精品解析：山西省太原市2024-2025学年九年级上学期期中测评数学试卷

山西省太原市2024-2025学年第一学期期中测评九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是(　 ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】方析： 根据“全等形”的定义进行分析判断即可. 详解： A选项中，图形中的三个椭圆不全等，故可以选A； B选项中，图形中的四个圆是全等的，故不能选B； C选项中，图形中的两个“到v型图案”是全等的，故不能选C； D选项中，图形中是三个四边形是全等的，故不能选D. 故选A. 点睛：熟记“全等形”的定义：“两个能够完全重合的图形叫做全等形”是解答本题的关键. 2. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是(　　) A. 76° B. 62° C. 42° D. 76°、62°或42°都可以 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求解即可. 【详解】∵对应边的对角是对应角， ∴∠1=62°. 故选B. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，对应边相等.对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边. 3. 如图，点在的边上，用尺规作图的方法作，连接，．则下列结论不正确的是（ ） A. 的依据是“” B. C. ，都是等腰三角形 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，三角形全等的判定，平行线的判定，根据作一个角等于已知角的基本作图步骤，结合相关的判定，逐项进行判定即可． 【详解】解：AB．根据作图可知：，， ∴的依据是“”，故A错误，符合题意，B正确，不符合题意； C．∵， ∴，都是等腰三角形，故C正确，不符合题意； D．∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：A． 4. 如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点C，D，，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，可得，从而．你认为能判定的依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有、、、、． 根据题意可得，即可根据证明． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A． 5. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，根据相关知识逐个选项判断即可． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意， 故选：C． 6. 如图，在中，，平分，交于点，，，则点到的距离为（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 由条件可先求得的长，再根据角平分线的性质可知到的距离等于，可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离等于， ∴点到线段的距离为， 故选：D． 7. 如图，，为的中点，以下结论正确的有几个？（ ） ①；②；③；④是的角平分线． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，根据，为的中点得到，即可得到是的角平分线，，； 【详解】解：∵，为的中点， ∴， ∴，是的角平分线， 在与中， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，为的边上一点．，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，找出全等三角形是解题关键．证明，得到，再结合平角和三角形内角和定理，得出，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故选：B 9. 如图所示的2×2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD．则下列结论错误的是（　　） A. ∠1+∠2＝∠3 B. ∠1+∠2＝2∠3 C. ∠1+∠2＝90° D. ∠1+∠2+∠3＝135° 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形以及勾股定理可以得到边之间关系，从而得到，，为等腰直角三角形，对选项逐个判断即可求解． 【详解】解：如图，，， ∴，，为等腰直角三角形 ∴∠4＝∠2，∠1＝∠5， A、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°＞∠3，故符合题意 B、∠1+∠2＝2∠3＝90°，故不符合题意 C、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°，故不符合题意 D、∠1+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠3＝90°+45°＝135°，故不符合题意 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关基本性质找到角之间的关系是解题的关键． 10. 如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】在AC上取AE＝AB＝5，然后证明△AEP≌△ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE＝PB＝3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边和任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE， ∵AC＝9， ∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4， ∵点P是∠BAC平分线AD上的一点， ∴∠CAD＝∠BAD， 在△APE和△APB中， ， ∴△APE≌△APB（SAS）， ∴PE＝PB＝3， ∵4﹣3＜PC＜4+3， 解得1＜PC＜7， ∴PC不可能为7， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，如图，，则再添加一个条件_______（只添加一个条件）可证出． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ∴当时，利用 可证得． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 12. 如图是标准跷跷板的示意图，横板的中点过支撑点，且绕点只能上下转动．如果，，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，根据题意作图图形是解题关键．结合旋转的性质可得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，然后根据三角形外角的定义和性质，由可得答案． 【详解】解：如图， 根据题意，可知，，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图．已知的周长是18．，分别平分和，于，且．则的面积是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 过作于，于，连接，根据角平分线性质得出，求出的面积，再求出答案即可． 【详解】解：过作于，于，连接， ，分别平分和，，，，， ，， 的周长为18， ， 的面积 ． 故答案为：9． 14. 如图，把放置在平面直角坐标系中，已知，，，，点在第四象限，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB=∠DBC，结合∠AOB=∠BDC、AB=BC，即可证出△OAB≌△DBC（AAS），根据全等三角形的性质即可得出BD=AO、DC=OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵∠ABC=90°，∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠DBC=90°， ∴∠OAB=∠DBC． 在△OAB和△DBC中， ， ∴△OAB≌△DBC（AAS）， ∴BD=AO，DC=OB． ∵A（3，0），B（0，-1）， ∴BD=AO=3，DC=OB=1，OD=OB+BD=4， ∴点C的坐标为（1，-4）． 故答案为：（1，-4）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△OAB≌△DBC是解题的关键． 15. 如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、矩形的性质、动点问题，分情况讨论即可作答． 【详解】①当点在上时，由题意得 要使，则需 解得： ②当在上时，不构成 ③当在 上时，由题意得 要使，则需，即 解得： 综上，当或时， 故答案为或． 三、解答题（共75分） 16. 如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝50°，∠F＝40°． （1）求△DBE各内角的度数； （2）若AD＝16，BC＝10，求AB的长． 【答案】（1）∠D＝50°，∠E＝40°，∠EBD＝90°；（2）AB＝3． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质求出∠D、∠E，根据三角形内角和定理求出∠EBD即可； （2）根据全等三角形的性质得出AC＝BD，求出AB＝CD，即可求出答案． 【详解】（1）∵△ACF≌△DBE，∠A＝50°，∠F＝40°， ∴∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠F＝40°， ∴∠EBD＝180°﹣∠D﹣∠E＝90°； （2）∵△ACF≌△DBE， ∴AC＝BD， ∴AC﹣BC＝DB﹣BC， ∴AB＝CD， ∵AD＝16，BC＝10， ∴AB＝CD＝（AD﹣BC）＝3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 17. 如图，点四点在一条直线上，，.老师说：再添加一个条件就可以使.下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加；乙说：添加；丙说：添加. （1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________ （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明. 【答案】（1）乙、丙； （2）如果添加： 证明： 在和中 ； 添加条件BE=CF， 证明： ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， 【解析】 【分析】（1）由AB∥DE可得∠B=∠DEF，结合AB=DE，可知一角一边对应相等，根据三角形全等的判定方法进行判断三个同学的说法即可； （2）如果选AC∥DF，可得∠F=∠ACB，依据AAS证明全等即可；如果选BE=CF，先证明BC=EF，再根据SAS证明全等即可. 【详解】（1）根据分析可得乙、丙两位同学说法正确； （2） 略 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 18. 如图，小明与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，．求证：； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据， ，得，结合，得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据CE∥AB可得∠B=∠DCE，由SAS定理可得结论； （2）利用全等三角形的性质定理可得∠ECD=∠B=50°，∠A=∠D=22°，由平行线的性质定理易得∠ACE=∠A=22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果． 【详解】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠DCE， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°， ∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠A＝22°， ∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°， ∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键． 20. 如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，，分别交，于点M，F．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据，结合三角形内角和得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，AD是的中线，，垂足为E，，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【小问1详解】 证明：∵AD是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． 22. （1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省太原市2024-2025学年第一学期期中测评九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是(　 ) A. B. C. D. 2. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是(　　) A. 76° B. 62° C. 42° D. 76°、62°或42°都可以 3. 如图，点在的边上，用尺规作图的方法作，连接，．则下列结论不正确的是（ ） A. 的依据是“” B. C. ，都是等腰三角形 D. 4. 如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点C，D，，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，可得，从而．你认为能判定的依据是（ ）． A. B. C. D. 5. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，平分，交于点，，，则点到的距离为（　　）． A. B. C. D. 7. 如图，，为的中点，以下结论正确的有几个？（ ） ①；②；③；④是的角平分线． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，为的边上一点．，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的2×2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD．则下列结论错误的是（　　） A. ∠1+∠2＝∠3 B. ∠1+∠2＝2∠3 C. ∠1+∠2＝90° D. ∠1+∠2+∠3＝135° 10. 如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，如图，，则再添加一个条件_______（只添加一个条件）可证出． 12. 如图是标准跷跷板的示意图，横板的中点过支撑点，且绕点只能上下转动．如果，，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为______． 13. 如图．已知的周长是18．，分别平分和，于，且．则的面积是______． 14. 如图，把放置在平面直角坐标系中，已知，，，，点在第四象限，则点的坐标是______． 15. 如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是______． 三、解答题（共75分） 16. 如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝50°，∠F＝40°． （1）求△DBE各内角的度数； （2）若AD＝16，BC＝10，求AB的长． 17. 如图，点四点在一条直线上，，.老师说：再添加一个条件就可以使.下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加；乙说：添加；丙说：添加. （1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________ （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明. 18. 如图，小明与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，．求证：； 19. 如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数． 20. 如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，，分别交，于点M，F．求证： （1）； （2）． 21. 如图，AD是的中线，，垂足为E，，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. （1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $