精品解析：福建省南安市侨光中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

侨光中学2024年秋季高一年第2次阶段考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 命题者：尤新兴 审核者： 谢真娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是减函数的是（     ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 6. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 27h B. 27.5h C. 28h D. 28.5h 7. 已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）． A. B. C. 2 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称 C. 的单调递增区间为 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 11. 函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的值域为 C. 若，则的最小值为 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则＝______． 13. 已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为_________________． 14. 已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）求，； （2）若集合，且“，”为假命题，求实数m的取值范围. 16. 已知函数为上的偶函数，当时，，且. （1）求函数的解析式； （2）若实数满足不等式，求的取值范围. 17. 已知一次函数过定点. （1）若，求不等式解集. （2）已知不等式的解集是，求的最小值. 18. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数． （1）当时，判断函数是否为有界函数，并说明理由； （2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）函数（，），若存在，使得成立，求实数a的取值范围； （3）已知函数在区间单调递减.试判断：是否恒成立？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 侨光中学2024年秋季高一年第2次阶段考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 命题者：尤新兴 审核者： 谢真娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 利用恒成立问题求参数的取值范围的方法求出的取值范围，再由充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为为真命题，又对恒成立， 所以为真命题等价于， 所以“”不能推出“”，反之，“”能推出“”， 所以“”是“为真命题”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查利用恒成立问题求参数的取值范围和充分必要条件；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握恒成立问题求参数的取值范围的方法和充分必要条件的判断是求解本题的关键；属于中档题. 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是减函数的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断，再利用常见幂函数和指数函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，则不是偶函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，又，则函数是偶函数， 函数，由幂函数在上是增函数，得函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数的定义域为，因为，所以函数是奇函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，又，则函数是偶函数， 当时，，，由指数函数的单调性判断方法可知函数在区间上是增函数，故D错误； 故选：B. 3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义得到，求出或1，舍去不合要求的，代入求值. 【详解】令，解得或1， 若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求， 若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求， 故. 故选：A 4. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由时，可排除选项CD，可得出正确答案 【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B， 又，排除选项CD， 故选：A 5. 已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出的值，利用零点存在定理求出、所在区间，由此可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，所以，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，所以，， 由可得，因此，. 故选：A. 6. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 27h B. 27.5h C. 28h D. 28.5h 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列方程，根据指数运算、对数运算性质求解即可. 【详解】由题意，， 则， 故选：C. 7. 已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义可判断函数在上单调递增，进而转化为分段函数的单调性，求解即可. 【详解】由题意，函数在上单调递增； 则，解得， 故选：D. 8. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）． A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可. 【详解】, 由， ， 即， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题干，利用不等式的性质分别判断每个选项的正误即可. 【详解】由，可得， 对于A，由于，所以，A错误； 对于B，由于，所以，B正确； 对于C，由于，所以，则，C正确； 对于D，由于，所以，,故D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称 C. 的单调递增区间为 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据可判断A；利用奇函数的图象的对称性和函数图象的平移可判断B，根据复合函数的单调性可判断C；通过画函数图象可判断D. 【详解】对于A，当时，， 所以函数的图象恒过定点，故A正确； 对于B，因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称， 因为函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位得到， 所以函数的图像关于点对称，故B正确； 对于C，设，则， 由，得或， 因为在单调递增， 在单调递减，在单调递增， 所以的单调递增区间为，故C错误； 对于D，当时，函数的图象下图所示， 当时，函数的图象下图所示， 则当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的值域为 C. 若，则的最小值为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，代值验证即可，对于B，根据高斯函数的定义分析判断，对于C，先求出的范围，然后根据对勾函数的性质求解判断即可，对于D，解不等式后再根据高斯函数的定义可求得结果. 【详解】对于A，，显然，故错误； 对于，由取整函数的定义知：， 函数的值域为，故B正确； 对于C，由于，则，易知， 而函数在上单调递增， 当时，的最小值为，故C正确； 对于D，，则，故，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则＝______． 【答案】－1 【解析】 【分析】根据分段函数限定的范围内求值. 【详解】函数，则. 故答案为：－1 13. 已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶函数的性质和所给函数图像即可找到两个函数同号的取值范围. 【详解】因为函数为偶函数，根据偶函数的性质，时，， 时，； 又为奇函数，根据奇函数的性质，，时，， ，则与同号， 则使关于的不等式成立的的取值范围为 故答案为： 14. 已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由不等关系构造新的函数并得到单调性，对已知不等式按构造函数进行转换，利用单调性列出不等式后解得的解集. 【详解】不妨设，则， 令，则，∴在上单调递增， 可得， ∵，∴， 则，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）求，； （2）若集合，且“，”为假命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据补集的定义求出和，再求交集； （2）“”为假命题，则其否定“”为真命题，由此确定的取值范围. 【小问1详解】 对于集合，根据补集定义，或. 对于集合或，. 那么. 【小问2详解】 因为“”为假命题，则其否定“”为真命题，这意味着中的元素都不在中，即. 当时，满足，此时，解得. 当时，即时，要使，则或者. 由，解得. 由，解得，但，所以这种情况无解. 综上所得，实数的取值范围是或. 16. 已知函数为上的偶函数，当时，，且. （1）求函数的解析式； （2）若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性和题设条件求出的值，再由奇偶性求出时的函数解析式； （2）根据（1）求得的函数解析式，判断函数在上的单调性和对称性，得到与等价的不等式组解之即得. 【小问1详解】 因为函数为上的偶函数，且当时，， 因，即，解得， 所以当时，. 当时，则，，则. 故有. 【小问2详解】 由（1）已得： 可得在上单调递减，在上单调递增. 又，所以 由① 得：；由② 得：；由③ 得：. 故的取值范围是. 17. 已知一次函数过定点. （1）若，求不等式解集. （2）已知不等式的解集是，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先运用待定系数法求出函数解析式，再解分式不等式即得； （2）利用三个二次的关系，将一元二次不等式的解转化为对应方程的的根，利用韦达定理和基本不等式即可求得. 【小问1详解】 依题设，因为过定点，所以，即，又，即，所以， 故不等式即，可得，即，将其转化为不等式组得，解得或， 故原不等式的解集为或. 【小问2详解】 由（1）知，又不等式的解集是，所以的解集是， 即方程有两根为，由韦达定理，，且， 则且，故，由， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 18. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数． （1）当时，判断函数是否为有界函数，并说明理由； （2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围． 【答案】（1）是有界函数，理由如下： 当时，，由，知， 于是，则，故时，， 因此，函数为有界函数． （2） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，利用有界函数的定义即可判断； （2）根据有界函数的定义知在上恒成立，利用参数分离法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若函数在上是以为上界的函数，则有在上恒成立． 故恒成立，即恒成立， 所以，即， 由题可知，不等式组在上恒成立． 因为在上单调递减，其最大值为； 又在上单调递减，其最小值为． 所以，解得， 故的取值范围是． 19. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）函数（，），若存在，使得成立，求实数a的取值范围； （3）已知函数在区间单调递减.试判断：是否恒成立？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）恒成立，理由如下： 因为， 所以 ， 因为在区间单调递减， 所以当时，，所以， 即，即， 所以， 即 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义可知为奇函数，根据复合函数的单调性即可求解， （2）根据两个函数的单调性求解函数值域，即可根据和在上的值域的交集不为空集得解， （3）根据对数的运算性质可得，即可根据的单调性求解. 【小问1详解】 因为，由，可得， 即的定义域为； 又，所以为奇函数， 当时，单调递减，又为增函数， 所以函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 若不等式， 则解集为； 【小问2详解】 函数， 若存在，使得成立， 则和在上的值域的交集不为空集； 由（1）可知：时，单调递减， 又，所以的值域为； 若，则在上单调递减， 所以的值域为， 此时只需，即，所以； 若，则在上单调递增， 可得的值域为， 此时与的交集显然为空集，不满足题意； 综上所述，实数a的范围是； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析得的值域情况，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $