精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（上）半期考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无放. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一､单选题 1. 下列直线中，倾斜角为钝角的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倾斜角为钝角，得直线的斜率，逐项判断即可. 【详解】由题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率不存在；直线的斜率； 由倾斜角为钝角，得直线的斜率， 故选：B. 2. 若圆与圆外切，则的值是（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】已知两圆外切，可根据圆心距和半径的关系求解. 【详解】圆，则圆心，半径； 圆，则圆心，半径； 则，则，解得； 故选：C. 3. 已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【详解】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 4. 已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设线段的中点，由中点坐标公式得，将其代入圆方程化简即可得解. 【详解】设线段的中点， 则由题，且即， 所以即， 所以线段的中点的轨迹方程为. 故选：A. 5. 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分或 两种情况，结合求解. 【详解】解：因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于， 所以或 ， 即 或 ，又 ， 所以， 故选：D 6. 已知动点在椭圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 7. 已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若在同一支上，则的最小值为通径；若在两支上，则的最小值为实轴两顶点的距离，由此列出不等式，求解即可. 【详解】由题意：若在同一支上，则；如果在两支上，则有； 因为存在4条直线满足，所以且，解得， 故选：C. 8. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件设出直线，联立直线和抛物线方程并消元，得到，有直线间的距离，结合条件近一步计算即可. 【详解】设；由题意：直线与之间的距离； 因为，设直线，与联立，整理得：； 由韦达定理：，， 则； 故时，. 故选：A. 二､多选题 9. 若数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ） A. 该数列有3个负数项 B. 该数列有无限多个正数项 C. 该数列的最小项大于函数的最小值 D. 该数列中的所有项均为奇数或4的倍数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列的通项公式可判断A、B、D，利用数列的单调性和函数的单调性可判断C. 【详解】对于和，令，解得， 所以数列前3项为负数项，从第5项开始后面的项均为正数项，故A正确，B正确； 对于C，由二次函数的性质可知，，故C错误； 对于D，，与同为奇数或同为偶数，故D正确； 故选：ABD 10. 椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 椭圆的离心率为 C. 的长为 D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用的面积计算出的值，进而计算的周长和离心率，即可判断A和B；利用余弦定理解，进而计算面积，即可判断C和D. 【详解】由题意：为面积是的正三角形， 故且，故； 的周长为，故A正确； 椭圆的离心率，故B错误； 设，则，由知； 由余弦定理：，所以，C正确； ，故D正确， 故选：ACD. 11. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用表达式的几何意义，结合图形求范围即可. 【详解】由题意，，两边平方得， 故方程表示的几何图形为半圆，即圆位于轴上方（包括轴上两点）的部分； 选项A： 如图所示，的几何意义为半圆上的点与点的连线的斜率； 设过点的直线的方程为，即， 由，解得或（舍去）； 因此，的取值范围是，故A正确； 选项B： 设，则，故的几何意义为过半圆上的点的斜率为的直线系的纵截距； 当直线过点时，有最小值，最小值为； 由，解得或（舍去），此时有最大值，最大值为， 因此，的取值范围是，故B正确； 选项C： 如图所示，几何意义为半圆上的点到的距离的平方； 由图可知，半圆上点到的距离最大，最大距离为5；点到的距离最小，最小距离为1； 因此，的取值范围是，故C错误； 选项D： 如图所示，的几何意义为半圆上的点到直线的距离的倍； 由图可知，距离的最小值为，最大值为， 因此，的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题 12. 若数列的前项和公式为，则的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用和的关系式求解即可. 【详解】当时：； 当时：； 经检验，不满足上式， 综上所述：. 故答案为：. 13. 当原点到动直线的距离最大时，实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据动直线恒过定点知距离最大时直线，利用斜率的关系列方程，求解即可. 【详解】由，得，则动直线恒过定点； 故原点到动直线的距离最大时，直线， 因为直线的斜率为，所以，解得； 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上一动点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得，两点间的距离公式得，进而表示出，利用函数的性质求值域即可. 【详解】 由题意：； 设，由抛物线定义：，； 当时，； 当时， ， 因为，所以，当且仅当时，等号成立； 因此，有最大值，当时，， 所以； 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 四､解答题 15. 已知圆C关于y轴对称且经过点和． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，设圆的标准方程为，再将点的坐标代入求解； （2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【小问1详解】 由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心； ∴设圆的标准方程为， 则解得： 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 ∵ ∴圆心C到直线l的距离为； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即 则圆心C到直线l的距离， 解得 此时直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程为或． 16. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，分别在棱上，平面. （1）若是的中点，求与平面所成角的余弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【小问1详解】 由题意：底面是正方形；连接交于点，连接； 因为平面，平面平面平面， 所以；又是中点，故是中点； 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系； 不妨设，则. 由题意，是的中点，则；故； 设平面的法向量为，则； 令，得； 记与平面所成角为，则， 故； 故与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 ，故， 故；又平面， 平面，故平面； 故平面的法向量； 平面的法向量； 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆相交于两点，点为的中点，直线的斜率为. （1）求椭圆的标准方程： （2）若轴上的点满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用点差法得到，再结合关系即可得到方程； （2）设直线的方程，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，解出点坐标，再写出其垂直平分线方程，令得到表达式，对分类讨论即可得到其范围. 【小问1详解】 设，则； 由两点在椭圆上：① ②； 用①②得：， 即，故； 又，故，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意：为线段的垂直平分线与轴的交点； 由直线的斜率为知与轴不垂直，即直线的方程为， 联立，整理得：恒成立， 由韦达定理：； 故； 线段的垂直平分线方程为； 令； 当时：，当且仅当时取等号，此时； 当时：，当且仅当时取等号，此时； 综上所述：的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到点坐标，从而得到的表达式，最后得到其范围. 18. 二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到；拋物线､即的焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为. （1）求二次函数的焦点的坐标和准线方程； （2）证明：二次函数上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等； （3）已知点，过点的直线与抛物线相交于两点，过点作轴的垂线与直线相交于点.证明：点在定直线上. 【答案】（1）焦点坐标为，. （2） 设为二次函数上任意一点，则， 故； 而到准线的距离， 故二次函数上任意一点与焦点的距离和到准线的距离相等. （3） 显然直线的斜率存在，故设直线， 与联立，整理得：； 设，则由韦达定理：； 直线，故； 故 ，故，即：点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据函数平移得出焦点的坐标和准线方程； （2）应用两点间距离公式及点到直线距离计算证明即可； （3）联立直线和抛物线结合韦达定理得出计算即可证明. 【小问1详解】 二次函数，它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线､即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.当时，. （1）求双曲线的标准方程； （2）若三角形的面积为，求直线的方程； （3）证明：存在实数，使得恒成立. 【答案】（1） （2）或. （3） 由题意， 当时：，解得， 不妨取，则， ，所以，满足； 故如果存在实数，使得恒成立，则； 当时，证明恒成立： 设，则； 所以， 则， 所以， 又，故， 所以； 综上所述：存在实数，使得恒成立. 【解析】 【分析】（1）由左顶点为得，由当时，得，再结合，联立方程组求解，得到双曲线方程； （2）设直线方程为，其中，联立直线方程和双曲线方程得，由韦达定理及弦长公式得，从而，解得，从而可得结论； （3）取直线与轴垂直的特殊情况得到，再验证，恒成立. 【小问1详解】 由题意得，解得； 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知；设直线的方程为， 由直线与双曲线的右支交于两点知； 联立，整理得：， 由韦达定理：； 故， 点到直线距离， 故，即， ， ， ， 解得或（舍去）， 故； 故直线的方程为，即或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（上）半期考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无放. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一､单选题 1. 下列直线中，倾斜角为钝角的直线是（ ） A. B. C. D. 2. 若圆与圆外切，则的值是（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 1 3. 已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知动点在椭圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 16 二､多选题 9. 若数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ） A. 该数列有3个负数项 B. 该数列有无限多个正数项 C. 该数列的最小项大于函数的最小值 D. 该数列中的所有项均为奇数或4的倍数 10. 椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 椭圆的离心率为 C. 的长为 D. 的面积为 11. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三､填空题 12. 若数列的前项和公式为，则的通项公式为__________. 13. 当原点到动直线的距离最大时，实数的值为__________. 14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上一动点，则的取值范围是__________. 四､解答题 15. 已知圆C关于y轴对称且经过点和． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 16. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，分别在棱上，平面. （1）若是的中点，求与平面所成角的余弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆相交于两点，点为的中点，直线的斜率为. （1）求椭圆的标准方程： （2）若轴上的点满足，求的取值范围. 18. 二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到；拋物线､即的焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为. （1）求二次函数的焦点的坐标和准线方程； （2）证明：二次函数上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等； （3）已知点，过点的直线与抛物线相交于两点，过点作轴的垂线与直线相交于点.证明：点在定直线上. 19. 已知双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.当时，. （1）求双曲线的标准方程； （2）若三角形的面积为，求直线的方程； （3）证明：存在实数，使得恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $