精品解析：重庆市清华中学校2024-2025学年高二上学期10月检测数学试题

重庆市清华中学高2026届高二上期10月检测数学试题 命题人：蔡冬妮 审题人：唐静 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知圆，则圆心与半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心与半径即可 【详解】圆的方程为为标准形式， 即圆心与半径分别为， 故选：D. 2. 已知点P是轴上的点，P到直线 距离为6，则P点坐标为（ ） A. ( -6，0) B. (-12，0) C. (-12，0)或(8，0) D. (-6，0)或(6，0) 【答案】C 【解析】 【分析】 由点P是轴上的点，设点,由距离公式可得距离， 由，即可得解. 【详解】由点P是轴上的点，设点, 由距离公式可得距离， ， 解得：或， 所以点坐标为(-12，0)或(8，0). 故选：C. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题. 3. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，则与所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先取中点，连接，能够得到是与所成角，设出边长，利用勾股定理求得，在直角三角形中，求得，得到结果. 【详解】取中点，连接， 因为为中点，所以， 所以是与所成角， 设， 则， 所以， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值的问题，涉及到的知识点有异面直线所成角的概念，在三角形中求角的余弦值，属于简单题目. 4. 已知直线的方程为，直线的方程为，若直线，的交点在轴上，则的值为(　　) A. 2 B. C. D. 与有关 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与轴的交点坐标，代入直线，即可求出. 【详解】在直线方程中，令，得， 即直线与轴的交点为， 点在直线上，， 故选：A. 5. 已知向量，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】在方向上的投影向量是. 故选：A. 6. 如果实数满足，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析方程得出圆心和半径，代数式表示圆上的点到原点的距离，通过数形结合得到最小值点，从而求得最小值. 【详解】是以为圆心，半径的圆， 所求代数式可以理解为求圆上的点到原点的距离， 如图： 显然最远距离和最小距离分别为圆与轴的交点和， ∴的最小值为. 故选：C. 7. 如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平面的法向量求出点，再计算点到直线的距离. 【详解】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系， , 则， 则,，，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，且面， 则，即，得，故， 所以，， ，则， P到AB的距离为. 故选：C 8. 在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三棱锥补成正方体，计算出正方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径长，设线段的中点为，利用点、球心、点三点共线且球心在线段上时，最长可求得的最大值，由此可得出的最大值. 【详解】因为三棱锥中，、、两两垂直且， 将三棱锥补成正方体， 设三棱锥的外接球半径为，球心为， 则，， 取的中点，连接、， ，则为的外接圆的一条直径，则为的外接圆圆心， 所以，平面，平面，， ，， 由球的几何性质可知，当、、三点共线且点在线段上时， 取得最大值，且. ，， 所以，. 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 二、多选题：本题共3小题，共18分． 9. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量关系，结合空间位置关系判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，或，故B错误； 对于C，不重合，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于选项D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 存在唯一的点P满足 C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 存在点P满足 【答案】ABC 【解析】 【分析】在正方体中，证得平面平面，得到平面，求得点的轨迹长度，可判定A正确；以为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的垂直的坐标表示，列出方程，可判定B、C正确；求得点关于平面的对称点为，结合，可判定D错误. 【详解】对于A，如图（1）所示，在正方体中，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面，因为，且平面 所以平面平面，又因为平面，所以平面， 所以点在线段上运动，所以点的轨迹长度为，所以A正确； 对于B，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示， 可得，设，且， 则， 由， 解得，所以存在唯一的点使得，所以B正确； 对于C，由，可得， 即，因为， 当时，可得；当时，可得； 所以点的轨迹为线段，且， 则，所以C正确； 对于D，如图（2）所示，点关于平面的对称点为， 当点三点共线时，最短， 所以， 所以不存在点使得，所以D不正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量是， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故答案为： 13. 如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】用表示 ，从而求出，即可求出，从而得出答案 【详解】点在上，且，为的中点 故 故答案为 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题 14. 已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式能求出；设直线CD的方程为，求得C,D坐标，可求得的最小值，得到答案． 【详解】由题意知，两直线：，：互相平行， 作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示， 由两平行线间的距离公式可得， 因为，及两直线：，：， 作直线垂直于，，且垂足分别为C、D， 设直线的方程为， 联立方程组，解得，同理求得， 所以， 其中表示点与点和之间的距离之和，当点重合时，取得最小值， 所以的最小值为， 的最小值为． 故答案为，． 【点睛】本题主要考查了两平行线之间的距离公式，以及三条线段和的最小值的求法，其中解答中根据两平行线间的距离公式，以及两点间的距离公式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了运算求解能力，及数形结合思想，是中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式． （1）斜率是，经过点； （2）经过点两点； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点斜式，即可求出直线方程，再将其化为一般式方程； （2）根据两点式，即可求出直线方程，再将其化为一般式方程. 【小问1详解】 由点斜式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为； 【小问2详解】 由两点式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值大小． 【答案】 （1）直三棱柱，底面三边长，，，，，两两垂直． 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则 ，， ，故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直． （2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）同上建系，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由得： 令，则，则． 故，． 所求二面角的余弦值. 【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力． 17. 已知直线的方程为 （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）对任意直线恒过一个定点，求定点关于直线对称的点的坐标． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分类讨论直线过原点和不过原点的截距情况，得到的值； （2）整理直线方程，令前面的系数为0，求得的值，得到点的坐标.由点和对称点的联系与对称轴垂直，且交点为两点的中点，求出对称点坐标. 【小问1详解】 当直线过原点时，即，则； 当直线不过原点时，由题意可知，即 令，则，则， 令，则，则， 由题意可知：，即，则， 综上所述： 【小问2详解】 直线方程整理得： 令，解得，即， 直线的斜率 设定点关于直线对称的点 由对称的性质可知的直线与对称轴垂直，故， 所以直线，联立两直线方程得，解得， 即线段的中点坐标为，所以由中点坐标公式可得， 即定点关于直线对称的点的坐标为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，点在棱上且与不重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为，平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得. （2）先证两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面一个法向量与直线的一下方向向量，用向量法可求与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接. 因为平面，平面，所以. 在四边形中，，且， 所以四边形为矩形，所以，所以平面. 又在和中，，，. 所以，所以，所以. 故两两垂直， 所以以为坐标为原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系. 当为中点时， 则，， 所以， .设平面的法向量为， 则，取，则. 所以平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，等腰梯形 中，，，现以 为折痕把 折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）若为上的一点，点到平面的距离为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在梯形 中，取中点，连接， ，，四边形为平行四边形，， ，， ，，平面，平面， 平面，平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用平行四边形的判定和性质得，利用直角三角形性质得，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）分别取中点，连接，利用面面垂直的性质定理及线线平行性质得平面，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取中点，连接， ， 为 中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 分别为中点，，平面， 则以 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，，， 设，则， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 点到平面的距离， 解得：，； 平面轴，平面的一个法向量， ，又二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市清华中学高2026届高二上期10月检测数学试题 命题人：蔡冬妮 审题人：唐静 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知圆，则圆心与半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知点P是轴上的点，P到直线 距离为6，则P点坐标为（ ） A. ( -6，0) B. (-12，0) C. (-12，0)或(8，0) D. (-6，0)或(6，0) 3. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，则与所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的方程为，直线的方程为，若直线，的交点在轴上，则的值为(　　) A. 2 B. C. D. 与有关 5. 已知向量，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 如果实数满足，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分． 9. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 11. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 存在唯一的点P满足 C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 存在点P满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角______． 13. 如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则_____________ 14. 已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式． （1）斜率是，经过点； （2）经过点两点； 16. 如图，在直三棱柱中，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值大小． 17. 已知直线的方程为 （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）对任意直线恒过一个定点，求定点关于直线对称的点的坐标． 18. 如图，在四棱锥中，平面，点在棱上且与不重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求与平面所成角的正弦值. 19. 如图，等腰梯形 中，，，现以 为折痕把 折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）若为上的一点，点到平面的距离为，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $