精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2021-2022学年高二下学期第一次月考数学试卷

扬大附中东部分校2021-2022学年第二学期第一次质量检测 高二年级数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数=（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 1或或2 2. 在空间直角坐标系中，点M的坐标为(－1,0,2), 则点M到原点O的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知向量，若，则的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线方向向量为，点在上，则点到的距离为（ ） A B. 4 C. D. 6. 下列条件中，使点与点一定共面的为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 8. 在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面与平面平行，平面一个法向量为为内的一条直线，则的方向向量可能为（ ） A B. C. D. 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 12. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 定义域是（0，+） B. x∈（0，1）时，图象位于x轴下方 C. 存在单调递增区间 D. 有且仅有两个极值点 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第2空3分. 13. 函数的定义域是_________． 14. 函数的单调递减区间为_________． 15. 如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为，则对角线的长是__________. 16. 已知向量（1，﹣3，2），（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．则||＝__；在直线AB上，存在一点E，使得⊥，则点E的坐标为__． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 集合或，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 18. 如图，在正方体中，棱长为为的中点.建立如图所示的空间直角坐标系， （1）用综合法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱分别是和的中点. （1）求平面和平面所成二面角的大小； （2）求点到平面的距离. 20. 设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0． （1）求y=f（x）的解析式； （2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 21. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为为棱上的动点，为棱上的动点，__________，试问是否存在点满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22. 设函数． （1）若当时取得极值，求a的值，并讨论的单调性； （2）若存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬大附中东部分校2021-2022学年第二学期第一次质量检测 高二年级数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数=（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 1或或2 【答案】C 【解析】 【分析】由得或求出值并根据集合元素互异性检验得解. 【详解】,或 解得或或，代入检验，根据集合元素互异性得或 故选：C 【点睛】本题考查子集及集合元素互异性，属于基础题. 2. 在空间直角坐标系中，点M的坐标为(－1,0,2), 则点M到原点O的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求解. 【详解】由题：空间直角坐标系中，到的距离. 故选：D 【点睛】此题考查空间直角坐标系中两点距离公式的应用，根据公式直接求解. 3. 已知向量，若，则的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知得， ，化简可得解. 【详解】 ， , ,则， 即，解得. 故选：D 【点睛】本题考查利用空间向量的数量积求参数.属于基础题. 4. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：C 5. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量，再计算与夹角余弦值，进而得到正弦值，最后利用距离公式求出点到直线的距离. 【详解】点，点，所以. . 根据向量点积公式可得： 因为，所以： 且， 则点到直线的距离为. 故选：C. 6. 下列条件中，使点与点一定共面的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间共面向量定理以及其推论，看等式右边系数和是否为1，可判断A,B,C;根据空间向量共面定理即可判断D,得出正确答案． 【详解】对于可得，，由空间共面向量定理知，M、A、B、C一定共面，故A正确， 对于可知，系数和不为1，故M、A、B、C不共面，故B错； 对于，系数和 ，故M、A、B、C不共面，故C错； 对于，可得，系数和不为1，根据空间向量共面的推论可知M、A、B、C不共面，故D错； 故选：A. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，再根据单调区间即可得到最小值. 【详解】， 令，解得 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为． 故选：B 8. 在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意， 对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是或. 故选：AC. 10. 已知平面与平面平行，平面的一个法向量为为内的一条直线，则的方向向量可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积为零计算即可； 【详解】由题意，平面与平面平行，所以平面的一个法向量也是平面的法向量， 又为内的一条直线，所以法向量与指向的方向向量垂直， 对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确； 故选：BD. 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由共面定理可得B正确；由基底的性质可得C正确；由向量共面的性质可得D正确； 【详解】对A，当时，夹角为平角，故A错误； 对B，由空间向量的基本定理知，因，所以四点共面，故B正确； 对C，因向量组是空间的一个基底，所以三向量不共面，且不为， 假设共面，则，即，矛盾， 所以不共面，即也是空间的一个基底，故C正确； 对D，由向量共面的性质可得空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故D正确； 故选：BCD. 12. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 定义域是（0，+） B. x∈（0，1）时，图象位于x轴下方 C. 存在单调递增区间 D. 有且仅有两个极值点 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据可得定义域，即可判断；通过当时，可判断； 【详解】由题意函数满足，解得且， 所以函数的定义域为，所以A不正确； 由，当时，， ∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确； ∵，设， 所以，函数单调增，，， 所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的； 则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确； 故选：BC. 【点睛】本题主要考考查了求函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第2空3分. 13. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有意义的条件列出不等式组求解. 【详解】为使函数有意义，必须且只需 ，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 函数的单调递减区间为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数在函数单调性中的应用，令，解不等式即可求出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为，， 令，可得，解得，. 因此，函数的单调递减区间为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求函数的单调区间的方法： （1）求导数； （2）解方程； （3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间. 15. 如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为，则对角线的长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的表示及夹角公式，即可求可得的长； 【详解】，且的长为3，， 故 由于， 所以 . 故答案为：. 16. 已知向量（1，﹣3，2），（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．则||＝__；在直线AB上，存在一点E，使得⊥，则点E的坐标为__． 【答案】 ①. ②. （，，） 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算法则求出，由此能求出||的值；表示(﹣3+t，﹣1﹣t，4﹣2t)，利用⊥，能求出点E的坐标． 【详解】∵向量(1，﹣3，2)，(﹣2，1，1)， ∴(2，﹣6，4)+(﹣6，3，3)＝(﹣4，﹣3，7)， ∴||； ∵点A(﹣3，﹣1，4)，B(﹣2，﹣2，2)．在直线AB上，存在一点E， ∴(﹣3，﹣1，4)+t(1，﹣1，﹣2)＝(﹣3+t，﹣1﹣t，4﹣2t) ∵⊥， ∴6﹣2t﹣1﹣t+4﹣2t＝0， 解得t． ∴点E的坐标为． 故答案为：；． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 集合或，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）由交集、并集的定义，运算即可得解； （2）转化条件为，按照、讨论即可得解. 【详解】（1）若，则， 又或， 所以，或； （2） 因为，所以， 当时，所以，解得； 当时，应满足或，解得或； 综上，的取值范围为或. 18. 如图，在正方体中，棱长为为的中点.建立如图所示的空间直角坐标系， （1）用综合法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求线面所成角的正弦值即可. 【小问1详解】 由正方体的性质可知，，且， 四边形是平行四边形，， 又平面平面平面. 【小问2详解】 以为原点，分别为和轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， ， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱分别是和的中点. （1）求平面和平面所成二面角的大小； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，得到平面，进而可得； （2）求出平面的法向量，代入空间点到面的距离公式即可. 【小问1详解】 易知两两垂直，于是如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以， 又因为平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以平面和平面所成二面角的大小为. 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则，取得， 则点到平面的距离. 20. 设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0． （1）求y=f（x）的解析式； （2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】 【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝． 又f′(x)＝a＋， 于是，解得 故f(x)＝x－． (2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)． 令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)． 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6． 曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6． 21. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为为棱上的动点，为棱上的动点，__________，试问是否存在点满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设，根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解. 【详解】由题意，正方体棱长为2， 则. 设， 则. 所以. 选择①，则有， 所以， 又， 所以，则， 因为， 所以， 故存在点，满足满足，且. 选择②，，即，所以， 因为， 所以， 故存在点，满足，且. 选择③，， 因为，所以与不共线， 所以，即， 则， 故不存点满足. 22. 设函数． （1）若当时取得极值，求a的值，并讨论的单调性； （2）若存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于． 【答案】（1）；在，单调递增，在单调递减 （2）的取值范围为；证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，＝0，代入可求a，代入a的值，分别解＞0，＜0，求解即可． （2）由题意可得在区间(－a，＋∞)上，＝0有实根，结合一元二次方程根的存在情况讨论该方程的＝4a2－8，求a的取值范围，进一步可证明所有极值之和大于． 【小问1详解】 ，依题意有，故， 从而， 的定义域为， 当时，；当时，；当时，． 从而，在，单调递增，在单调递减． 【小问2详解】 的定义域为，． 方程的判别式． （ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值． （ⅱ）若，则或． 若，，． 当时，，当时，， 所以无极值． 若，，也无极值． （iii）若，即或，则有两个不同的实根． 当时，，则 ， ， ，从而在的定义域内没有零点，故无极值． 当时，， ， 在的定义域内有两个不同的零点， 可知在取得极值． 综上，存在极值时，的取值范围为． 由于， 则的极值之和为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$