精品解析：重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期11月阶段性检测(二)数学试题

西南大学附中高 2025 届高三上 11 月阶段性检测(二) 数学试题 (满分: 150 分; 考试时间: 120 分钟) 2024 年 11 月 注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题时， 必须使用 2B 铅笔填涂; 答非选择题时， 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写; 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3. 考试结束后， 将答题卡交回 (试题卷学生保存， 以备评讲). 一、单选题: 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解集合和集合，再找出它们的公共部分. 【详解】由可得且. 解得；解得. 所以集合. 先对因式分解，得到. 解得. 所以集合. 集合，集合. 那么. 故选：C. 2. 命题，使得 ，则命题 的否定为（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定可得答案. 【详解】命题，使得 的否定为： ，使. 故选：B 3. 记为等比数列的前项和. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列通项公式求出公比，再由求和公式得解. 【详解】由等比数列可知，， 解得， 所以， 故选：A 4. 已知函数 ，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性，零点，及正负性可得答案. 【详解】注意到函数定义域为，，则为奇函数，故BD错误； 又注意到，，则A正确，C错误. 故选：A 5. 已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，后由题及余弦定理可得，即可得答案. 【详解】设,则，因，由余弦定理： ， 则，，则. 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求解. 【详解】， 所以， 所以， 故选：D. 7. 过点作圆的两条切线，切点分别为两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，再根据切线性质可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】由题意可知，圆可化为， 可知圆心为，记为点，半径， 可得，则， 所以. 故选：A. 8. 已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由外接球的体积得出球半径，再由正三棱锥得出体积，利用导数求最值即可. 【详解】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h， 由题意得，，解得， 该三棱锥为正三棱锥，, ，， 令 ， 由，可得或（舍去）， 当时，，当时，， 在 单调递增，在单调递减， ，. 故选：B 二、多选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知正方体 ，则（ ） A. 直线 与 所成的角为 B. 直线 与 所成的角为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与平面 所成的角为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，B，利用向量法，设出正方体棱长，建立空间直角坐标系，求出两直线对应的向量，根据向量的夹角公式求出向量夹角，再根据异面直线所成角与向量夹角的关系得到结果. 对于C，D，先求出平面的法向量，再根据直线的方向向量与法向量的夹角，结合直线与平面所成角和它们夹角的关系求出结果. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，. 设直线与所成的角为，根据向量的夹角公式. 先计算，，. 则，因为异面直线所成角的范围是，所以直线与所成的角为.故A正确. 由前面建立的坐标系可知，，，. 所以，. 设直线与所成的角为，根据向量的夹角公式. 先计算，，. 则，因为异面直线所成角的范围是，所以直线与所成的角不是. 故B错误. 由前面建立的坐标系可知，，，，. 所以. 设平面的法向量为，因为，. 由，即，令，则，，所以. 设直线与平面所成的角为，则. 先计算，，. 则，所以直线与平面所成的角为.故C正确. 由前面建立的坐标系可知，. 所以. 平面的法向量为. 设直线与平面所成的角为，则. 先计算，，. 则，所以直线与平面所成的角不是.故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 函数在上的值域为 D. 要得到函数 的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象求函数的解析式，即可得到选项A正确；利用可知选项B错误；根据可得，结合函数的单调性可知选项C正确；利用函数图象平移的原则可知选项D正确. 【详解】设函数的最小正周期为，由图可知，，，故. ∵，∴. ∵函数图象最高点为，∴， ∴，故， ∵，∴，选项A正确. 由A可得，， 故直线不是函数的对称轴，选项B错误. 当时，，，，故函数在上的值域为，选项C正确. 由题意得，， 将函数的图象向左平移个单位后的函数表达式为，选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数有零点，则可以取到的整数值有 （ ） A. -5 B. -3 C. -1 D. 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数零点的意义可得，换元构造并分离参数构造函数，利用导数求出其值域即可得解. 【详解】函数定义域为， 由有零点，得方程有正数解， 令 ，即有正数解，显然，方程化为 令函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0时，的值趋近于负无穷大， 当时，，时，， 因此或， 解得或，所以可以取到的整数值有. 故答案为：ABD 【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域求解. 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知复数 的共轭复数为 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据共轭复数的性质及模的定义与性质运算得解. 【详解】， 故答案为： 13. 已知菱形 的边长为 2，且 ，若点 满足 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量数量积运算的定义及性质计算得解. 【详解】 . 故答案为： 14. 若实数 互不相等，且满足 ，则 _____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据等式的性质，变形化简得解. 【详解】由原方程组可得： ①， ②，则， ③ 所以， ， ④ 即. 故答案为：3 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤. 15. 在中，，，分别为，，的对边，已知，且，. （1）求的面积； （2）为线段上一点，且满足，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，通过公式化简所给条件求出，再求即可； （2）由余弦定理求出，再通过题意得出，两边同时平方计算即可. 【小问1详解】 ， ，又， 即，，， ； 【小问2详解】 ，， ，，， ，， ， . 16. 记 为数列 的前 项和. 已知 . （1）证明: 是等差数列； （2）若 为 和 的等比中项，求 的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，可证明数列为等差数列； （2）分析等差数列项的符号的变化，可得出所有非负项和最大. 【小问1详解】 ， ， ， 化简得: ， ，， 是以公差为的等差数列. 【小问2详解】 由(1)得 ， 同理， 由题意，即， 解得 ， ， 当时， ，当 时，， . 17. 已知三棱锥，平面平面. （1）求证:; （2）求直线DB与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面OBP可证明结论； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案； （3）由（2）求出平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 如图，取中点，连接. . 为等腰直角三角形，为中点. .为中点，. 平面POB，， 面OBP.面OBP， 【小问2详解】 平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC， 面两两垂直 如图，以为原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向 建立空间直角坐标系，则. . . 则，. 令平面的法向量为，则，可取. 则直线DB与平面所成角的正弦值. 【小问3详解】 由（2），. 令平面的法向量为， 则，可取. 则点到平面的距离. 18. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，双曲线的一条渐近线的斜率为，且的一个焦点到其渐近线距离为2. （1）求的方程； （2）若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明如下： 令，由题意， 在上，，得， 即， 则过与其中一条斜率为2的渐近线平行的直线， 联立，可得， 即，解得， 即，同理可得， ，证毕. 【解析】 【分析】（1）由题意，求出即可得出双曲线方程； （2）设，得出，写出平行渐近线的直线方程，联立双曲线方程得出坐标，计算即可得证. 【小问1详解】 由题意得， ， 的焦点到渐近线的距离为， ， 双曲线方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. （1）对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； （2）对于函数，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，若存在，求出在点处的切线方程；若不存在，请说明理由. （3）已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，切线为 （3）在上单调递增 【解析】 【分析】（1）由基本不等式及新定义求证即可； （2）根据导数求出在时有最小值，可得点，再求切线方程即可； （3）由新定义及函数的导数先求出函数极小值点，再由此得出，判断函数的单调性. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”. 【小问2详解】 ，， 令，当时，单调递增， 所以在单调递增， 时，单调递减， 时，单调递增， ，， 又， 过的切线为. 【小问3详解】 由题意，得， ， 则， 由题意假设时，为各自函数的最小值， 则必为的极小值点， 则，可得， ，得， 下证： 由，可得， 两式相加得， 因为 则，解得，， ， 在上单调递增. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中高 2025 届高三上 11 月阶段性检测(二) 数学试题 (满分: 150 分; 考试时间: 120 分钟) 2024 年 11 月 注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题时， 必须使用 2B 铅笔填涂; 答非选择题时， 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写; 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3. 考试结束后， 将答题卡交回 (试题卷学生保存， 以备评讲). 一、单选题: 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题，使得 ，则命题 的否定为（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 3. 记为等比数列的前项和. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 ，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 过点作圆的两条切线，切点分别为两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知正方体 ，则（ ） A. 直线 与 所成的角为 B. 直线 与 所成的角为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与平面 所成的角为 10. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 函数在上的值域为 D. 要得到函数 的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 11. 已知函数有零点，则可以取到的整数值有 （ ） A. -5 B. -3 C. -1 D. 2 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知复数 的共轭复数为 ，则 _____. 13. 已知菱形 的边长为 2，且 ，若点 满足 ，则 _____. 14. 若实数 互不相等，且满足 ，则 _____. 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤. 15. 在中，，，分别为，，的对边，已知，且，. （1）求的面积； （2）为线段上一点，且满足，求的长度. 16. 记 为数列 的前 项和. 已知 . （1）证明: 是等差数列； （2）若 为 和 的等比中项，求 的最大值. 17. 已知三棱锥，平面平面. （1）求证:; （2）求直线DB与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，双曲线的一条渐近线的斜率为，且的一个焦点到其渐近线距离为2. （1）求的方程； （2）若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值. 19. 对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. （1）对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； （2）对于函数，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，若存在，求出在点处的切线方程；若不存在，请说明理由. （3）已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $