专题4.2 角（5大知识点5大考点16类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.2 角（5大知识点5大考点16类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点提示： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点提示： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【知识点2】角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点提示： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 3.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点提示： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 4.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点提示：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【知识点3】余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点提示： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【知识点4】方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 要点提示： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示； （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”； （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【知识点5】钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 第二部分【题型展示与方法点拨】 考点与题型目录 【考点1】角的概念的理解、表示方法、分类 【题型1】角的概念理解.......................................................4 【题型2】角的表示方法.......................................................5 【题型3】角的分类...........................................................8 【考点2】角度制与角的大小比较 【题型4】角的单位与角度制...................................................9 【题型5】角的度数的大小比较................................................10 【题型6】角的比较..........................................................11 【题型7】角度的四则运算....................................................13 【考点3】特殊角、方向角、钟面角 【题型8】画特殊角..........................................................15 【题型9】钟面角及有关计算..................................................16 【题型10】方向角及有关计算.................................................17 【考点4】角等分线运算有关运算 【题型11】角平分线的有关计算...............................................19 【题型12】角n等分线的有关计算.............................................22 【考点5】余角、补角及有关运算 【题型13】求一个角的余角、补角.............................................25 【题型14】与余角、补角有关的计算...........................................27 【题型15】同(等)角的余(补)角相等的应用.....................................30 【题型16】实际问题中角度的运算.............................................33 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】角的概念理解 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于角的说法中，正确的个数为（  ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查角的知识，首先正确理解角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，注意不要忽略“公共端点”，还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致；然后结合角的定义的理解，对选项进行一一分析，排除错误答案即可． 解：角是由有公共端点的两条射线所构成的图形，故①②③正确； 角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故④错误． 故选D． 【变式1】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个10倍的放大镜看一个30度的角，仍然是30度，放大镜放大的只是两边的长短． 解：用一个10倍的放大镜看一个30度的角，那么看到的仍然是30度的角， 故选：A． 【变式2】（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（    ） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查角的概念，在数角的个数时要从一个边开始把它上的角数完后再换另一条射线，这样可使数的角不重不漏．有公共顶点的射线：两条射线构成1个角；三条射线构成个角；四条射线构成个角；…条射线构成个角． 解：根据题意可知，角的顶点处有条射线，共有个角． 故选B． 【题型2】角的表示方法 【例2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：    【答案】． 【分析】根据角的表示即可得． 解： 故答案为：． 【点拨】本题考查了角的表示，解题的关键是掌握角的表示． 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下列4个图形中，能用，，三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示方法，进行判断即可． 解：A、以为顶点的角不止一个，不能用表示角，不符合题意； B、能用，，三种方法表示同一角，符合题意； C、以为顶点的角不止一个，不能用表示角，不符合题意； D、表示的角与，表示的不是同一个角，不符合题意； 故选B． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，   (1)用不同的方法表示图中以为顶点的角； (2)写出以为顶点的角与边； (3)画出，使成平角，写出它的边． 【答案】(1)或或；(2)角为（或或），边是，；(3)图见解析，边是， 【分析】（1）根据角的表示方法即可得到答案；（2）根据角的表示方法和边的定义即可得到答案； （3）根据平角的定义和边的定义即可得到答案． 解：（1）解：由图可得： 用三个字母表示以为顶点的角为：， 用一个字母表示以为顶点的角为：， 用数字表示以为顶点的角为：， 故答案为：或或． （2）解：由图可得： 用三个字母表示以为顶点的角为：， 用一个字母表示以为顶点的角为：， 用数字表示以为顶点的角为：， 以为顶点边是，， 故答案为：角为（或或），边是，． （3）解：如图，是射线的反向延长线，    则成平角，的边是，． 【点拨】本题考查角的概念，熟练掌握角的概念与表示方法是解题的关键． 【题型3】角的分类 【例3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 解：①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 【变式2】（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 【题型4】角的单位与角度制 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）关于度、分、秒的换算． (1)用度表示； (2)用度表示； (3)用度、分、秒表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）（2）（3）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ＇ ． 【答案】 56.3 12.54 12 18 36 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60． （1）将转化为即可得到答案； （2）将转化为，转化为即可得到答案； （3）将转化为，将转化为即可得到答案． 解：（1）． （2）． （3）． 故答案为： 12 18 36 【变式2】（24-25七年级上·河北邢台·期中）将用度、分、秒表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制． 根据大单位化小单位除以进率，可得答案． 解：， 故选：C． 【题型5】角的度数的大小比较 【例5】（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.2°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、秒的换算1度分，即，1分秒，即．将，，的单位统一，再进行大小的比较． 解：∵， ，， ∴，即最大， 【变式1】（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握1度=60分，即，1分=60秒，即．首先把：化为，然后再比较即可． 解：， ∵， ∴， 故答案为∶ ． 【变式2】（24-25七年级上·河北衡水·期中）已知，则下列说法正确的是（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【答案】B 【分析】本题考查角度换算与大小比较，先统一换算成度表示，再比较大小即可． 解：∵，， ∴， ∴最大， 故选：B． 【题型6】角的比较 【例6】（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角的比较大小与和差，根据图形进行判断即可． 解：∵在的内部， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴选项B正确，不符合题意； 根据题意，无法比较和的大小，选项C不一定正确，符合题意； ∵， ∴选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的大小比较，取点E，连接，由网格可知，根据可得． 解：如图，取点E，连接， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，大于的角有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了角的大小比较；观察图形，首先找出以为边的比大的角，再找出以为边的比大的角；最后找出最大的角是否比大，即可求解． 解：图中大于的角有，，，共个； 故选：D． 【题型7】角度的四则运算 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （3）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与5相乘，然后依次进位； （4）一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算： （1）（2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可； 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）先将分都转化为度，再进行减法计算，两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数，，． 解：（1） ； （2） ． 【题型8】画特殊角 【例8】（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【分析】本题考查用量角器作角．用量角器量出的度数，再作一射线，以点A为顶点，作，则即为所求． 解：如图，为所求． 【变式1】（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点拨】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 【变式2】（23-24七年级上·山东德州·期末）如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差是解题关键．根据角的和差求解即可得． 解：∵，，， ∴可以用这副三角尺画出来的是①③④， 故选：D． 【题型9】钟面角及有关计算 【例9】（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）如图①、图②两个钟表表示的时间分别为．      (1)写出和的度数，并比较两个角的大小； (2)在时到时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与的度数相等． 【答案】(1)，，； (2)．（答案不唯一） 【分析】（1）根据分针1分钟走，时针1分钟走进行求解即可；（2）根据（1）写出结合钟面角的特点进行求解即可． 解：（1）∵分针1分钟走，时针1分钟走， ∴，， ∴； （2）时的时候时针与分针的夹角为，40分钟后，分针指向数字8，则此时时针与分针的夹角为， ∴时，时针、分针所夹的度数与的度数相等． 【点拨】本题主要考查了钟面角的计算，熟知分针1分钟走，时针1分钟走是解题的关键． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，钟表上显示8时30分，此时分针与时针所成夹角的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上一大格是，进行计算即可解答． 解：钟表上显示8时30分，此时分针与时针所成夹角的度数为， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·天津·期末）当时钟的时针与分针的夹角为时，对应的时刻是（　　） A．12：15 B．3：45 C．3：30 D．9：30 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，掌握时针每分钟走过是解题关键．根据时钟上一大格是，一小格是，时针一分钟转，逐项进行计算即可解答． 解：A. 12：15时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意； B. 3：45时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意； C. 3：30时钟的时针与分针的夹角为，该选项符合题意； D. 9：30时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意． 故选：C． 【题型10】方向角及有关计算 【例10】（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【答案】(1)见解析； (2)南偏西或北偏东 【分析】本题考查方位角以及余角补角的计算， （1）根据方向角的意义画出表示客轮和海岛方向的射线，； （2）根据题意列出方程，解方程求得，进而根据方向角的定义，即可求解． 解：（1）如图．，即为所求； （2）由题意可得． 解得． ， 或 所以渔船的方位角是南偏西或北偏东． 【变式1】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】本题主要考查方向角的计算，熟练掌握方向角的计算是解题的关键．根据题意，求出，即可得到答案． 解：依题意可得，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若， ， 故的方向是北偏东． 故选C． 【变式2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“东方－2022”演习实兵实弹演练于2022年9月6日拉开帷幕．某一时刻，在灯塔O处观测到舰艇A位于北偏西方向，同时舰艇B位于南偏东方向，舰艇C在的平分线上，如图，则舰艇C在灯塔O的 方向． 【答案】南偏西 【分析】此题主要考查了方向角，角平分线的定义，关键是掌握方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．如图，，先求出，由舰艇C在的平分线上，得到，进而求出，即可得出结果． 解：如图， ， ， 舰艇C在的平分线上， ， ， 舰艇C在灯塔O的南偏西． 【题型11】角平分线的有关计算 【例11】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质，理解题意作图分析，掌握角平分线的性质计算角度的方法是解题的关键． 根据题意作图，分类讨论：当在外部时，可得，则，，由平分，即可求解；当在内部时，，则，由平分，即可求解． 解：第一种情况，如答图①， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴； 第二种情况，如答图②， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的度数是或． 【变式1】（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，是的平分线，是的平分线，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算．根据角平分线的定义可得，再逐项判断即可求解． 解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴，， ，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 【题型12】角n等分线的有关计算 【例12】（22-23七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 解：（1）∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 【变式1】（22-23七年级上·山西大同·期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点拨】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 【变式2】（21-22七年级上·辽宁本溪·期末）如图，OB，OC是的两条三等分线，则下列说法①；②；③；④OC平分，其中不正确的是 （只填序号）． 【答案】② 【分析】由OB、OC是∠AOD的两条三等分线，得到∠AOB＝∠BOC＝∠COD，以此判断即可． 解：OB、OC是∠AOD的两条三等分线， 故∠AOB＝∠BOC＝∠COD ∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3∠BOC，故①正确； ∠AOD＝3∠BOC，2∠AOC＝2（∠AOB＋∠BOC）＝4∠BOC故②不正确 ，故③正确； ∠COD＝∠BOC，故④正确； 故答案为：②． 【点拨】本题考查了角的n等分线的定义，熟练掌握角等分线的定义是解决本题的关键． 【题型13】求一个角的余角、补角 【例13】（20-21七年级上·青海西宁·期末）如图，A，O，B三点在同一条直线上，． (1)写出图中的补角是 ，的余角是 ； (2)如果平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，平角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． （1）根据“和为的两个角互为补角”、“和为的两个角互为余角”进行解答； （2）先根据，求出，再利用平角的定义和角平分线的定义即可求出． 解：（1）∵A，O，B三点在同一条直线上，， ∴，， ∴的补角是，的余角是， 故答案为：；． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵A，O，B三点在同一条直线上， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、与三角板有关的角度的计算、求补角，先由平行线的性质得出，，求出，得出，即可得解． 解：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的补角的度数是， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）的余角是 ，它的补角是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角和补角．熟练掌握概念是解题的关键．计算时要注意度、分、秒是60进制．余角定义：如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个角互为余角；补角定义：如果两个角的和等于180度（平角），就说两个角互为补角． 根据互余的两个角的和等于90°，互补的两个角的和等于180°，分别列式计算即可得解． 解：的余角是：； 的补角是：． 故答案为：，． 【题型14】与余角、补角有关的计算 【例14】（2024七年级上·全国·专题练习）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 【答案】(1)；(2)； (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角，周角的定义是正确解答的前提，注意分类讨论，避免漏接； （1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案； （3）分两种情况讨论，射线与线段不相交和射线与线段相交，再根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 解：（1）， ， 平分， ， 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ； （3）或，理由如下： 当射线与线段不相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， 当射线与线段相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， ， 故答案为：或． 【变式1】（21-22七年级上·福建泉州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键． 根据，即可求得，，代入，从而求解． 解：如图： ∵三个大小相同的正方形， ∴， ∴，， ∴， 即， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型15】同(等)角的余(补)角相等的应用 【例15】（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 【变式1】（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ） A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余 【答案】D 【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解． 本题主要考查余角和补角，互为余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 解：∵， ∴， ∴， 故A选项正确； ∵， ∴， 即与互余， 故B选项正确； ∵，， ∴， 即与互补， 故C选项正确； 无法判断与是否互余， 例如当时， ， ， 不互余，故D选项错误； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 【答案】 同角的余角相等 【分析】由，得到，进而得到，的余角是，由，得到，的余角是，根据“同角的余角相等”得到， 本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴， ∴的余角是， ∴（同角的余角相等）． 【题型16】实际问题中角度的运算 【例16】（23-24七年级·江苏泰州·期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不能； (2)见解析 (3)选用，理由见解析； (4)不一定能，理由见解析 【分析】（1）①用一副三角尺画出角的画图方案，用含的两个角拼接即可求解; ②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据题意设计一个，一边与射线重合，另一边即为角平分线， （3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解； （4）根据角度的四则运算进行判断即可求解． 解：（1） ①用一副三角尺画出角，如图所示， ②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数， ∴用一副三角尺能不能画出的角， 故答案为：不能． （2）如图所示， （3）选用， 用的角旋转15次，则，与差， 再旋转16次，得到，与周角差， 再旋转16次，得到，超过始边 ∴绕点O逆时针旋转，得， 再将绕点O逆时针旋转， 得，……，如此连续操作47次， 可得的角， 即：． （4）对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出的角 例如，，此时无论如何旋转，都不能得到的角 【点拨】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键． 【变式1】（2024·河南周口·三模）如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义和角的计算，熟练掌握余角的定义并能进行角的加减运算是解题关键． 根据余角的定义计算即可求解． 解：为水面，入射角为， ， 故选 C． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． （1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． （2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的计算，几何图形中角的计算． （1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可； （2）同（1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可． 解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ， 故答案为：； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 角（5大知识点5大考点16类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点提示： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点提示： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【知识点2】角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点提示： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 3.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点提示： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 4.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点提示：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【知识点3】余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点提示： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【知识点4】方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 要点提示： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示； （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”； （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【知识点5】钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 第二部分【题型展示与方法点拨】 考点与题型目录 【考点1】角的概念的理解、表示方法、分类 【题型1】角的概念理解.......................................................4 【题型2】角的表示方法.......................................................5 【题型3】角的分类...........................................................5 【考点2】角度制与角的大小比较 【题型4】角的单位与角度制...................................................6 【题型5】角的度数的大小比较.................................................6 【题型6】角的比较...........................................................7 【题型7】角度的四则运算.....................................................7 【考点3】特殊角、方向角、钟面角 【题型8】画特殊角...........................................................8 【题型9】钟面角及有关计算...................................................8 【题型10】方向角及有关计算..................................................9 【考点4】角等分线运算有关运算 【题型11】角平分线的有关计算...............................................10 【题型12】角n等分线的有关计算.............................................10 【考点5】余角、补角及有关运算 【题型13】求一个角的余角、补角.............................................11 【题型14】与余角、补角有关的计算...........................................12 【题型15】同(等)角的余(补)角相等的应用.....................................13 【题型16】实际问题中角度的运算.............................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】角的概念理解 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于角的说法中，正确的个数为（  ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（    ） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 【题型2】角的表示方法 【例2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：    【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下列4个图形中，能用，，三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，   (1)用不同的方法表示图中以为顶点的角； (2)写出以为顶点的角与边； (3)画出，使成平角，写出它的边． 【题型3】角的分类 【例3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【变式2】（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】角的单位与角度制 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）关于度、分、秒的换算． (1)用度表示； (2)用度表示； (3)用度、分、秒表示． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ＇ ． 【变式2】（24-25七年级上·河北邢台·期中）将用度、分、秒表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】角的度数的大小比较 【例5】（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.2°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【变式1】（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知，，则 ．（填“”“”或“”） 【变式2】（24-25七年级上·河北衡水·期中）已知，则下列说法正确的是（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【题型6】角的比较 【例6】（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，大于的角有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型7】角度的四则运算 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【题型8】画特殊角 【例8】（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【变式1】（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【变式2】（23-24七年级上·山东德州·期末）如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【题型9】钟面角及有关计算 【例9】（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）如图①、图②两个钟表表示的时间分别为．     (1)写出和的度数，并比较两个角的大小； (2)在时到时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与的度数相等． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，钟表上显示8时30分，此时分针与时针所成夹角的度数为 ． 【变式2】（23-24七年级上·天津·期末）当时钟的时针与分针的夹角为时，对应的时刻是（　　） A．12：15 B．3：45 C．3：30 D．9：30 【题型10】方向角及有关计算 【例10】（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【变式1】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【变式2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“东方－2022”演习实兵实弹演练于2022年9月6日拉开帷幕．某一时刻，在灯塔O处观测到舰艇A位于北偏西方向，同时舰艇B位于南偏东方向，舰艇C在的平分线上，如图，则舰艇C在灯塔O的 方向． 【题型11】角平分线的有关计算 【例11】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 【变式1】（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，是的平分线，是的平分线，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【题型12】角n等分线的有关计算 【例12】（22-23七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【变式1】（22-23七年级上·山西大同·期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式2】（21-22七年级上·辽宁本溪·期末）如图，OB，OC是的两条三等分线，则下列说法①；②；③；④OC平分，其中不正确的是 （只填序号）． 【题型13】求一个角的余角、补角 【例13】（20-21七年级上·青海西宁·期末）如图，A，O，B三点在同一条直线上，． (1)写出图中的补角是 ，的余角是 ； (2)如果平分，，求的度数． 【变式1】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）的余角是 ，它的补角是 ． 【题型14】与余角、补角有关的计算 【例14】（2024七年级上·全国·专题练习）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 【变式1】（21-22七年级上·福建泉州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【题型15】同(等)角的余(补)角相等的应用 【例15】（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ） A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余 【变式2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 【题型16】实际问题中角度的运算 【例16】（23-24七年级·江苏泰州·期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【变式1】（2024·河南周口·三模）如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． （1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． （2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$