精品解析：广东省湛江市麻章区广东实验中学湛江学校2025-2026学年第二学期期中学业质量检测八年级数学试卷

2025~2026学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学 满分：120分；考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中的曲线表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 7 5. 如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，下列结论中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 7. 如图，已知点D，E，F分别是的中点，的周长为，则的周长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 8. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 9. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以各边为边分别作三个等边三角形，，，若，，，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④，其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是________． 12. 如图，菱形的对角线，则菱形的面积为_________． 13. 已知函数，当时，y的值是______． 14. 如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 18. 如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知，延长到E，使，连接，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 20. 如图，在中，连接，，过点作，交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． （1）求梯子底端与墙角的距离； （2）如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： （1）在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． （2）根据上述思路，化简并求出的值． （3）设的小数部分为b，求证：． 23. 如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． （1）求证：当时，四边形是平行四边形； （2）是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； （3）若是以为腰的等腰三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学 满分：120分；考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列图形中的曲线表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题主要考查了函数的定义．根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 【详解】解：A，B，D．作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象有两个交点，即对于同一个自变量有2个函数值与其对应，故不符合题意； C、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故C符合题意；故选：C． 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简． 【详解】解： ， 故选：B． 4. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 故选：C． 5. 如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，下列结论中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 但无法得到，，， 故A、C、D错误，不符合题意； 故选：B． 6. 如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．据此求解即可． 【详解】解：A、菱形的四边相等，此选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，此选项不符合题意； C、菱形的对角线不一定相等，此选项符合题意； D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项不符合题意． 7. 如图，已知点D，E，F分别是的中点，的周长为，则的周长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位线．熟练掌握中位线是解题的关键． 由题意知，是的中位线，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵D，E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形中求角度，涉及矩形性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ， 故选：B． 9. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为非0的定值，故选项A、D不合题意；当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意；选项C不合题意； 10. 如图，在中，以各边为边分别作三个等边三角形，，，若，，，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④，其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由，得出，则①正确；由等边三角形的性质得，则，由证得，得，同理，得，得出四边形是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得，则③正确；，过点作于点，，则④不正确；即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ，故①正确； ，都是等边三角形， ， 又， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， 同理可证：， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ，故③正确； ， 过点作于点， ， 故④不正确； 正确的个数是3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，菱形的对角线，则菱形的面积为_________． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，记住菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线， ∴． 故答案为：120． 13. 已知函数，当时，y的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的函数值，直接把代入函数关系式，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：； 故答案为：． 14. 如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出是等腰三角形，从而求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】或或 【解析】 【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC//x轴，根据平行四边形的判定，当PC=QA时，以点A，Q， C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若时，3-2t= t；若 ，2t-3=t；若 时，2t-3=4-3(t-4)；若，然后分别解方程即可确定满足条件的t的值． 【详解】∵A（4,0），B（-3,2），C（0,2）， ∴OA=4，BC=3，BC//x轴， ∵PC//AQ ∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形， 若时，BP=2t， PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1; 若时，BP=2t, PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3； 若时，BP=2t, PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=(舍去)； 若t，BP＝2t，PC=2t-3， OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13; 综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为1或3或13 【点睛】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，核心知识点包括二次根式的乘除运算法则、最简二次根式的化简以及同类二次根式的合并．先根据二次根式乘除法则分别计算乘法和除法运算，将所有二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式得到最终结果． 【详解】解： ． 17. 如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）5；10； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，据此可得是直角三角形． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ； 【小问2详解】 略 18. 如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 【答案】 证明：是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 【解析】 【分析】先根据证明，得，从而得，结合根据对边平行的四边形是平行四边形得证． 【详解】略 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知，延长到E，使，连接，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明； （2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，证得四边形是矩形是本题的关键． 20. 如图，在中，连接，，过点作，交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， 平行四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】（1）先根据四边形是平行四边形，得，结合，得四边形是平行四边形，结合，则，故四边形是菱形，即可作答． （2）根据菱形的性质，得，因为四边形是平行四边形，则，，运用勾股定理得，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 21. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． （1）求梯子底端与墙角的距离； （2）如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，已知梯子长和墙高，利用勾股定理直接计算梯子底端到墙角的距离； （2）先根据下滑距离求出的长度，再在中利用勾股定理求出的长度，最后用减去得到梯子底端外移的距离． 【小问1详解】 解：在中，根据勾股定理得 ， 所以． 【小问2详解】 解： 在中，根据勾股定理得 ， 所以， 所以． 所以梯子底端外移． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： （1）在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． （2）根据上述思路，化简并求出的值． （3）设的小数部分为b，求证：． 【答案】（1）5；； （2）9 （3） 证明：， 又， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据题意即可作答； （2）根据题意分别将两个式子算出，进而即可求解； （3）根据题意得出值，进而得出b值，代入求出值证明结论． 【小问1详解】 解：根据题意可得 ， 故答案为：5；；； 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 略 23. 如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． （1）求证：当时，四边形是平行四边形； （2）是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； （3）若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】（1） 证明：， 当秒时，两点停止运动，在运动过程中，， ，， 当时，，， 又， ， 四边形为平行四边形； （2）当秒时，平分对角线 （3）若是以为腰的等腰三角形，的值为或 【解析】 【分析】（1）由题意可得当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四边形是平行四边形； （2）首先连接交于点，若平分对角线，则，易证得，则可得，解此方程即可求得答案． （3）分两种情况：①当时，作于，于，与，如图所示：则，，，得出，，由得出方程，解方程即可； ②当时，由勾股定理得出方程，即可得出答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：能平分对角线，当秒时，平分对角线． 理由如下： 连接交于点，如图1所示： 若平分对角线，则， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 解得，符合题意， 当秒时，平分对角线． 【小问3详解】 解：分两种情况： ①当时，作于，于，与，如图2所示： 则，，， , ，， ， ， ， ， 解得：； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得（舍去）； 综上所述：若是以为腰的等腰三角形，的值为或． 【点睛】此题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、解方程．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $