精品解析：四川省宜宾市第二中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

宜宾市二中2024年秋期九年级半期教学质量监测 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题、（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在年小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线AC和DF被所截，如果，那么的长是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 如果，那么 B. C. 方程的根是 D. 6. 若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A. ﹣3 B. 0 C. 3 D. 9 7. 对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（　　） A. 9米 B. 9.6米 C. 10米 D. 10.2米 9. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　） A. 15 B. 18 C. 24 D. 36 11. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则（n为正整数）的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 14. 若，则__________. 15. 已知，则的值为 _____． 16. 设α，β是一元二次方程的两实数根，则的值为__________. 17. 在等腰直角三角形中，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为________ ． 18. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算及解方程： （1） （2）． 20. 如图在平面直角坐标系中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出点P的位置并写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． （3）设点为内一点，则依上述变换后点M在，内的对应点的坐标是______． 21. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证：； （2）若，，求与的面积的比？ 22. 已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 23. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 阅读材料： （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考，小明解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为______． （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 应用（3）：解方程 推广（4）：若，求 25. 如图，平面直角坐标系中，已知直线的函数表达为，与x轴，y轴分别交于B、C两点，在x轴上有点A，且， （1）写出点C坐标______，点B坐标______；求出的长？ （2）若点D从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，点F从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点D，使以点B、D、F为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点D、F、E分别在线段、、上运动，是否存在有最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市二中2024年秋期九年级半期教学质量监测 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题、（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在年小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可． 【详解】解：A. ，与不是同类二次根式，不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，不符合题意； C. ，与是同类二次根式，符合题意； D. ，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简以及同类二次根式的知识，熟练掌握二次根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键． 2. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴， 则， ∴或， 故选：D 3. 如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 4. 如图，直线，直线AC和DF被所截，如果，那么的长是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 如果，那么 B. C. 方程的根是 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，以及比例的性质．A、等式两边利用同分母分数加法逆运算法则变形得到结果，即可做出判断；B、当a与b都小于0时，原式不成立；C、利用因式分解法求出方程的解，即可做出判断；D、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、变形得：，即，本选项正确； B、当时，，本选项错误； C、方程因式分解得：，解得：，本选项错误； D、，本选项错误， 故选：A． 6. 若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A. ﹣3 B. 0 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案． 【详解】解：， 移项得： 配方得： 而c， 解得： 故选：C. 【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键． 7. 对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，涉及新定义运算、解一元一次不等式等知识，根据题中新定义运算得到，再由一元二次方程根的情况确定，解不等式即可得到答案，掌握由一元二次方程根的情况求参数范围是解决问题的关键． 【详解】解：实数定义新运算：， 由可知，，即， 关于的方程有两个不相等的实数根， ，即， 故选：A． 8. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（　　） A. 9米 B. 9.6米 C. 10米 D. 10.2米 【答案】C 【解析】 【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形BDCE为矩形，利用矩形的对边相等，可得CE=BD=9.6米，BE=CD=2米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”，可得，从而求出AE的长，继而求出AB的长. 【详解】解：如图， 过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形， ∴CE=BD=9.6米，BE=CD=2米， 由题意可得：， ∴AE=8(米)， ∴AB=AE+BE=8+2=10(米). 故选:C. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于做辅助线 9. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可． 【详解】解：根据题意得：；   故答案为：． 故选C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键． 10. 如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　） A. 15 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接， 点P是的重心，点D是边的中点，P在上， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为m，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 11. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则（n为正整数）的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，由题意容易得到为等腰直角三角形，即可得到，然后过作交y轴于H，，通过反比例函数解析式可求出x，从而能够得到，再同样求出，即可发现规律． 【详解】解：联立，解得， ∴，， 由题意可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作交y轴于H，则容易得到， 设，则， ∴， 解得，（舍）， ∴，， ∴， 用同样方法可得到， 因此可得到，即 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出是解题的关键． 12. 如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①正确．证明，即可判断． ②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可． ③正确．作于，设，，则，，通过计算证明即可解决问题． ④错误．设的面积为，由，推出，，推出的面积为，的面积为，推出的面积的面积，由此即可判断． 【详解】∵四边形是正方形， ，， ∵， ， ， 在与中， ， ， ；故①正确； ∵， ， ∵， ， ， ， ∵， ， ；故②正确； 作于，设，，则，， 由，可得， 由，可得， ， ∵， ， ， ∵，， ， ∵， ；故③正确， 设的面积为， ∵， ，， 的面积为，的面积为， 的面积的面积， ，故④错误， 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：． 14. 若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】将方程变形为，再运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，将原方程正确进行变形是解答本题的关键． 15. 已知，则的值为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键． 16. 设α，β是一元二次方程的两实数根，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数关系定理，根的定义计算即可. 【详解】∵α，β是一元二次方程的两实数根， ∴ ∴ ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键. 17. 在等腰直角三角形中，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为________ ． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 分两种情况进行讨论，即当时和当时，分别利用平行线分线段成比例和等腰直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：①如图所示，当时， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当时， ∴， ， 则， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴； ③当时，点与点重合，不符合题意； 综上，的长为1或， 故答案为：1或． 18. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】第一步：设EF与AA’交于点O，连接AF，易证明△AOE△ADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由对应边成比例可得AE、FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值； 第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设B’N=m，分别在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果． 【详解】如图所示，连接AF， 设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’⊥EF， ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ADC=90°，CD=AB=4 ，AD∥BC ∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC ∴△AOE△ADC， ∴ ， ∴OA=2OE， 在直角△AOE中，由勾股定理得： ， ∴OE=， ∴OA=， 在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC= ， ∴OC=， 令BF=x，则FC=8-x， ∵AD∥BC， ∴△AOE∽△COF， ∴ ， 即7AE=3FC ∴3(8-x)=7×3 解得：, ∴的长为1． 连接NE，NF，如图， 根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE， 设B’N=m， 则 ， 解得：m=3，则NF= ， ∵EF=， ∴MF=， ∴MN=， 故答案为：1，． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算及解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和解一元二次方程． （1）先计算二次根式的乘除法，化简绝对值，最后合并同类二次根式即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ∴ ∵， ∴ ∴ 20. 如图在平面直角坐标系中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出点P的位置并写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． （3）设点为内一点，则依上述变换后点M在，内的对应点的坐标是______． 【答案】（1） 如图，点P即为所求，点P的坐标为； （2）如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】此题考查了位似的作图、坐标与图形等知识． （1）根据位似的作图找到点P的位置并写出点P的坐标即可； （2）根据位似作图找到的位置，顺次连接即可； （3）根据位似图形的性质写出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点为内一点，则依上述变换后点M在，内的对应点的坐标是， 故答案为： 21. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证：； （2）若，，求与的面积的比？ 【答案】（1） 证明：由为平行四边形可知，， ， ， 又， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）由得到，则，则，由四边形是平行四边形得到，，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ 22. 已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【答案】 （1）证明：a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3 ， ∵ ∴ 即 ∴无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. （2） ． 【解析】 【分析】（1）应用根的判别式直接判断就可以. （2）先根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积再用勾股定理求出k，继而求得周长 【详解】（1）略； （2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根 ∴根据韦达定理可知 ∴， 解得. 当时， 周长 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 23. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 24. 阅读材料： （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考，小明解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为______． （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 应用（3）：解方程 推广（4）：若，求 【答案】（1）④，；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算的实际应用， （1）根据题意得到即可进行解答； （2）根据（1）得到，即可解答； （3）把变形为即可求出答案； （4）把原式变形为，即可求出，即可求出的值． 【详解】解：（1）① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为， 故答案为：④， （2） （3） ∴或 即（不合题意，舍去）或 ∴， 解得； （4）∵ ∴ ∴ ∴， 解得， ∴ 25. 如图，平面直角坐标系中，已知直线的函数表达为，与x轴，y轴分别交于B、C两点，在x轴上有点A，且， （1）写出点C坐标______，点B坐标______；求出的长？ （2）若点D从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，点F从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点D，使以点B、D、F为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点D、F、E分别在线段、、上运动，是否存在有最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解一次函数与坐标轴的交点坐标，即可得到点B，C的坐标，再证明，利用相似三角形的性质可得答案； （2）分当时，当时，两种情况讨论； （3）作D关于对称的点M，作D关于对称的点N，连接，得到是等腰三角形，当四点共线，时，有最小值，则有最小值，同理（1）求出，即可求出结果． 【小问1详解】 解：∵一次函数， ∴当，则，当，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∵， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 根据题意：， ∴， 解得：， 此时，， ∴， ∴； 如图，当时，过点D作于点G， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，以点B、D、F为顶点的三角形与相似时，D的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在有最小值为，理由如下： 作D关于对称的点M，作D关于对称的点N，连接， 则，， ∴， ∴是等腰三角形， 当四点共线，时，有最小值，则有最小值， 如图，此时，点四点重合， ∴， ∵点D与点N关于对称， ∴， 同理（1）得， ∴， ∴存在有最小值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，对称的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $