精品解析：福建省三明市大田县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

大田县2024-2025学年第一学期期中考试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 关于的一元二次方程，一次项系数是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项．根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一次项系数是， 故选：B． 2. 不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有1个红球，3个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为； 故选：D． 3. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质．解决本题的关键是熟练地运用比例的性质对式子进行变形． 【详解】解：A选项：两边同时除以可得：，故A选项符合题意； B选项：两边同时除以可得：，故B选项不符合题意； C选项：由两边同时乘以可得：，不能得到，故C选项不符合题意； D选项：由两边同时乘以可得：，不能得到，故D选项不符合题意； 故选：A ． 4. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为(　　) A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵BD=2AD，∴，∵DE=5，∴，∴BC=15． 故选C． 5. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定为矩形；符合题意； B、测量两组对边是否相等，只能判定为平行四边形；不符合题意； C、测量对角线是否相互平分，只能判定为平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否相等，不能判定其为矩形（如等腰梯形的对角线也相等），不符合题意； 故选：A． 6. 把一元二次方程配方成的形式，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法；把常数项移到等号的右边，方程两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即， ∴，， 故选：B． 7. 下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（ ） A. 由①推出②，由②推出③ B. 由①推出③，由③推出② C. 由③推出①，由①推出② D. 由②推出③，由③推出① 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 根据正方形的性质与判定，菱形的性质进行判断即可． 【详解】解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形； 菱形的对角线互相垂直，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形； 正方形拥有菱形的一切性质，故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②； 故选：D． 8. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了一元二次方程的根．先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点是边上的一个动点，连接，以为斜边在正方形内部构造等腰直角三角形，连接．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明；将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可知：，，，，利用勾股定理得到，证明四边形为平行四边形，即可证明． 【详解】解：证明：过点作，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ∴， ； 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转的性质可知：，，，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形性质，平行四边形性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握性质的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_____.． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴∆=0， ∴4﹣4m=0， ∴m=1， 故答案为1． 11. 某学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知共有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种， 所以抽到一男一女的概率为P（一男一女）=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 已知、是方程的两个实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键． 根据根与系数的关系得出，代入数据计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得：， 故答案为：1． 13. 在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 依据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 14. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示（见详解），根据相似三角形的性质，三角形的高的比等于相似比，由此可求的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意得，正方形，，是对角线，与交于点，过点作直线于，交于， ∵，，，设，则， ∴， ∴，即，解方程得，， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查格点三角形与三角形相似，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，四边形中，，，，，，点M，N分别在边上，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作出如图的辅助线，证明，求得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作平行于的直线，与交过点A且平行于的直线交于R，交的延长线于S，过点D作于E， 则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 三、解答题：本大题有9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用配方法求解可得； （2）利用公式法求解可得． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解： ∴，，． ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． ∴，． 17. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证., （以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） 请根据上图完成这个推论的证明过程． 证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（____________+____________）． 易知，S△ADC=S△ABC，_____________=______________，______________=_____________． 可得S矩形NFGD= S矩形EBMF ． 【答案】S△AEF，S△CFM；S△ANF，S△AEF；S△FGC，S△CFMF . 【解析】 【详解】试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可. 试题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得： ， ∴ ， ∴ . 18. 在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上． （1）以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，位似比为1:2． （2）在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为　 　． 【答案】 （1）如图△A1B1C1就是所求作的图形. （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质可以得解； （2）根据位似图形的性质可得解． 【详解】（1）分别在射线AO、BO、CO上截取，连结 即得所作图形； （2）∵在(1)中所画的图形中，△ABC的中线CD与的中线 是对应线段， ∴由“位似图形中不经过位似中心的对应线段平行”的性质可以得到：CD∥. 【点睛】本题考查位似图形的应用与作图，熟练掌握位似图形的意义和性质是解题关键． 19. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a （1）上表中的__________，__________． （2）“摸到白球的”的概率的估计值是__________；（精确到）； （3）若袋中有18个白球，计算袋中（除白球外）其它颜色的球的个数． 【答案】（1）， （2） （3）12个 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，122； 【小问2详解】 解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ， 解得，， ∴除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 20. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如下图所示， （2） 证明：如下图所示， 设与相交于点． 垂直平分， ，． 四边形是矩形，， ， ， 在与中，， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定、线段垂直平分线的性质． 根据题意连接，作对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，； 根据线段垂直平分线的性质可证、根据矩形的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证、互相垂直平分，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可证结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 大田县城区西有白岩，东有赤岩，别称“岩城”，标志性建筑“白岩塔”矗立白岩山巅，八角形，楼阁式，五层五廊，层层回廊，出檐深远，檐牙高啄． 小明，小红等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“白岩塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们观察发现，观测点与“白岩塔”底部间的距离不易直接测得，因此经过研究需要两次测量，活动记录如下： 活动课题：利用相似三角形的有关知识测量“白岩塔”的高度． 活动工具：小镜子、皮尺等 活动1：利用镜子的反射． 图示 如图，小红在小明和“白岩塔”之间的直线AM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线AM上的对应位置为点E镜子不动，小明看着镜面上的标记，他来回走动，走到点C时，看到“白岩塔”顶端点B在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小明眼睛与地面的高度，； 活动2：利用阳光下的影子． 图示 如图，小明从点C沿方向走了，到达“白岩塔”影子的末端点F处，此时，测得小明身高，影长． 注：如图，已知，，，其中测量时所使用的镜子厚度忽略不计． （1）设“白岩塔”的高，则 ① ， ② ；（①，②用含的代数式表示） （2）请你根据题中提供的相关信息，求出“白岩塔”的高． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、列代数式等知识． （1）证明，则，设“白岩塔”的高，，，代入即可解得，再根据即可得到； （2）证明，则，设，得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵，，、 ∴， 由平面镜成像可知，， ∴， ∴， 设“白岩塔”的高，，， ∴， 解得， 由题意可得，， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 解：如图， 由题意可得，， ∴，， ∴， ∴， 设， 则， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． 即“白岩塔”的高为． 22. “高山云雾出好茶”，大田美人茶缘起台湾，盛于大田，是海峡两岸协作发展的智慧结晶．某茶叶经销商对其中一款大田美人茶的销售情况展开调查，发现：当该款美人茶的销售单价（每千克的价格）为800元时，每周的销量为50千克；销售单价每上涨10元，每周销量减少1千克．已知该款美人茶的进货价为600元/千克．为了维护消费者利益，物价部门规定，该款美人茶的售价不能超过1000元/千克．针对该经销商销售该款美人茶的有关情况，回答以下问题： （1）当销售单价定为900元时，每周可销售多少千克？ （2）若每周获得利润11250元，则销售单价应定为多少元？ （3）要使每周获得的利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1）40千克； （2）850元； （3）当定价为950元时，每周销售获得的利润最大，最大利润为12250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次函数的应用． （1）根据“销售单价每上涨10元，每周销量减少1千克”列式计算即可； （2）设每周要获利11250元，销售单价应定为x元，则每千克的利润为，销量为，再根据每周获得的利润每千克的利润销量列出方程，解方程即可； （3）设定价为元时，每周销售获得的利润为元，由（2）得，再由二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：因为， 所以当售价为900元时，每周可销售该款美人茶40千克； 【小问2详解】 解：设每周要获利11250元，销售单价应定为x元， 依题意，， 即， ∴，， ∵物价部门规定，售价不能超过1000元/千克， ∴舍去， ∴若每周获得利润11250元，则销售单价应定为850元； 【小问3详解】 解：设定价为元时，每周销售获得的利润为元． 由（2）知， ． ∵， ∴当时，取得最大值12250． 答：当定价为950元时，每周销售获得的利润最大，最大利润为12250元． 23. 已知函数（，为常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求，的值及点的坐标； （2）判断点是否在该函数的图象上，并在给定的图形中作点关于轴的对称点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）证明该函数的图象关于轴对称． 【答案】（1），，的坐标为； （2） 将代入， 得， 所以在函数的图象上． 如图所示，点即为所求； （3） 若是函数的图象上的任意一点， 则， 设关于轴对称的点为， 则， 因为， 则点也在函数的图象上， 因此函数的图象关于轴对称． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，尺规作图，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将，代入即可求出，，得出抛物线解析式，再令，即可求出点的坐标； （2）将代入抛物线解析式即可判断点是否在抛物线上，过点作轴垂线，再截取即可得出点（或过点作轴平行线，再截取）即可； （3）若是函数的图象上的任意一点，得出关于轴对称的点的坐标，判断点是否在上即可证明． 【小问1详解】 解：因为的图象与轴交于，两点， 所以点，在的图象上， 所以， 解得， 所以该函数的表达式为． 在中，令， 解得：， 所以的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图1，在中，，，，是内一个动点，，位于直线同侧，且，． （1）求证：； （2）已知平分，直线交于点，如图． 证明：当，，三点共线时，； 设的中点为，求的最小值． 【答案】（1） 证明：在中，，，， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：取中点，连接， 则， 是等边三角形， ． 由知， ，， 平分， ， ，，三点共线， ， ． ， ， 又， ， 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出，再利用两边对应成比例且夹角相等证明； 取中点，连接，可证是等边三角形，根据，可证，根据平分，可知，又因为，，三点共线，可知，，所以可证； 取的中点，连接，，构造，利用相似三角形的性质可得，，设，交于点，的中点为，则点是线段上的动点．，当时，最小，利用勾股定理可以求出，根据点是的中点，可得，所以可得：，从而求出，所以可得的最小值为． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 证明：略 取的中点，连接，， 点是的中点， ， ， ， ， 设，的延长线交于点，的中点为． 则点是线段上的动点， 当时，最小， 此时，，， 则此时， 在中，，， 设，则， 在中，，即， 解得，即， 是的中点， ， 则， 故， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是证明相似三角形，利用相似三角形对应边成比例找线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大田县2024-2025学年第一学期期中考试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 关于的一元二次方程，一次项系数是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 2. 不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为(　　) A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 20 5. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等 6. 把一元二次方程配方成的形式，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（ ） A. 由①推出②，由②推出③ B. 由①推出③，由③推出② C. 由③推出①，由①推出② D. 由②推出③，由③推出① 8. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 9. 如图，在正方形中，点是边上的一个动点，连接，以为斜边在正方形内部构造等腰直角三角形，连接．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_____.． 11. 某学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是______． 12. 已知、是方程的两个实数根，则__________． 13. 在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是__________． 14. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为________． 15. 如图，四边形中，，，，，，点M，N分别在边上，，则的值为__________． 三、解答题：本大题有9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证., （以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） 请根据上图完成这个推论的证明过程． 证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（____________+____________）． 易知，S△ADC=S△ABC，_____________=______________，______________=_____________． 可得S矩形NFGD= S矩形EBMF ． 18. 在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上． （1）以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，位似比为1:2． （2）在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为　 　． 19. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a （1）上表中的__________，__________． （2）“摸到白球的”的概率的估计值是__________；（精确到）； （3）若袋中有18个白球，计算袋中（除白球外）其它颜色的球的个数． 20. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求证：四边形是菱形． 21. 大田县城区西有白岩，东有赤岩，别称“岩城”，标志性建筑“白岩塔”矗立白岩山巅，八角形，楼阁式，五层五廊，层层回廊，出檐深远，檐牙高啄． 小明，小红等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“白岩塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们观察发现，观测点与“白岩塔”底部间的距离不易直接测得，因此经过研究需要两次测量，活动记录如下： 活动课题：利用相似三角形的有关知识测量“白岩塔”的高度． 活动工具：小镜子、皮尺等 活动1：利用镜子的反射． 图示 如图，小红在小明和“白岩塔”之间的直线AM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线AM上的对应位置为点E镜子不动，小明看着镜面上的标记，他来回走动，走到点C时，看到“白岩塔”顶端点B在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小明眼睛与地面的高度，； 活动2：利用阳光下的影子． 图示 如图，小明从点C沿方向走了，到达“白岩塔”影子的末端点F处，此时，测得小明身高，影长． 注：如图，已知，，，其中测量时所使用的镜子厚度忽略不计． （1）设“白岩塔”的高，则 ① ， ② ；（①，②用含的代数式表示） （2）请你根据题中提供的相关信息，求出“白岩塔”的高． 22. “高山云雾出好茶”，大田美人茶缘起台湾，盛于大田，是海峡两岸协作发展的智慧结晶．某茶叶经销商对其中一款大田美人茶的销售情况展开调查，发现：当该款美人茶的销售单价（每千克的价格）为800元时，每周的销量为50千克；销售单价每上涨10元，每周销量减少1千克．已知该款美人茶的进货价为600元/千克．为了维护消费者利益，物价部门规定，该款美人茶的售价不能超过1000元/千克．针对该经销商销售该款美人茶的有关情况，回答以下问题： （1）当销售单价定为900元时，每周可销售多少千克？ （2）若每周获得利润11250元，则销售单价应定为多少元？ （3）要使每周获得的利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润是多少？ 23. 已知函数（，为常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求，的值及点的坐标； （2）判断点是否在该函数的图象上，并在给定的图形中作点关于轴的对称点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）证明该函数的图象关于轴对称． 24. 如图1，在中，，，，是内一个动点，，位于直线同侧，且，． （1）求证：； （2）已知平分，直线交于点，如图． 证明：当，，三点共线时，； 设的中点为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $