精品解析：湖南省益阳市玉潭教育集团2024-2025学年七年级上学期开学考试数学试卷

2024－2025学年湖南省益阳市玉潭教育集团七年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，0，-1，0.4，π，2，-3，-6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数、自然数和分数的定义，将题干中的数进行分类得出具体个数，就可以确定的值，然后将数值代入到原式中计算即可. 【详解】因为是无限不循环小数，所以不是有理数，所以有理数的个数是，即；因为是自然数，自然数的个数是，所以；因为，，是分数，分数的个数是，即，所以原式； 故答案选A. 【点睛】本题考查的是有理数的分类，能够分别出不是有理数是确定值的关键. 2. 下列各式的值等于5的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质判断即可：如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数；③当a是零时，a的绝对值是零．根据绝对值的性质逐项计算即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选B． 3. 在，，0，3四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据正有理数都大于0，负有理数都小于0，正有理数大于一切负有理数，负有理数绝对值大的反而小即可得出答案． 【详解】解：， 最大， 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较方法（正有理数都大于0，负有理数都小于0，正有理数大于一切负有理数，负有理数绝对值大的反而小）是解题的关键． 4. 一个数是10，另一个数比10的相反数少2，则这两个数的和是（ ） A. 18 B. -2 C. -18 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据相反数的概念求出10的相反数，再根据有理数的减法求出比10的相反数小2，再把两数相加即可． 【详解】解：∵10的相反数是−10， ∴比10的相反数小2是−12， ∴这两个数的和为10＋（−12）＝−2． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数加减运算法则和相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数，解答此题的关键是熟知相反数的概念及有理数的加减法则． 5. 如果ab＜0，a+b＜0，那么下列结论正确的是（　　） A. a＜0，b＜0 B. a＞0，b＜0，且|a|＞|b| C. a+b=0，且a≠0 D. a＜0，b＞0，且|a|＞|b| 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的乘法法则，有理数的加法法则进行计算即可求解. 【详解】解：A、∵a＜0，b＜0， ∴ab＞0，故选项错误； B、∵a＞0，b＜0，且|a|＞|b|， ∴ab＜0，a+b＞0，故选项错误； C、∵a+b=0，且a≠0， ∴与a+b＜0矛盾，故选项错误； D、∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， ∴ab＜0，a+b＜0，故选项正确． 故选：D. 【点睛】此题考查有理数大小比较法则，有理数的加法计算法则，有理数的乘法计算法则，熟记计算法则是解题的关键. 6. 生活情境·剪绳子 有一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如果以后每次都剪去剩下绳子的，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方和数字类规律，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 根据题意可得第一次剪去绳子的，剩下绳子的长度是（米），第二次剪去剩下绳子的，剩下绳子的长度是（米），……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：因为第一次剪去绳子的，所以剩余（米）， 因为第二次剪去剩下绳子的，所以第二次剪去后剩下的绳子长度是（米）， 因为第三次剪去剩下绳子的，所以第三次剪去后剩下的绳子长度是（米）， …… 以此类推，第100次剪完后剩下绳子的长度是米． 故选：C． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算的法则进行计算即可；解题的关键是熟练掌握有理数混合运算的法则． 【详解】解：A、原式，错误； B、原式，错误； C、原式，错误； D、 正确； 故选：D． 8. 学校食堂买来40千克白糖．付出元找回4元，每千克白糖（ ）元． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出算式即可． 【详解】解：学校食堂买来40千克白糖．付出元找回4元，每千克白糖为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握 “单价总价数量”． 9. 若，，且，那么的值是（ ） A. 5或1 B. 5或 C. 或13 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的化简计算，有理数的加减运算；根据，，且，得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴或 故选：D． 10. 单项式﹣πx2y3的系数和次数分别是( ) A. ﹣，6 B. ﹣π，3 C. ﹣，5 D. ﹣π，5 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式的系数和次数的概念直接得出答案. 【详解】解：单项式﹣πx2y3的系数是﹣π，次数是2+3=5， 故选D 【点睛】本题考查了单项式的系数和次数，单项式中的数字因数是其系数，所有字母的指数的和是其次数，注意π是常数而不是字母. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 比较大小：___________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先把和化简，再进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵，，且 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的化简以及两个负数比较大小，难度较小，两个负数比较大小可以通过比较它们的绝对值，绝对值大的数反而小， 12. 若与的和是单项式，则______。 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意可得单项式与是同类项，可列出关于m，n的方程，求出m，n的值代入即可． 【详解】由题意得：与是同类项， 则2m=6，n+4=2， 即m=3，n=-2． 所以m-n=3-(-2)=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是根据题意得出单项式与是同类项，继而可根据同类项的定义求解． 13. 已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为______． 【答案】-1011 【解析】 【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值a2n=-n，序数为奇数时，其最后的数值a2n+1，从而得到答案． 【详解】解：a1=0， a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1， a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1， a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2， a5=-|a4+4|=-|-2+4|=-2， a6=-|a5+5|=-|-2+5|=-3， a7=-|a6+6|=-|-3+6|=-3， … 以此类推， 经过前几个数字比较后发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即a2n=-n， 序数为奇数时，其最后的数值a2n+1， 则a2022=-1011 故答案为：-1011 【点睛】本题考查数字的变化规律问题，解题关键是通过题中要求列出前几项数字寻找规律． 14. 已知，均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如．计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，先计算出，再计算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 15. 我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长度为___________． 【答案】4.5或0.5 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与其距离的关系，将所给绝对值等式化简，数形结合，画草图分析，是解题的关键． 先由，推得点在点A和点B之间，且C与A，C与B之间的距离均为1，D与A之间的距离为2.5，据此画数轴草图，因不知其点的具体位置，故不标原点及数值，据此可解． 【详解】解：， 点C在点A和点B之间，， ， ， 不妨设点A在点B左侧， 如图，若点D在点A的左侧， 线段的长为； 如图，若点D在点A的右侧， 线段的长为． 故答案为：4.5或0.5 16. 2020年6月23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据6500000用科学记数法表示为________． 【答案】6.5×106 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：6500000用科学记数法表示应为：6.5×106， 故答案为：6.5×106． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 17. 如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为4时，求最后输出的结果y是_______________________． 【答案】#### 【解析】 【分析】根据题中的程序流程图，将代入计算，得到结果为小于1，将代入计算得到结果为1，将代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果． 【详解】解：输入，代入得：， 将代入得：， 将代入得：， 则输出的结果为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 18. 如图，幻方是古老的数学问题，我国古代的〈洛书〉中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据每一横行每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，用含的式子表示，，，再由第一行与第三行的和相等列方程可求出的值，从而可得到答案． 【详解】解：每一横行和相等， ， ， 每一横行，每一竖列和相等， ， ， 对角线上的3个数之和与每一横行和相等， ， ， 第一行与第三行的和相等， ，即， 解得， ，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，用含的式子表示，，，再找等量关系列出方程是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共7分． 19. 定义运算“”为：，求，． 【答案】3，35． 【解析】 【分析】原式利用题中的新定义法则计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义法则、熟练掌握运算法则是解本题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共59分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足． （1）______，_______； （2）若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动． ①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离； ②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？ 【答案】（1）， （2）①1，②2秒或7秒 【解析】 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，即可得出a，b的值； （2）①利用时间等于路程除以速度，可求出点A运动的时间，结合点B的运动速度及出发点，可求出此时点B对应的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出A，B两点间的距离；②当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，根据两点相距5个单位长度，可得出关于t的一元一次方程，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵a，b表示的数满足， ∴，， ∴，． 故答案为：，． 【小问2详解】 点A运动到6对应的点所需时间为(秒)， 此时点B运动到的位置为， ∵， ∴A，B两点间的距离为1． 当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 故经过2秒或7秒，两点相距5个单位长度． 【点睛】本题主要考查动点问题，涉及偶次方的非负性、绝对值的非负性，两点之间的距离以及解一元一次方程的应用，解题的关键是能用代数式表示点的位置． 21. 如图所示，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬3个单位长度到达点B，点A表示数，设点B所表示的数为m． （1）求m的值； （2）求的值． 【答案】（1）m=； （2） 【解析】 【分析】（1）在解答本题时，依据数轴的特点，向右爬三个单位，即A点所对应的实数加3为B点对应的实数； （2）将求出m的值代入待求式解答即可，注意在去绝对值符号时，需要先判断绝对值符号内部式子的正负． 【小问1详解】 由于蚂蚁向右爬行了3个单位到达B点， 所以点B表示的数为-+3=， 故m=． 【小问2详解】 把m的值代入式子，得 【点睛】本题主要考查数轴上的数的变化关系，数轴上的数向右移动n个单位，给这个数加上n即可，向左移动n个单位，给这个数减去n即可． 22. 若a，b互为倒数，c，d互为相反数，m为最大的负整数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】互为倒数的两个数积为1，互为相反数的两个数和为，最大的负整数为，代入代数式运算求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴． 【点睛】本题主要考查倒数的定义，相反数的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键． 23. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是4，求值． 【答案】或3 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，理解相反数，倒数和绝对值的概念，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．根据相反数和倒数的概念可得，，根据绝对值的意义可得，然后分情况讨论代入求值． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是4， ∴，，， ∴，，或， （1）时， ． （2）时， ． 综上，可得：值是或3． 24. 观察下列等式并回答问题． 第1个等式， 第2个等式， 第3个等式， 第4个等式， … （1）按发现的规律分别写出第5个等式和第6个等式； （2）求的值． 【答案】（1）第5个等式，第6个等式． （2） 【解析】 【分析】（1）根据前面4个等式提供的信息，归纳发现等式左边分母是与序号相关的两个连续奇数之积，等式的右边是这两个奇数的倒数之差的一半，从而可得答案； （2）把要求和的代数式根据（1）的发现的规律进行变形，再利用乘法的分配律进行计算即可． 【小问1详解】 解：第1个等式， 第2个等式， 第3个等式， 第4个等式， ∴第5个等式， 第6个等式． 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查的是有理数的运算规律的探究，掌握探究的方法，并灵活运用规律解题是解本题的关键． 25. 在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ （3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有________千米． 【答案】（1）B地位于A地的东边，距离A地千米 （2）9 （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，绝对值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义将各数相加并计算后即可求得案； （2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；； （3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远. 【小问1详解】 解：（千米） 即B地位于A地的东边，距离A地千米． 【小问2详解】 解： （千米） （升） 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油． 【小问3详解】 解：第一次航行后距离A地千米； 第二次航行后距离A地 (千米)； 第三次航行后距离A地 (千米)； 第四次航行后距离A地 (千米)； 第五次航行后距离A地 (千米)； 第六次航行后距离A地 (千米)； 第七次航行后距离A地 (千米)； 第八次航行后距离A地 (千米)； ， 救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有千米． 答∶救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有千米． 26. 某超市在元旦期间对购物实行优惠，规定如下： 一次性购物货款 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过500元 九折优惠 超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 （1）若顾客一次性购物的货款为300元，他实际付款 元； （2）若顾客一次性购物货款为元，当超过500元时，实际付款 元（用含的代数式表示）； （3）若顾客两次购物的货款合计840元，第一次购物的货款为元，则该顾客两次购物实际付款一共多少元？（用含的代数式表示） （4）小张两次购物，第一次购物的货款为元，第二次购物的货款为元．如果他把两次购买的商品合并为一次购买，可节省26元，则他两次购物的货款一共是多少元？ 【答案】（1）270 （2） （3）元 （4）他两次购物的货款一共是760元． 【解析】 【分析】（1）由题意依据超过200元但不超过500元给予九折优惠进行计算即可得出答案； （2）由题意依据超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠进行列式化简即可得出答案； （3）根据题意可得两次购物顾客实际共付款化简即可； （4）根据题意可知，，进而依据他把两次购买的商品合并为一次购买，可节省26元进行列式计算即可. 【小问1详解】 解:（1）∵300元超过200元但不超过500元， ∴实际付款为300×0.9=270（元）． 故答案为：270． 【小问2详解】 解：∵超过500元， ∴实际付款为（元）． 故答案为：. 【小问3详解】 解：根据题意可得：两次购物顾客实际共付款： ． 答：两次购物顾客实际付款一共元． 【小问4详解】 解：由题可知，， 分两次购物，实际付款为（元）． 两次合并一次购买，实际付款为：（元）， 所以节省的费用 所以（元）， 所以他两次购物的货款一共是760元． 【点睛】本题考查列代数式及代数式求值，根据不同情况正确列出代数式是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年湖南省益阳市玉潭教育集团七年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，0，-1，0.4，π，2，-3，-6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 2. 下列各式的值等于5的是（ ） A. B. C. D. 3. 在，，0，3四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 4. 一个数是10，另一个数比10的相反数少2，则这两个数的和是（ ） A. 18 B. -2 C. -18 D. 2 5. 如果ab＜0，a+b＜0，那么下列结论正确的是（　　） A. a＜0，b＜0 B. a＞0，b＜0，且|a|＞|b| C. a+b=0，且a≠0 D. a＜0，b＞0，且|a|＞|b| 6. 生活情境·剪绳子 有一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如果以后每次都剪去剩下绳子的，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 学校食堂买来40千克白糖．付出元找回4元，每千克白糖（ ）元． A. B. C. D. 9. 若，，且，那么的值是（ ） A. 5或1 B. 5或 C. 或13 D. 或 10. 单项式﹣πx2y3的系数和次数分别是( ) A. ﹣，6 B. ﹣π，3 C. ﹣，5 D. ﹣π，5 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 比较大小：___________（填“”，“”或“”）． 12. 若与的和是单项式，则______。 13. 已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为______． 14. 已知，均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如．计算__________． 15. 我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长度为___________． 16. 2020年6月23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据6500000用科学记数法表示为________． 17. 如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为4时，求最后输出的结果y是_______________________． 18. 如图，幻方是古老的数学问题，我国古代的〈洛书〉中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值为_________． 三、计算题：本大题共1小题，共7分． 19. 定义运算“”为：，求，． 四、解答题：本题共7小题，共59分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足． （1）______，_______； （2）若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动． ①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离； ②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？ 21. 如图所示，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬3个单位长度到达点B，点A表示数，设点B所表示的数为m． （1）求m的值； （2）求的值． 22. 若a，b互为倒数，c，d互为相反数，m为最大的负整数，求的值． 23. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是4，求值． 24. 观察下列等式并回答问题． 第1个等式， 第2个等式， 第3个等式， 第4个等式， … （1）按发现的规律分别写出第5个等式和第6个等式； （2）求的值． 25. 在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ （3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有________千米． 26. 某超市在元旦期间对购物实行优惠，规定如下： 一次性购物货款 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过500元 九折优惠 超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 （1）若顾客一次性购物的货款为300元，他实际付款 元； （2）若顾客一次性购物货款为元，当超过500元时，实际付款 元（用含的代数式表示）； （3）若顾客两次购物的货款合计840元，第一次购物的货款为元，则该顾客两次购物实际付款一共多少元？（用含的代数式表示） （4）小张两次购物，第一次购物的货款为元，第二次购物的货款为元．如果他把两次购买的商品合并为一次购买，可节省26元，则他两次购物的货款一共是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $