精品解析：江苏省淮安市初二集团校2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试 初二数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A.   B.   C.   D.   2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，24，25 4. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 5. 估算的值在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 6. 将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的9倍 D. 是原来的6倍 7. 如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 如图，，点B是射线上的一个动点，点C是射线上的一个动点，且线段的长度不变，D是点A关于直线的对称点，连接，若．则的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 不确定 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 用四舍五入法将7.385精确到0.01，所得的近似数为_________． 10. 使分式有意义的的取值范围是 __． 11. 已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 12. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为_____． 13. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____cm． 14. 如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______． 15. 已知：（、、均不为零），则_______． 16. 当正整数_______时，分式的值也是正整数． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 20. 如图，在正方形网格上有一个，网格上的每个小正方形的边长为1．（无刻度直尺作图）． （1）在图1中画关于直线的对称图形，的面积为________； （2）在图2中直线上画点，使． 21. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 22. 如图，在中，，点D在上，，，垂足分别为E、F，且．求证：D是的中点． 23. 如图，在中，，，，且．动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． （1）判断的形状并说明理由； （2）当_________时，是等腰三角形？（请直接写出答案） 24. 根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产________件产品（用含的式子表示）； （2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 25. 勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： （1）如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． （2）如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； （3）借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 26. 如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． （1）如图1，证明：为等腰三角形； （2）如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； （3）点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试 初二数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的概念是做题的关键；“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，由此逐项判断即可． 【详解】解：、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 【详解】解：、是有理数，故本选项不符合题意； 、是有理数，故本选项不符合题意； 、是有理数，故本选项不符合题意； 、是无理数，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项正确； ，但不是正整数，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选：B． 4. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，理解和掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解答此题的关键． 【详解】解：当底角是时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴这个等腰三角形的顶角为． 故选：C． 5. 估算的值在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是求出介于哪两个整数之间． 【详解】解：∵，则 ∴， ∴的值在1与2之间， 故选：A． 6. 将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的9倍 D. 是原来的6倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：由题意，得，   故选：B． 7. 如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出长和三角形的面积．根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案． 【详解】解：过作于，如图： 是的角平分线，， ， ， 的面积为36， 的面积为， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，，点B是射线上的一个动点，点C是射线上的一个动点，且线段的长度不变，D是点A关于直线的对称点，连接，若．则的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 分两种情况，取的中点E，连接，，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到是等边三角形，进而依据轴对称的性质得出的度数． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时，取的中点E，连接，， 则．即， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵D是点A关于直线的对称点， ∴垂直平分， 又， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，同理可得， 又∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 用四舍五入法将7.385精确到0.01，所得的近似数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 使分式有意义的的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 11. 已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据正数有两个平方根，且它们互为相反数，依此列式计算即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：4． 12. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为_____． 【答案】17 【解析】 【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC=10，又由条件AB=7可得△ABC的周长． 【详解】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD． ∴MN是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵△ADC的周长为10， ∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10， ∵AB=7， ∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17． 故答案为17． 13. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____cm． 【答案】18 【解析】 【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=OB=18cm 故答案为：18． 【点睛】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析． 14. 如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得，推出即可解决问题． 【详解】解：在中，， ， ， 点在x轴负半轴， 点C表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15. 已知：（、、均不为零），则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，根据已知条件可设，，，将其代入所求式子，计算即可．解此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出，，，再代入计算． 【详解】解：（，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：． 16. 当正整数_______时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 【详解】解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、分式的除法运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． （1）先计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、立方根，然后再计算即可； （2）根据分式的除法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可求解； （2）两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可求解． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，则是增根， ∴原分式方程无解． 19. 化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】 当时，原式无意义 当时，原式无意义 当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后分别将，，三个数字代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 20. 如图，在正方形网格上有一个，网格上的每个小正方形的边长为1．（无刻度直尺作图）． （1）在图1中画关于直线的对称图形，的面积为________； （2）在图2中直线上画点，使． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； 面积为8.5 （2） 点Q即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理与网格问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （2）利用网格的特点，取格点，连接交于点，即为所求． 【小问1详解】 的面积． 【小问2详解】 取格点，连接交于点， 连接，，由勾股定理可知，， ， 则，， ∴与均为等腰直角三角形， ∴，即， 21. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2）第个等式：； 证明如下： 第1个等式：，即， 第2个等式：，即， 第3个等式：，即， 第4个等式：，即， 第5个等式：，即 …… ∴可推导一般性规律为：第个等式：， ∵， ∴第个等式：． 【解析】 【分析】（1）根据题意推导即可； （2）根据题意推导出一般性规律即可． 【小问1详解】 解：由题意知，第6个等式：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 22. 如图，在中，，点D在上，，，垂足分别为E、F，且．求证：D是的中点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线的判定定理可得，是的角平分线，再根据等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】证明：∵，，且， ∴是的角平分线， ∵在中，， ∴D是的中点． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 23. 如图，在中，，，，且．动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． （1）判断的形状并说明理由； （2）当_________时，是等腰三角形？（请直接写出答案） 【答案】（1）是直角三角形， 理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是直角三角形； （2）或 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： ①当时，如图所示： 在中， ， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时，如图所示： ， ． 24. 根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产________件产品（用含的式子表示）； （2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 【答案】（1） （2）125 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程． （1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可； （2）根据题意列分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：因为更新设备后生产效率比更新前提高了， 所以更新设备后每天生产件产品， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 所以更新设备后每天生产件． 25. 勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： （1）如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． （2）如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； （3）借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 【答案】（1） 证明：由题意可知，梯形的面积第一种表示方法： ， 第二种表示方法： ， 则， ∴； （2） ①作关于直线的对称点，连接与直线交于点， 由轴对称可知，， ∴，当点在上时取等号， 故，点即为所求； ② （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由梯形，三角形面积公式即可证明问题； （2）①根据轴对称的性质，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，； ②根据勾股定理求出，根据矩形的性质分别求出，，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可； （3）作关于直线的对称点，连接与直线交于点，则的最小值为，然后根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②作，，相交于点，作于点，连接， 则，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 如图，作于，于，，，，，则， ∴， 作关于直线的对称点，连接与直线交于点，类比（2）可知，此时最小，最小值为， 作于，则， 由勾股定理得，，即最小为， ∴的最小值为， 故答案为：． 26. 如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． （1）如图1，证明：为等腰三角形； （2）如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； （3）点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质得， ∵， ， ， ， 为等腰三角形； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，完全平方式的应用． （1）由折叠的性质得，又，有，故，，知为等腰三角形； （2）设，在中，可得，即可解得即； （3）①过作于，设，则，设，在中，，有，故，根据线段与边相交，即可得，从而最大为4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为；当落在上时，与重合，求出，故由最大运动到落在时，的运动路径为，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ，，， ， 由（1）知， 在中，， ， ， 即； 【小问3详解】 解：①过作于，如图： 设，则， 设， ， 四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 化简整理得， 线段与边相交， ， ， ，， ， ， ， 最大为4； 故答案为：4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为； 当落在上时，与重合，如图： 此时，，， ， ， 由最大运动到落在时，的运动路径为， 点从点向点运动的过程中，点运动的路径长为． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $