精品解析：河南省焦作市博爱县第一中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题

焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】由题设，恒过点，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：A 2. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中间数和对数函数的单调性可判断三者之间的大小，从而可得正确的选项. 【详解】因为，，故. 因为，故， 故选：C. 3. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知点，若P，Q的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，根据所给定义可得，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以，，， 所以， 则，的余弦距离为，所以， 所以. 故选：D 4. 若复数且，则满足的复数的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由可得复数对应的点在圆心为，半径为的圆上， 又的几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为，则由圆心到直线的距离为，即可得到复数的个数. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即复数对应的点在圆心为，半径为的圆上， 又可以变形为， 即其几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为， 又圆心到直线的距离为， 而，所以满足条件的不存在. 故选：A. 5. 已知在中，．若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理结合已知条件可求得，可得出，再利用等面积法可得出内切圆半径的表达式，结合基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】由及正弦定理可得， ，所以，，则，所以，， 所以，的外接圆直径为， 设内角、、的对边分别记为、、，则，所以，， 设的内切圆半径为，则，所以，， 因此，， 因为， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最大值为. 故选：C. 6. 已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，由三线合一得到，为的中位线，，设，由椭圆定义得到，根据得到方程，求出，由余弦定理得到，进而得到其正弦值，利用三角形面积公式得到答案. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故选：C 7. 假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为 故选：C 8. 已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前9项和为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项定义可证明数列是等差数列，再由二倍角公式可得，利用可得，可得数列的前9项和为. 【详解】由数列满足可得，所以数列是等差数列， 由可得， 又， 所以 ； 同理， 又易知， 所以数列的前9项和为． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 若的图象关于直线对称，则 C. “”是“为等边三角形”的充要条件 D. “”是“为等边三角形”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】化函数为分段函数，求出最小值判断A；求出对称轴判断B；利用充分条件、必要条件的定义判断CD 【详解】对于A，当时，，当或时，取最小值0，A错误； 对于B，当时，图象的对称轴为，不符合题意； 当时，图象对称轴，不符合题意； 当时，图象对称轴，由，得，B正确； 对于CD，为等边三角形，则，； 取，，此时，而是不是等边三角形， 所以“”是“为等边三角形”的必要不充分条件，C错误，D正确. 故选：BD 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 若直线是图象的对称轴，则 C. 在上的值域为 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简且，不妨令，结合正弦型函数的性质、诱导公式、倍角余弦公式判断各项正误. 【详解】由且，不妨令， 由化简后的解析式，易知其最小正周期为，A对； 若直线是图象的对称轴，则且，即， 所以，B错； 由，则，且， 所以，，故值域为，C对； 由题设，令，则或，且， 所以或，又， 不妨令，则，D对. 故选：ACD 11. 如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ） A. 存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形 B. 当时，三棱锥体积为 C. 当时，三棱锥的外接球表面积为 D. 当时，直线与平面所成的角的正弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于，对分情况讨论，图形展示即可； 对于， 当时，，得出平面 ，利用等体积可求体积； 对于，当时，三棱锥的外接球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上，可求出，得表面积； 对于，求出的方向向量与平面法向量，利用向量公式可得答案. 【详解】设正方体的棱长为4，以为原点，以、、所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 对于A选项，时，在点，，由可知，所以截面即为四边形；由图形知，截面为五边形或六边形．故A错误． 对于B选项，当时，，所以，所以平面，，又平面， 所以，三棱锥体积为，故B正确． 对于C选项，当时，且平面， 所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球的球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上， ，，所以的中点，可记球心，， 外接球的半径，解得，， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误． 对于D选项，当时，，，，，， 所以，，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，，所以可取， 由平面知，平面的法向量为， 记平面与平面的交线的一个方向向量为， 则，令，则，，所以可取， 又平面的法向量为 ，则，，，设与平面所成的角为， 则，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果. 【详解】因为，所以或， 从中任取两个不同的数，共可得到取法， 其中对数值为负数的有个， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l的倾斜角，则的所有可能取值区间为______． 【答案】， 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，结合x的范围，求出角的范围即可． 【详解】求导 在区间上是单调函数， 则有在恒大于等于0或恒小于等于0， 若在区间上单调减，则， 故即 若在区间上单调增，则， , 所以即 综上所述，，， 故答案为， 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． 14. 已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式仅有1个整数解转化为不等式仅有1个整数解，利用导数研究函数的性质，结合图象，建立关于a的不等式组，解之即可求解. 【详解】函数的定义域为. 要使不等式仅有1个整数解，使需仅有1个整数解 即不等式仅有1个整数解， 设，则， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 又，当时，，当时，， 设，则直线恒过点， 在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示， 由图象可知，，要使不等式有1个整数解， 则，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根、不等式有整数解)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义域为的偶函数. （1）求a的值； （2）若，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义转化为等式恒成立问题，由系数为求值即可； （2）由换元法，把函数转化为二次函数，然后分类讨论确定函数的最小值，从而求得参数值． 【小问1详解】 则， 因为是定义域为的偶函数， 则， 即对任意恒成立，则； 【小问2详解】 由（1）知， 则 ， 令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 则原函数化为：，， ①当即时， 在上单调递增， 则，即，； ②当，即时， 在单调递减，在单调递增， 则； 即， 综上所述，. 16. 在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. （1）求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； （3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 【答案】（1），平均时间为小时 （2） 期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为，可得，再根据平均数公式直接计算平均数即可； （2）分别计算时间在，的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望； （3）根据频率分布直方图可知运动时间在内的频率，根据二项分布的概率公式可得，根据最值可列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知，解得， 所以平均数为 . 【小问2详解】 这名高中学生户外运动的时间分配， 在，两组内的学生分别有人，和人； 所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人， 所以随机变量的可能取值有，， 所以，， 则分布列为 期望； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为， 则， 若为最大值，则， 即， 即，解得， 又，且，则. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A取值的范围； （2）若，求周长的最大值； （3）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）6； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得，在利用余弦定理结合基本不等式分析运算即可； （2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算； （3）根据题意结合正弦定理可求得，利用正弦定理以及面积公式分析运算. 【小问1详解】 由题设， 所以， ， 又，则， 根据正弦边角关系，易得，则， 又，则，当且仅当时取等号， 所以，结合，可得； 【小问2详解】 由（1）有，又， 又，则， 所以，当且仅当取等号， 所以周长的最大值6. 【小问3详解】 由，且， 所以，而，则， 由，显然，故，即， 结合，可得， 由，而， 由，整理得，可得（负值舍）， 所以，故. 18. 如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，. （1）求证：； （2）若底面，且，直线与平面所成角为. （i）确定点的位置，并说明理由； （ii）求线段的长. 【答案】（1）证明：在正方形中，，又平面平面， 所以平面，又平面，平面平面， 则； （2）（i）当为中点时，有直线与平面所成角为， 证明如下：由平面，可得 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 又为中点，则， 设平面的一个法向量为， 则有，即，令，则， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 故当为中点时，直线与平面所成角的大小为. （ii）2. 【解析】 【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明平面，再由性质定理得到； （2）（i）建立如图所示坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角的向量公式求解即可； （ii）设点的坐标为，由向量共线可设可得到，再根据求出，最后计算模长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）设点的坐标为， 因为点在棱上，所以可设， 即，所以， 因为是平面的法向量， 所以，即， 解得，故，则， 所以. 19. 已知数列的前n项和．若，且数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求证：数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：由题意知， 当时，，所以． 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． 因为，所以， 所以，令，可得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． （2）证明：由（1）知， 所以， 所以， 两式相减，可得 ， 所以，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可； （2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可； （3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于． 因为， 所以，所以数列的最大项为和，且． 所以，即， 解得或，即实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 2. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知点，若P，Q的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若复数且，则满足的复数的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 5. 已知在中，．若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（ ） A. B. C. D. 3 7. 假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（    ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前9项和为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 若的图象关于直线对称，则 C. “”是“为等边三角形”的充要条件 D. “”是“为等边三角形”的必要不充分条件 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 若直线是图象的对称轴，则 C. 在上的值域为 D. 若，且，则 11. 如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ） A. 存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形 B. 当时，三棱锥体积为 C. 当时，三棱锥的外接球表面积为 D. 当时，直线与平面所成的角的正弦值为 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则______. 13. 已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l的倾斜角，则的所有可能取值区间为______． 14. 已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义域为的偶函数. （1）求a的值； （2）若，求函数的最小值. 16. 在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. （1）求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； （3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A取值的范围； （2）若，求周长的最大值； （3）若，求的面积． 18. 如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，. （1）求证：； （2）若底面，且，直线与平面所成角为. （i）确定点的位置，并说明理由； （ii）求线段的长. 19. 已知数列的前n项和．若，且数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求证：数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $