因此可证，由题目易证，即可判断③正确； 要判断，有必须想到等腰直角三角形，和在同一直线，不可能是等腰直角三角形的边，所以要转化，因为，因此可证，而，刚好可构造等腰直角三角形，所以过M作于点Q，得到，再利用中位线定理即可判断④正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ， ，， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ，， ，， ，，， ， ， ， ∴， 故①正确，符合题意； 由①知，，， ， ∵， ∴， ， 为中点， 故②正确，符合题意； 根据①得， ， ， ， ∴， ∴， ， ，， ， 故③正确，符合题意； 过M作于点Q， 由②知M是中点， 是的中位线， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上①②③④都正确，正确的个数是4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 某市地图的比例尺为，若该市地图上甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用），解题的关键是掌握公式：实际距离图上距离比例尺． 根据比例尺的定义计算出实际距离，之后再把单位由化为即可． 【详解】解：． 答：甲乙两地的实际距离为． 故答案为：． 12. 请你写出一个函数，使得当自变量时，函数y随x的增大而减小，这个函数的解析式可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，可写出一个的一次函数． 【详解】解：这个函数的解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查函数的性质，掌握一次函数等函数的性质是解题的关键． 13. 如图，在中，，，动点P从点A出发到B点停止，动点Q从点C出发到A点停止，点P运动的速度为，点Q运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动的时间是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．分两种情况讨论：①当时，，②当时，．分别根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：设点P运动的时间为，则，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴，即， 解得； 当时，， ∴，即， 解得， 综上所述，当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或． 故答案为：或 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为． （1）若该抛物线与x轴交于点，则______； （2）已知点，，若该抛物线与线段始终有两个不同的交点，则n的取值范围是______． 【答案】 ①. 4 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解抛物线的解析式，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）由抛物线与x轴交于点，可得，再进一步求解抛物线的顶点坐标可得答案； （2）先求解抛物线的顶点纵坐标为，再分两种情况画图，当，对称轴在y轴左侧，当对应的函数值，如图，当，对称轴在y轴右侧，如图，当对应的函数值，再建立不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点， ∴， ∴， ， ， ∴抛物线的顶点为， ∴， 故答案为：4； （2）∵的对称轴方程为直线， ∴顶点纵坐标， ∵点，， ∴、B关于原点对称， ∴线段经过原点， ∵抛物线始终经过原点，且与x轴始终有两个交点， 当，对称轴在y轴左侧，如图， ∴当时，， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴， ∵由图象可得：， ∴， ∴， ∴， 当，对称轴在y轴右侧，如图，当对应的函数值， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴， ∵由图象可得：， ∴， ∴， ∴， 综上：或； 故答案为：或 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知线段满足，且．求线段的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查线段成比例，线段和差的计算，掌握比例的性质，线段和差计算的方法是解题的关键． 根据线段的比例，设，可，由解出的值，由此即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 16. 已知二次函数的图象顶点是，且过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为，.顶点坐标为，对称轴方程为，极值为当时，来求出相应的数． 【详解】设二次函数解析式为，图象顶点是， ∴， 依题意得：， 解得， ∴. 17. 如图是由边长为1的小正方形组成的的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上． （1）猜想：的度数为______； （2）请在网格中只用无刻度直尺作一个格点（各顶点均在格点上），使，且相似比不为1．（按要求作图，不要求写画法） 【答案】（1） （2）如图， 【解析】 【分析】本题考查作图-相似变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理以及勾股定理的逆定理可得． （2）结合相似三角形的判定与性质，画即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：画，即为所求． ， 则． 18. 已知二次函数． （1）用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； （2）画出此函数的图象（不用列表），并直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1） （2） 如图，由图可知，当时，自变量的范围是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，画二次函数图象，二次函数的图象与性质，画出图象是解答本题的关键． （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）先画出图象，然后根据图象解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：当时，；当时，；当时，；当时，； 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出满足时x的取值范围． （3）连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）8 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查数形结合思想的运用． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案； （3）过C点作轴，交直线于D，求出D的坐标，即可求得，然后根据 即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，解得， ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由图象和两函数交点坐标，可知， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D， 由反比例函数图象的中心对称性质可知， ∵，在一次函数的图象上， ，解得， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴， 20. 如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高． 【答案】路灯的高为6.4米 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 根据题意，得，，，，，继而得到，，之后列出比例式，解答即可． 【详解】解：由题意知：，，，，， ，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， 答：路灯的高为米． 21. 已知抛物线与x轴交于两点，其中一点坐标为． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若抛物线，当时，有最大值为8，求m的值； 【答案】（1）抛物线的表达式为，该抛物线的顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把代入求出a值，即得解析式，把解析式配方即得顶点坐标； （2）根据，得对称轴为直线，根据，知当时，有最大值，，解得m的值为． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 整理得， 解得，， ∵， ∴m的值为． 22. 如图，正方形中，对角线相交于点O，E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F，交于点M，连接交于点N，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵四边形是正方形，对角线相交于点O，E为边的中点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， ， . （2） 证明：由（1）得， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ，，且， ， ， , （3）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键。 （1）如图：连接，先利用正方形的性质可证得，再根据三角形中位线的性质可得、，易证，最后根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）先证明可得，进而得到，再结合、可证，再证明可得，然后结合正方形的性质即可证明结论； （3）由勾股定理可得，再结合正方形的性质可得，再结合，运用相似三角形的性质即可解答。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， , ， ， 的长为. 23. 某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． （1）求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； （2）求最小档位时小球射出的最大射程； （3）要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 【答案】（1）最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为，小球最大射程为6米 （2）最小档位小球射出射程为2米 （3）接球盒距发射器的水平距离的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据题意设顶点式，求出的值，得到函数解析式，再求出时的函数值，即可得到答案； （2）根据最大档位时抛物线的函数解析式得到点的对称点为，进而得出最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的，从而得出点的坐标，即可得到答案； （3）令，求出的值，从而得到的最大临界值，再根据二次函数平移的性质，求出的最小临界值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为； 当时，则， ，（舍去）， 小球最大射程为6米； 【小问2详解】 解：最大档位时抛物线的函数解析式为， 对称轴为直线， 点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的， 的坐标为， 即最小档位小球射出射程为2米； 【小问3详解】 解：米， 令，则， 解得，（舍）， 要使接球盒能接住小球， 由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的， 又米， ， 即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $